Ύπαρξη μοναδικής ρίζας ..
Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis
- Σεραφείμ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1872
- Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα
Ύπαρξη μοναδικής ρίζας ..
Για την συνάρτηση ισχύει: για κάθε . Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα.
Σεραφείμ Τσιπέλης
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Ύπαρξη μοναδικής ρίζας ..
Καλησπέρα!
Μια προσπάθεια επίλυσης για την άσκηση του Σεραφείμ.
Για y=x0 και χρησιμοποιώντας το κριτήριο παρεμβολής , έχουμε (νομίζω σχετικά απλά) πως η f είναι συνεχής στο τυχαίο x0 του R. Συνεπώς θα είναι συνεχής για κάθε χ πραγματικό.
Επιπλέον για y=0, λάμβάνουμε:
σχέση που μας λέει πως η f είναι φραγμένη.
Ας υποθέσουμε τώρα πως η f(x)=x δεν έχει καμία ρίζα στο R. Τότε η g(x)=f(x)-x ,x πραγματικός διατηρεί σταθερό πρόσημο
στο R.
Αν υποθέσουμε πως g(x)>0 για κάθε χ πραγματικό, τότε και f(x)>x για κάθε χ πραγματικό.Επειδή
θα είναι και
άτοπο μιας και η f είναι φραγμένη.
Αν g(x)<0 για κάθε χ πραγματικό τότε και f(x)<x,για κάθε χ πραγματικό.
Επειδή:
θα είναι και :
άτοπο,μιας και η f είναι φραγμένη.
Αν τώρα υποθέσουμε πως η εξίσωση f(x)=x εχει δύο (ή περισσότερες,αλλά μας αρκεί το ''δύο'') διαφορετικές μεταξύ τους λύσεις,ας είναι αυτές x0,y0 αντιστοίχως, τότε:
Για χ=x0,y=y0 έχω:
άτοπο .
Τι μένει;
Μια ψυχή που είναι να βγεί, ας βγεί...
Η εξίσωση f(x)=x έχει μοναδική λύση,στην περιπτωσή μας.
Υ.Γ(1):
Δε μου χρειάστηκε η συνέχεια, αλλά μιας και την απέδειξα την έβαλα κι αυτή στη λύση!
Υ.Γ(2)
Το ξέρω, δεν ήμουν και τόσο σχολικός στη λύση μου
Υ.Γ(3)
Σεραφείμ, καλύτερα που άλλαξες το ''παρατσούκλι'' γιατί δεν είσαι καθόλου persona non grata,ούτε για πλάκα!
Μα τι λέω. Πως δε μου χρειάστηκε η συνέχεια!!Κάποια στιγμή λέω πως η διατηρεί σταθερό πρόσημο κτλ,κτλ,κτλ!!! Γεράματα...
Μια προσπάθεια επίλυσης για την άσκηση του Σεραφείμ.
Για y=x0 και χρησιμοποιώντας το κριτήριο παρεμβολής , έχουμε (νομίζω σχετικά απλά) πως η f είναι συνεχής στο τυχαίο x0 του R. Συνεπώς θα είναι συνεχής για κάθε χ πραγματικό.
Επιπλέον για y=0, λάμβάνουμε:
σχέση που μας λέει πως η f είναι φραγμένη.
Ας υποθέσουμε τώρα πως η f(x)=x δεν έχει καμία ρίζα στο R. Τότε η g(x)=f(x)-x ,x πραγματικός διατηρεί σταθερό πρόσημο
στο R.
Αν υποθέσουμε πως g(x)>0 για κάθε χ πραγματικό, τότε και f(x)>x για κάθε χ πραγματικό.Επειδή
θα είναι και
άτοπο μιας και η f είναι φραγμένη.
Αν g(x)<0 για κάθε χ πραγματικό τότε και f(x)<x,για κάθε χ πραγματικό.
Επειδή:
θα είναι και :
άτοπο,μιας και η f είναι φραγμένη.
Αν τώρα υποθέσουμε πως η εξίσωση f(x)=x εχει δύο (ή περισσότερες,αλλά μας αρκεί το ''δύο'') διαφορετικές μεταξύ τους λύσεις,ας είναι αυτές x0,y0 αντιστοίχως, τότε:
Για χ=x0,y=y0 έχω:
άτοπο .
Τι μένει;
Μια ψυχή που είναι να βγεί, ας βγεί...
Η εξίσωση f(x)=x έχει μοναδική λύση,στην περιπτωσή μας.
Υ.Γ(1):
Δε μου χρειάστηκε η συνέχεια, αλλά μιας και την απέδειξα την έβαλα κι αυτή στη λύση!
Υ.Γ(2)
Το ξέρω, δεν ήμουν και τόσο σχολικός στη λύση μου
Υ.Γ(3)
Σεραφείμ, καλύτερα που άλλαξες το ''παρατσούκλι'' γιατί δεν είσαι καθόλου persona non grata,ούτε για πλάκα!
Μα τι λέω. Πως δε μου χρειάστηκε η συνέχεια!!Κάποια στιγμή λέω πως η διατηρεί σταθερό πρόσημο κτλ,κτλ,κτλ!!! Γεράματα...
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Κυρ Δεκ 20, 2009 11:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Χρήστος Κυριαζής
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Ύπαρξη μοναδικής ρίζας ..
Αναστάση με πρόλαβες στη στροφή!
Επαναλαμβάνω:
Γ Ε Ρ Α Μ Α Τ Α!!!
Αναστάση που πήγε η απάντηση σου;;;Κατάλαβα,ο Δαίμων του φόρουμ τα πράττει όλα αυτά!
Επαναλαμβάνω:
Γ Ε Ρ Α Μ Α Τ Α!!!
Αναστάση που πήγε η απάντηση σου;;;Κατάλαβα,ο Δαίμων του φόρουμ τα πράττει όλα αυτά!
Χρήστος Κυριαζής
- Κοτρώνης Αναστάσιος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3203
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
- Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
- Επικοινωνία:
Re: Ύπαρξη μοναδικής ρίζας ..
Εμένα πάντως σχολική μου φάνηκε η λύση..
Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Ύπαρξη μοναδικής ρίζας ..
Να διορθώσω στα γρήγορα και το άτοπο μου,αλλά απολογούμαι, την έλυσα πραγματικά στο πόδι. Εννοώ χωρίς χαρτί.
Είναι : |x0-y0|μικρότερο ή ίσο με 0 => x0=y0 άτοπο και όχι 1 μικρότερο ή ίσο του 0 .
Συγνώμη για την φλυαρία μου!
Είναι : |x0-y0|μικρότερο ή ίσο με 0 => x0=y0 άτοπο και όχι 1 μικρότερο ή ίσο του 0 .
Συγνώμη για την φλυαρία μου!
Χρήστος Κυριαζής
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ύπαρξη μοναδικής ρίζας ..
Χρήστο, χρειάστηκε η συνέχεια. Είναι στο βήμα (αντιγράφω)chris_gatos έγραψε:
Υ.Γ(1):
Δε μου χρειάστηκε η συνέχεια, αλλά μιας και την απέδειξα την έβαλα κι αυτή στη λύση!
Τότε η g(x)=f(x)-x ,x πραγματικός διατηρεί σταθερό πρόσημο
Φιλικά,
Μιχάλης.
Re: Ύπαρξη μοναδικής ρίζας ..
Έχω στο συνημμένο μια κάπως διαφορετική λύση για τον φίλο μου τον Σεφαφείμ
- Συνημμένα
-
- Αν.doc
- (74 KiB) Μεταφορτώθηκε 93 φορές
Σπύρος Καπελλίδης
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Ύπαρξη μοναδικής ρίζας ..
Φυσικά και χρειάστηκε , το λέω καθαρά και στα επόμενα μηνύματα μου. Απλά είμαι λίγο ''dizzy'' σήμερα και γράφω ότι να'ναι!
Ευχαριστώ πολύ.
Ευχαριστώ πολύ.
Χρήστος Κυριαζής
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες