Ολοκλήρωμα

#1

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{cosx}{(cosx+sinx)^3}dx}$

#2

xr.tsif έγραψε:Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{cosx}{(cosx+sinx)^3}dx}$

Ας είναι

$\displaystyle{I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\cos x}{(\cos x+\sin x)^3}dx}$

και

$\displaystyle{J=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin x}{(\cos x+\sin x)^3}dx}$

Είναι

$\displaystyle{I+J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{(\sin x+\cos x)^2}dx=\Big[\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\Big]_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{2}.}$

Επίσης είναι

$\displaystyle{I-J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos x-\sin x}{(\sin x+\cos x)^3}dx=-\frac{1}{2}\Big[\frac{1}{(\sin x+\cos x)^2}\Big]_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{4}.}$

Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε

$\displaystyle{I=\frac{3}{8}.}$

Ch.Chortis · #3

xr.tsif έγραψε:Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{cosx}{(cosx+sinx)^3}dx}$

Καλησπέρα. Ιδού μία τριγωνομετρική λύση
Θέτουμε $y=x+\dfrac {\pi}{4}$ και έχουμε:
$\displaystyle I=\bigints_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{cosx}{(cosx+sinx)^3}dx}=\bigints_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} \dfrac {\cos(y-\frac {\pi}{4})} {\left (\cos(y-\frac {\pi}{4})+\sin(y-\frac {\pi}{4}) \right)^3}dy$
Όμως:
$\cos(y-\frac {\pi}{4})=\cos (\frac {\pi}{4}-y)=\cos \left (\frac {\pi}{2}-(y+\frac {\pi}{4}) \right)=\sin(y+\frac{\pi}{4})$
και από την ταυτότητα:
$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b \cos a$
τελικά:
$\displaystyle \bigints_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} \dfrac {\cos(y-\frac {\pi}{4})} {\left (\cos(y-\frac {\pi}{4}))+\sin(y-\frac {\pi}{4}) \right)^3} dy=\bigints_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} \dfrac {\sin(y+\frac {\pi}{4})} {\left (\sin(y+\frac {\pi}{4})+\sin(y-\frac {\pi}{4}) \right)^3}dy= \\ \bigints_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} \dfrac {\sin y \cos \frac {\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{4} \cos x} {\left (\sin y \cos \frac {\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{4} \cos x+\sin y \cos \frac {\pi}{4}-\sin \frac {\pi}{4} \cos y \right)^3}dy= \\ \bigints_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} \dfrac {\frac {\sqrt{2}}{2}(\sin y+\cos y)} {(\sqrt {2} \sin y)^3} dy=\dfrac {1}{4} \bigints_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} \dfrac {\sin y+\cos y}{\sin^{3}y}dy=\\ \dfrac {1}{4} \left (\bigints_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} \dfrac {1}{\sin^2 y}dy+\dfrac {1}{2} \bigints_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} \dfrac {2\cos y \sin y} {\sin^4 y} dy \right)= \dfrac {1}{4} \left (\bigints_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} (-\cot y)'dy-\dfrac {1}{2}\bigints_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} \dfrac {-(\sin^2 y)'}{(\sin^2 y)^2}dy \right)=\\ \dfrac {1}{4} \left (\left[-\cot y \right]_{\frac {\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}}-\dfrac {1}{2}\bigints_{\frac{\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}} \left (\dfrac {1}{\sin^2 y}\right)' dy \right)=\dfrac {1}{4} \left (-0-(-1)-\dfrac {1}{2}\left [\dfrac {1}{\sin^2 y}\right]_{\frac {\pi}{4}}^{\frac {\pi}{2}}\right)=\dfrac {1}{4} \left(1-\dfrac {1}{2} (1-2) \right)=\\ \dfrac {1}{4} \left (1+\dfrac {1}{2} \right)=\dfrac {3}{8}$

#4

μετά από τις ωραίες λύσεις του Θάνου και του Χαρίλαου να δώσω και άλλη μία

$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{cosx}{(cosx+sinx)^3}dx}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{cosx}{cos^3x(1+\frac{sinx}{cosx})^3}dx}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1}{cos^2x(1+\frac{sinx}{cosx})^3}dx}$
$=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{1}{cos^2x(1+tanx)^3}dx}$

Αν θέσουμε t=1+tanx

προκύπτει $I=\frac{3}{8}$ .

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση