Μια γνωστή ταυτότητα μέσα από τις σειρές Fourier

Tolaso J Kos · #1

Έστω

μία $2\pi$ περιοδική συνάρτηση με τύπο : $f(x)=\cos ax, \; a \notin \mathbb{Z}, \;\; |x|\leq \pi$ . Αναπτύξτε την

σε σειρά ${\rm Fourier}$ και αποδείξτε τη ταυτότητα:

$\displaystyle{\pi \cot \pi a =\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{n+a}, \quad a \notin \mathbb{Z}}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε:Έστω μία $2\pi$ περιοδική συνάρτηση με τύπο : $f(x)=\cos ax, \; a \notin \mathbb{Z}, \;\; |x|\leq \pi$ . Αναπτύξτε την σε σειρά ${\rm Fourier}$ και αποδείξτε τη ταυτότητα:

$\displaystyle{\pi \cot \pi a =\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{n+a}, \quad a \notin \mathbb{Z}}$

Ως έχει, η άσκηση χρειάζεται διευκρίνιση επειδή η σειρά αποκλίνει. Αυτό που κάνουμε είναι να θεωρήσουμε το άθροισμα ως όριο των συμμετρικών (από

έως

) μερικών αθροισμάτων. Εδώ συγχωνεύονται τα $\displaystyle{\frac {1}{-n+a} + \frac {1}{n+a}= \frac {2a}{a^2-n^2}}$ , και η αντίστοιχη σειρά συγκλίνει.

Από τους τύπους για τους συντελεστές Fourier για την συνεχή και άρτια $\cos ax$ θα βρούμε (η ολοκλήρωση είναι απλή)

$\displaystyle{ \cos ax = \frac {2}{\pi} \sin a \pi \left ( \frac {1}{2a}+ \sum _{1}^{\infty } (-1)^n \frac {a \cos nx } {a^2-n^2}\right ) }$ .

Θέτοντας $x= \pi$ παίρνουμε αμέσως το ζητούμενο.

Φιλικά,

Μιχάλης

Μια γνωστή ταυτότητα μέσα από τις σειρές Fourier

Μια γνωστή ταυτότητα μέσα από τις σειρές Fourier

Re: Μια γνωστή ταυτότητα μέσα από τις σειρές Fourier

Μέλη σε σύνδεση