Λύσεις συναρτησιακής εξίσωσης.
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Λύσεις συναρτησιακής εξίσωσης.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f : R-{0} -> R, οι οποίες ικανοποιούν τη συναρτησιακή εξίσωση:
Χρήστος Κυριαζής
Λέξεις Κλειδιά:
- polysot
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2583
- Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
- Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
- Επικοινωνία:
Re: Λύσεις συναρτησιακής εξίσωσης.
Μία ομάδα συναρτήσεων που την ικανοποιούν είναι οι σταθερές.
Άλλο δεδομένο δεν έχουμε ε;;;
Άλλο δεδομένο δεν έχουμε ε;;;
Σωτήρης Δ. Χασάπης
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Λύσεις συναρτησιακής εξίσωσης.
Χρήστο, σίγουρα μπορούμε να τις περιγράψουμε όλες; Μου φαίνονται πάρα πολλές.chris_gatos έγραψε:Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f : R-{0} -> R, οι οποίες ικανοποιούν τη συναρτησιακή εξίσωση:
Ας δούμε παραδείγματα, πέρα από τις σταθερές
1) f(1) = c, f(x) = 0 αλλιώς.
2) f(q) = c αν f(x) = 0 αλλιώς.
3) αν , f(x) = 0 αλλιώς.
4) αν , f(x) = 0 αλλιώς.
5) αν , f(x) = 0 αλλιώς.
6) αν , f(x) = 0 αλλιώς.
7) ομοίως με τα 4), 5), 6) αλλά με 3 στη θέση του 2.
8) αν , f(x) = 0 αλλιώς.
9) παραλλαγή του 8) αλλά με διαφορετικό σύνολο αναφοράς (π.χ. όπως στα 4), 5), 6).
10) αν , f(x) = 0 αλλιώς.
11) αν , f(x) = 0 αλλιώς
και λοιπά και λοιπά.
Μήπως θέλουμε και άλλη συνθήκη; Π.χ. συνέχεια;
Φιλικά,
Μιχάλης
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Λύσεις συναρτησιακής εξίσωσης.
Κι εμένα με έχει παραξενέψει ως εκφώνηση,αλλά αυτό ακριβώς λέει. Γι'αυτό την έδωσα κιόλας.
Χρήστος Κυριαζής
- polysot
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2583
- Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
- Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
- Επικοινωνία:
Re: Λύσεις συναρτησιακής εξίσωσης.
Και το κυριότερο είναι πώς θα αποδειχθεί ότι είναι μόνον αυτές, αν πρόκειται να βρεθούν έτσι περιγραφικά...Mihalis_Lambrou έγραψε:Χρήστο, σίγουρα μπορούμε να τις περιγράψουμε όλες; Μου φαίνονται πάρα πολλές.chris_gatos έγραψε:Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f : R-{0} -> R, οι οποίες ικανοποιούν τη συναρτησιακή εξίσωση:
Ας δούμε παραδείγματα, πέρα από τις σταθερές
1) f(1) = c, f(x) = 0 αλλιώς.
2) f(q) = c αν f(x) = 0 αλλιώς.
3) αν , f(x) = 0 αλλιώς.
4) αν , f(x) = 0 αλλιώς.
5) αν , f(x) = 0 αλλιώς.
6) αν , f(x) = 0 αλλιώς.
7) ομοίως με τα 4), 5), 6) αλλά με 3 στη θέση του 2.
8) αν , f(x) = 0 αλλιώς.
9) παραλλαγή του 8) αλλά με διαφορετικό σύνολο αναφοράς (π.χ. όπως στα 4), 5), 6).
10) αν , f(x) = 0 αλλιώς.
11) αν , f(x) = 0 αλλιώς
και λοιπά και λοιπά.
Μήπως θέλουμε και άλλη συνθήκη; Π.χ. συνέχεια;
Φιλικά,
Μιχάλης
Σωτήρης Δ. Χασάπης
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Λύσεις συναρτησιακής εξίσωσης.
Η συνθήκη γράφεται .
Για ορίζουμε αν και μόνο αν για κάποιο .
Η είναι σχέση ισοδυναμίας. Για κάθε κλάση ισοδυναμίας παίρνουμε από το αξίωμα της επιλογής ένα εκπρόσωπο.
Αν και για κάποιο τότε η συνθήκη δίνει
Παρατηρούμε επίσης ότι πρέπει .
Ορίζουμε την συνάρτηση ως εξής:
- Αυθαίρετα στο .
- Αυθαίρετα για κάθε που είναι εκπρόσωπος μιας από τις πιο πάνω κλάσεις ισοδυναμίας
- Αν και είναι ο εκπρόσωπος της κλάσης ισοδυναμίας του , τότε ορίζουμε όπου . (Έχουμε ήδη ορίσει την στα .)
- Αν ορίζουμε .
Κάθε τέτοια ικανοποιεί την συνθήκη. Αντίστροφα κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί την συνθήκη πρέπει να κατασκευάζεται όποιος πιο πάνω αφού όπου δεν έχουμε ορίσει τις τιμές της αυθαίρετα, ήμασταν αναγκασμένοι να την ορίσουμε έτσι.
Για ορίζουμε αν και μόνο αν για κάποιο .
Η είναι σχέση ισοδυναμίας. Για κάθε κλάση ισοδυναμίας παίρνουμε από το αξίωμα της επιλογής ένα εκπρόσωπο.
Αν και για κάποιο τότε η συνθήκη δίνει
Παρατηρούμε επίσης ότι πρέπει .
Ορίζουμε την συνάρτηση ως εξής:
- Αυθαίρετα στο .
- Αυθαίρετα για κάθε που είναι εκπρόσωπος μιας από τις πιο πάνω κλάσεις ισοδυναμίας
- Αν και είναι ο εκπρόσωπος της κλάσης ισοδυναμίας του , τότε ορίζουμε όπου . (Έχουμε ήδη ορίσει την στα .)
- Αν ορίζουμε .
Κάθε τέτοια ικανοποιεί την συνθήκη. Αντίστροφα κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί την συνθήκη πρέπει να κατασκευάζεται όποιος πιο πάνω αφού όπου δεν έχουμε ορίσει τις τιμές της αυθαίρετα, ήμασταν αναγκασμένοι να την ορίσουμε έτσι.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες