Ασκήσεις στην Ανάλυση!

#181

BAGGP93 έγραψε:Άσκηση 62

Έστω $\displaystyle{f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}}$ μια απείρως παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια, ώστε για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$

υπάρχει $\displaystyle{n=n(x)\in\mathbb{N}}$ ώστε $\displaystyle{f^{(n(x))}(x)=0}$ . Να δειχθεί ότι υπάρχουν $\displaystyle{a\in\mathbb{R}}$

και $\displaystyle{n_0\in\mathbb{N}}$ τέτοια, ώστε $\displaystyle{f^{(n)}(a)=0}$ για κάθε $\displaystyle{n\geq n_0}$ .

Εδώ και εκεί αλλά και αλλού στο φόρουμ.

BAGGP93 · #182

Άσκηση 63

Έστωσαν $\displaystyle{\left(X,d\right)}$ ένας μετρικός χώρος και $\displaystyle{D}$ ένα πυκνό υποσύνολο του $\displaystyle{X}$ με την

ιδιότητα : Κάθε ακολουθία $\displaystyle{\rm{Cauchy}}$ στοιχείων του $\displaystyle{D}$ συγκλίνει στο $\displaystyle{X}$ . Να δείξετε

ότι ο $\displaystyle{\left(X,d\right)}$ είναι πλήρης μετρικός χώρος.

Σημείωση : Τέτοιος χώρος υπάρχει και είναι ο μετρικός χώρος των πραγματικών αριθμών με την απόλυτη τιμή και $\displaystyle{D=\mathbb{Q}}$ .

#183

BAGGP93 έγραψε:Άσκηση 63

Έστωσαν $\displaystyle{\left(X,d\right)}$ ένας μετρικός χώρος και $\displaystyle{D}$ ένα πυκνό υποσύνολο του $\displaystyle{X}$ με την

ιδιότητα : Κάθε ακολουθία $\displaystyle{\rm{Cauchy}}$ στοιχείων του $\displaystyle{D}$ συγκλίνει στο $\displaystyle{X}$ . Να δείξετε

ότι ο $\displaystyle{\left(X,d\right)}$ είναι πλήρης μετρικός χώρος.

Έστω

ακολουθία Cauchy του

. Από πυκνότητα υπάρχει για κάθε

στοιχείο $y_n \in D$ με $d(x_n,y_n) < \frac {1}{n}$ . Από την $d(y_m, y_n) \le d(y_m,x_m) + d(x_m,x_n) + d(x_n,y_n)$ εύκολα βλέπουμε ότι η (y_n)

είναι Cauchy και άρα (από υπόθεση) συγκλίνει. Έστω $y\in X$ το όριο της (y_n)

. Από την $0\le d(x_n,y) \le d(x_n,y_n) + d(y_n,y)$ εύκολα βλέπουμε ότι η (x_n)

συγκλίνει (στο

). Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη.

Φιλικά,

Μιχάλης

Tolaso J Kos · #184

Άσκηση 64

Να βρεθεί ακολουθία συναρτήσεων $f_n: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε: κάθε f_n

να ναι συνεχής στο $(-\infty, 0)$ , ασυνεχής σε κάθε σημείο του $(0, +\infty)$ και να συγκλίνει σε συνεχή συνάρτηση σχεδόν ομοιόμορφα.

#185

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 64

Να βρεθεί ακολουθία συναρτήσεων $f_n: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε: κάθε να ναι συνεχής στο $(-\infty, 0)$ , ασυνεχής σε κάθε σημείο του $(0, +\infty)$ και να συγκλίνει σε συνεχή συνάρτηση σχεδόν ομοιόμορφα.

$\displaystyle{ f_n(x)=\begin{cases} 0& \text{ if } x<0 \\ 0& \text{ if } x\in \mathbb Q \cap [0, \infty) \\ \frac {1}{n} & \text{ if } x \in (\mathbb R -\mathbb Q )\cap (0, \infty) \end{cases}}$

η οποία συγκλίνει ομοιόμορφα στην σταθερή

(αφού απέχει $\frac {1}{n}$ ). Ας επισημάνω ότι η σύγκλιση είναι παντού (όχι μόνο σχεδόν παντού) ομοιόμορφη.

Η απόδειξη ότι η οικογένεια αυτή έχει τις ζητούμενες ιδιότητες είναι άμεση.

#186

Στην Άσκηση

δεν έλεγε τίποτα για συνέχεια ή μη των f_n

στο

. Στο παράδειγμα που έβαλα στο αμέσως προηγούμενο ποστ, οι f_n

είναι όλες ασυνεχείς στο

. Κατασκευάστε παράδειγμα όπου είναι όλες συνεχείς εκεί. Ακριβέστερα:

Άσκηση 64Β

Να βρεθεί ακολουθία συναρτήσεων $f_n: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε: κάθε f_n

να ναι συνεχής στο $(-\infty, 0 ]$ , ασυνεχής σε κάθε σημείο του $(0, +\infty)$ και να συγκλίνει ομοιόμορφα σε συνεχή συνάρτηση.

Υπάρχει τέτοιο παράδειγμα κάνοντας μικρή παραλλαγή σε αυτό που ήδη έβαλα. Καλό είναι να βρεθούν και παραδείγματα που βασίζονται σε τελείως διαφορετική ιδέα (δεν το έψαξα).

Tolaso J Kos · #187

Άσκηση 65

'Έστω $(X_n, d_n)_{n\geq 0}$ πλήροι μετρικοί χώροι. Υποθέτουμε ότι όλες οι μετρικές είναι φραγμένες από το

. 'Έστω $X= \prod \limits_{n\geq 0} X_n$ και η μετρική

$\displaystyle{{\rm d}((x_n)_{n \geq 0},(y_n)_{n \geq 0}) = \sum_{n \geq 0}\frac{1}{2^n} d_n(x_n,y_n)}$

Να δείξετε ότι ο $(X, {\rm d})$ είναι πλήρης μετρικός χώρος.

#188

Tolaso J Kos έγραψε: πλήροι

πλήρεις

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 65

'Έστω $(X_n, d_n)_{n\geq 0}$ πλήροι μετρικοί χώροι. Υποθέτουμε ότι όλες οι μετρικές είναι φραγμένες από το . 'Έστω $X= \prod \limits_{n\geq 0} X_n$ και η μετρική

$\displaystyle{{\rm d}((x_n)_{n \geq 0},(y_n)_{n \geq 0}) = \sum_{n \geq 0}\frac{1}{2^n} d_n(x_n,y_n)}$

Να δείξετε ότι ο $(X, {\rm d})$ είναι πλήρης μετρικός χώρος.

Κάνουμε αλλαγή συμβολισμού γιατί πρόκειται να εργαστούμε με ακολουθίες ακολουθιών, και θα μπλέξουμε με δείκτες δεικτών.

Το τυπικό στοιχείο του

θα το συμβολίζουμε x=(x(k))

όπου $x(k) \in X_k$ , και η μετρική

είναι η
$\displaystyle{d(x, y) = \sum_{k \geq 0}\frac{1}{2^k} d_k(x(k),y(k))}$

Έστω (x_n)

ακολουθία Cauchy του

, όπου

.

Για σταθερό $K\in \mathbb N$ έχουμε

$\displaystyle {d_K(x_m(K), x_n(K)) \le 2^K \sum_{k \geq 0}\frac{1}{2^k} d_k(x_m(k),x_n(k)) = 2^K d(x_m, x_n) \to 0}$ καθώς $m,n \to \infty$ .

Άρα η (x_n(K))

είναι ακολουθία Cauchy στον X_K

. Από υπόθεση συγκλίνει, έστω στο $x(K) \in X_K$ .

Θέτουμε $x=(x(k))\in X$ . Θα δείξουμε ότι η (x_n)

συγκλίνει προς το

. Πράγματι, για $\epsilon >0$ επιλέγουμε K_o

τέτοιο ώστε $\frac {1}{2^{K_o}} < \epsilon$ .

Το άθροισμα που δίνει την απόσταση d(x_n,x)

το χωρίζουμε στα δύο: Τους προσθετέους μέχρι τον K_o

, και τους υπόλοιπους. Το πρώτο κομμάτι, ως πεπερασμένο άθροισμα, δηλαδή

$\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{K_o}\frac{1}{2^k} d_k(x_n(k),x(k))}$ μπορεί να γίνει $<\epsilon$ καθώς $n \to \infty$ διότι οι όροι τείνουν στο

.

Το δεύτερο κομμάτι, λόγω της υπόθεσης ότι οι μετρικές είναι φραγμένες από το

, είναι

$\displaystyle{ \sum_{k = K_o+1}^{\infty }\frac{1}{2^k} d_k(x_n(k),x(k)) \le \sum_{k = K_o+1}^{\infty }\frac{1}{2^k} = \frac {1}{2^{K_o}} < \epsilon }$ .

Άρα $d(x_n,x)< 2 \epsilon$ για μεγάλα

, και αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη.

Φιλικά,

Μιχάλης

Tolaso J Kos · #189

Άσκηση 66 (μια γρήγορη και εύκολη τοπολογική)

Έστω $A, \; B$ μη κενά, κλειστά και ξένα υποσύνολα ενός μετρικού χώρου $(E, \rho)$ . Να αποδειχθεί πως ο τύπος:

$\displaystyle{f(x)= \frac{\rho(x, A)- \rho(x, B)}{\rho(x, A)+\rho(x, B)}}$

ορίζει μία συνάρτηση $f:E \rightarrow \mathbb{R}$ η οποία:

α) είναι συνεχής.
β) $\displaystyle{f(x)= \left\{\begin{matrix} -1 &, &x \in A \\ 1& , & x \in B \end{matrix}\right.}$ και

γ) $-1<f(x)<1 , \;\; x \in A^c \cap B^c$ .

#190

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 66 (μια γρήγορη και εύκολη τοπολογική)

Έστω $A, \; B$ μη κενά, κλειστά και ξένα υποσύνολα ενός μετρικού χώρου $(E, \rho)$ . Να αποδειχθεί πως ο τύπος:

$\displaystyle{f(x)= \frac{\rho(x, A)- \rho(x, B)}{\rho(x, A)+\rho(x, B)}}$

ορίζει μία συνάρτηση $f:E \rightarrow \mathbb{R}$ η οποία:

α) είναι συνεχής.
β) $\displaystyle{f(x)= \left\{\begin{matrix} -1 &, &x \in A \\ 1& , & x \in B \end{matrix}\right.}$ και

γ) $-1<f(x)<1 , \;\; x \in A^c \cap B^c$ .

Είναι απλό και γνωστό ότι οι $\rho(x,A), \rho (x, B)$ είναι συνεχείς. Επειδή τα A,B

είναι κλειστά, ισχύει $\rho (x, A) >0, \, (*)$ για $x\notin A$ , και όμοια για την $\rho (x, B), \, (**)$ . Ειδικά, ο παρονομαστής της

δεν μηδενίζεται ποτέ (τα A,B

είναι ξένα). Από αυτά, τα έπεται το α). Επίσης $\rho (x, A) =0$ για $x\in A$ , και όμοια για την $\rho (x, B)$ οπότε τώρα το β) είναι άμεσο.

Αφού $\rho (x, A) \ge 0, \, \rho (x, B) \ge 0$ έπεται $-1\le f(x)\le 1 , \;\; \forall x$ . Όμως στο $A^c \cap B^c$ δεν μπορεί να είναι $f(x)=\pm 1$ , λόγω των (*),(**)

. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη του γ).

Φιλικά,

Μιχάλης

Tolaso J Kos · #191

Άσκηση 67 (μία απλή στις ακολουθίες)

Έστω $\{x_n \}_{n=1}^{\infty} \subset \mathbb{R}, \;\; \{y_n\}_{n=1}^{\infty} \subset (0, +\infty)$ . Yποθέτουμε ότι η $\{x_n /y_n \}_{n=1}^{\infty}$ είναι μονότονη . Να δείξετε ότι η ακολουθία $z_n , \; n=1, 2, \dots$ η οποία ορίζεται ως:

$\displaystyle{z_n = \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{y_1+y_2+\cdots+y_n}}$

είναι επίσης μονότονη.

Tolaso J Kos · #192

Άσκηση 68

Ας δειχθεί ότι $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} n \sin (2\pi e n!)=2\pi$ .

#193

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 68

Ας δειχθεί ότι $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} n \sin (2\pi e n!)=2\pi$ .

Είναι $\displaystyle {en! = n!\sum _0^{\infty } \frac {1}{k!}= \sum _0^{n } \frac {n!}{k!}+ \sum _{n+1}^{\infty } \frac {n!}{k!} = A_n+ \sum _{n+1}^{\infty } \frac {n!}{k!}$ όπου A_n

ακέραιος ως άθροισμα ακεραίων. Ο τελευταίος προσθετέος είναι $\displaystyle{= \frac {1}{n+1} + \frac {1}{(n+1)(n+2)} +... = \frac {1}{n+1}+ O \left ( \frac{1}{n^2} \right )}$ .

Άρα

$\displaystyle{ n \sin (2\pi e n!)= n \sin \left (2\pi A_n+ \frac {2\pi}{n+1} + O \left ( \frac{1}{n^2} \right )\right )= n \sin \left ( \frac {2\pi}{n+1} + O \left ( \frac{1}{n^2} \right )\right )$

$\displaystyle{= n \left ( \frac {2\pi}{n+1} + O \left ( \frac{1}{n^3} \right )\right )= \frac {2\pi n}{n+1} + O \left ( \frac{1}{n^2} \right ) \to 2\pi}$ , όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

Tolaso J Kos · #194

Άσκηση 69

Ας δειχθεί ότι κάθε συμπαγής μετρικός χώρος

είναι η συνεχής εικόνα του χώρου ${\rm Cantor}$ $\{0, 1\}^{\mathbb{N}}$ .

Άσκηση 70

Να κατασκευαστεί γνήσια αύξουσα συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στους αρρήτους και ασυνεχής στους ρητούς.

air · #195

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 67 (μία απλή στις ακολουθίες)

Έστω $\{x_n \}_{n=1}^{\infty} \subset \mathbb{R}, \;\; \{y_n\}_{n=1}^{\infty} \subset (0, +\infty)$ . Yποθέτουμε ότι η $\{x_n /y_n \}_{n=1}^{\infty}$ είναι μονότονη . Να δείξετε ότι η ακολουθία $z_n , \; n=1, 2, \dots$ η οποία ορίζεται ως:

$\displaystyle{z_n = \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{y_1+y_2+\cdots+y_n}}$

είναι επίσης μονότονη.

Έχουμε:

$z_{n+1} - z_n = \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} x_i \displaystyle\sum_{i=1}^n y_i - \displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} y_i \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}y_i \displaystyle\sum_{i=1}^ny_i} = \displaystyle\frac{x_{n+1}\displaystyle\sum_{i=1}^ny_i - y_{n+1}\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}x_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}y_i \displaystyle\sum_{i=1}^ny_i}$

Έστω τώρα ότι η ακολουθία $\{\frac{x_n}{y_n}\}$ είναι αύξουσα, τότε για κάθε $1\leq i<n+1$ ισχύει ότι:

$\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}} \geq \frac{x_i}{y_i} \Rightarrow x_{n+1}y_i \geq y_{n+1}x_i$

Έπεται ότι:

$x_{n+1}\displaystyle\sum_{i=1}^n y_i \geq y_{n+1}\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i$

και τελικά $z_{n+1} - z_n \geq 0 \Rightarrow z_{n+1} \geq z_n$ .

Αντίστοιχα, άμα η ακολουθία $\{\frac{x_n}{y_n}\}$ είναι φθίνουσα, τότε και η ακολουθία $\{z_n\}$ είναι φθίνουσα.

Tolaso J Kos · #196

Άσκηση 71

Αν η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ η οποία έχει τοπικό μέγιστο σε κάθε $x \in \mathbb{R}$ τότε δείξτε ότι το $f(\mathbb{R})$ είναι αριθμήσιμο.

Tolaso J Kos · #197

Άσκηση 72 (εύκολη)

Έστω $a_n>0, \; \forall n \in \mathbb{N}$ . Τότε:

α)αν η σειρά $\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n$ συγκλίνει να δείξετε ότι και η σειρά $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_n a_{n+1}}$ συγκλίνει καθώς επίσης και η σειρά $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left(a_n^{-1} + a_{n+1}^{-1} \right)$

β)Δώστε παράδειγμα όπου τα αντίστροφα των παραπάνω δεν ισχύουν.

#198

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 72 (εύκολη)

Έστω $a_n>0, \; \forall n \in \mathbb{N}$ . Τότε:

α)αν η σειρά $\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n$ συγκλίνει να δείξετε ότι και η σειρά $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_n a_{n+1}}$ συγκλίνει καθώς επίσης και η σειρά $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left(a_n^{-1} + a_{n+1}^{-1} \right)$

β)Δώστε παράδειγμα όπου τα αντίστροφα των παραπάνω δεν ισχύουν.

Η πρώτη είναι άμεση από την $\sqrt{a_n a_{n+1}} \le \frac {1}{2} (a_n + a_{n+1})$ και το κριτήριο σύγκρισης. Αντιπαράδειγμα για το αντίστροφο: $a_{2n}=1, a_{2n+1} = \frac {1}{n^4}$ . Σε αυτή την περίπτωση η σύγκλιση της $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_n a_{n+1}}$ είναι άμεση από την σύγκλιση της $\sum \frac {1}{n^2}$ , όμως η $\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n$ αποκλίνει αφού $a_{2n}\, ~ \cancel {\rightarrow} \, ~0$ .

Για την δεύτερη προφανώς υπάρχει τυπογραφικό σφάλμα (ως έχει, δεν ισχύει). Υποθέτω το σωστό είναι $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left(a_n^{-1} + a_{n+1}^{-1} \right)^{-1}$

Ισχύει $\displaystyle{ \left(a_n^{-1} + a_{n+1}^{-1} \right)^{-1} \le \frac {1}{4} (a_n + a_{n+1}) }$ , και λοιπά (όπως πριν). Αντιπαράδειγμα για το αντίστροφο: $a_{2n}=1, a_{2n+1} = \frac {1}{n^2}$ που η μεν μία συγκλίνει λόγω της σύγκλισης της $\sum \frac {1}{n^2}$ ενώ η άλλη αποκλίνει (όπως πριν).

Φιλικά,

Μιχάλης

Tolaso J Kos · #199

Άσκηση 73

Έστω $r_1, \; r_2, \dots, r_n$ μια αρίθμηση των θετικών ρητών. Κατασκευάζουμε τα σύνολα $A_n=(-r_n, \; r_n)$ . Να υπολογιστούν τα $\limsup A_n, \; \liminf A_n$ .

Άσκηση 74

Ορίζουμε δύο ακολουθίες συναρτήσεων ως εξής:

$\displaystyle{f_n(x)=x \left ( 1+ \frac{1}{n} \right ), \; \;x \in \mathbb{R}, \;\;\; g_n(x)= \left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{n} &, &x=0 \; \acute{\eta} \; x \in \mathbb{Q}' \\\\ b+\dfrac{1}{n}&, &x \in \mathbb{Q} \end{matrix}\right. , \;\; b>0}$

Ορίζουμε h_n(x)=f_n(x) g_n(x)

. Να δείξετε ότι:

α) Τόσο η f_n

όσο και η

συγκλίνουν ομοιόμορφα σε κάθε φραγμένο διάστημα.
β) Η h_n

δε συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάθε φραγμένο διάστημα.

Edit: Έβαλα τη δεύτερη άσκηση.

#200

Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 73

Έστω $r_1, \; r_2, \dots, r_n$ μια αρίθμηση των θετικών ρητών. Κατασκευάζουμε τα σύνολα $A_n=(-r_n, \; r_n)$ . Να υπολογιστούν τα $\limsup A_n, \; \liminf A_n$ .

Απάντηση: $\limsup A_n = \mathbb R,\; \liminf A_n= \{0\}$

Έστω a>0

. Επειδή υπάρχουν άπειροι θετικοί ρητοί μεγαλύτεροι του

, σημαίνει ότι ο

βρίσκεται σε άπειρα από τα (-r_n,r_n)

. Άρα ο

ανήκει σε όλα τα $\displaystyle{\cup_{n=N}^{\infty} A_n, \, N\in \mathbb N}$ , οπότε και στην τομή τους $\displaystyle{\cap_{N=1}^{\infty}\cup_{n=N}^{\infty} A_n = \limsup A_n}$ . Από αυτό έπεται ο πρώτος ισχυρισμός.

Το

βρίσκεται σε όλα τα A_n

. Έστω

. Επειδή υπάρχουν άπειροι θετικοί ρητοί μικρότεροι του

, σημαίνει ότι ο

δεν βρίσκεται σε κανένα από τα $\displaystyle{\cap_{n=N}^{\infty} A_n, \, N\in \mathbb N}$ , οπότε δεν ανήκει ούτε στην ένωσή τους $\displaystyle{\cup_{N=1}^{\infty}\cap_{n=N}^{\infty} A_n = \liminf A_n}$ . Από αυτό έπεται ο δεύτερος ισχυρισμός.

Φιλικά,

Μιχάλης

Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Re: Ασκήσεις στην Ανάλυση!

Μέλη σε σύνδεση