Μία με σταθερή.

#1

Καλημέρα σε όλους. Έστω μία συνάρτηση

ορισμένη στο $\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει $\left| f\left( x\right) -f\left( y\right) \right| \leq \left( x-y\right) ^{2}$ για όλα τα x,y

. Να αποδειχθεί ότι η

είναι σταθερή.

Πρόκειται για την άσκηση Β-1-257 του σχολικού η οποία λύνετα εύκολα με βάση το ότι αν η παράγωγος είναι μηδέν τότε η συνάρτηση είναι σταθερή. Ζητείται να δοθεί λύση χωρίς παραγώγους.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ Δεν ξέρω αν το έχουμε ξαναδεί αλλά νομίζω ότι έχει ενδιαφέρον. Η λύση που έχω χρησιμοποιεί βασικές ιδιότητες του $\mathbb{R}$ .

Μαυρογιάννης

#2

nsmavrogiannis έγραψε:Καλημέρα σε όλους. Έστω μία συνάρτηση ορισμένη στο $\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει $\left| f\left( x\right) -f\left( y\right) \right| \leq \left( x-y\right) ^{2}$ για όλα τα . Να αποδειχθεί ότι η είναι σταθερή.

Πρόκειται για την άσκηση Β-1-257 του σχολικού η οποία λύνετα εύκολα με βάση το ότι αν η παράγωγος είναι μηδέν τότε η συνάρτηση είναι σταθερή. Ζητείται να δοθεί λύση χωρίς παραγώγους.

Νίκο, Καλημέρα.

Σου κάνει αυτό;

Χωρίζουμε το [x,y]

σε

ίσα μέρη και σε καθένα χρησιμοποιούμε την δοθείσα. Έτσι

$\displaystyle{\left| f\left( x\right) -f\left( y\right) \right| \le$

$\displaystyle{\le\left| f\left( x\right) -f\left( x + \frac {y-x}{N}\right) \right|+ ... + \left| f\left( x + (N-2)\frac {y-x}{N}\right ) -f\left( x + (N-1) \frac {y-x}{N}\right) \right|+ \left| f\left( x + (N-1)\frac {y-x}{N}\right ) -f\left( y\right) \right| }$

$\displaystyle{\le\left|\frac {y-x}{N}\right|^2+ ... + \left|\frac {y-x}{N}\right|^2 }= N \left|\frac {y-x}{N}\right|^2 }= \frac {(y-x)^2}{N}} }$

Παίρνουμε τώρα όριο $N\to \infty$ , οπότε |f(x)-f(y)|=0

.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Καλημέρα!

Δείτε και τον (ίδιο) 1ο τρόπο εδώ

Πρόκειται για κλασική άσκηση, όμως, οπότε πιθανότατα την έχουμε δει αυτούσια.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#4

Μιχάλη, Αχιλλέα σας ευχαριστώ. Και εγώ με διαμέριση την έκανα. Μπορούμε να αποφύγουμε την αναφορά στην σύγκλιση λέγοντας (χρησιμοποιώ το συμβολισμό του Μιχάλη):
Αν για κάποια $x \neq y$ είναι $f(x) \neq f(y)$ τότε για κάθε θετικό ακέραιο

ισχύει:
$N\leq \frac{\left( x-y\right) ^{2}}{\left| f\left( x\right) -f\left( y\right) \right| }$
Πράγμα αδύνατο γιατί το $\mathbb{R}$ είναι Αρχιμήδειο.
Η παρατήρηση αυτή έχει σημασία.
Η συνήθης απόδειξη της άσκησης του σχολικού χρησιμοποιεί το θεώρημα " $f^{\prime }=0\Rightarrow f$ σταθερή" που όπως έχουμε δει αλλού (viewtopic.php?f=9&t=8811&p=49734#p49734) είναι ιδιότητα ισοδύναμη με κάποιο αξίωμα συνεχείας. Στην προσέγγιση που κάναμε εδώ αρκεί μία πολύ χαλαρότερη ιδιότητα: Να δουλεύουμε σε ένα Αρχιμήδειο διατεταγμένο σώμα.

Η εύλογη ερώτηση που προκύπτει (για την οποία δεν έχω απάντηση) είναι η εξής:

Έστω ενα διατεταγμένο σώμα με την ιδιότητα:
Κάθε συνάρtηση $f:F\rightarrow F$ για την οποία ισχύει $|f(x)-f(y){ \leq (x-y)^{2}$ είναι σταθερή.
Είναι άραγε το Αρχιμήδειο;

Μαυρογιάννης

S.E.Louridas · #5

Επιτρέψτε μου μία διδακτική παρατήρηση.

Την φυσιολογικότατη κίνηση προς την επίλυση μέσω της παραγώγου την «δείχνει» ο εκθέτης

αφού μας επιτρέπει την $x \ne y,\;\,\left| {f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right| \leqslant {\left| {x - y} \right|^2} \Rightarrow \frac{{\left| {f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right|}}{{\left| {x - y} \right|}} \leqslant \left| {x - y} \right|...$ Εδώ θα μπορούσε κανείς διδακτικά να μιλήσει και για την περίπτωση $\left| {f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right| \leqslant \left| {x - y} \right|,$ για όλα τα x,y,

όπου τα

εξουδετερώνονται κ.τ.λ.

S.E.Louridas · #6

απόσυρση

#7

S.E.Louridas έγραψε:Μία προσπάθεια με τα πλέον στοιχειώδη μέσα...ίδωμεν:

Θεωρούμε ${x_1} \ne {x_2}.$ Αρκεί να αποδείξουμε $f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right).$ Έστω ότι ισχύει $f\left( {{x_1}} \right) \ne f\left( {{x_2}} \right).$ Τότε ισχύουν οι σχέσεις: $r > 0,\,\;\cos w \ne 0,\,\;\sin w \ne 0\,$ και παίρνουμε : ${\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} + {\left| {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right|^2} = {r^2} \Rightarrow$ $\displaystyle{\left| {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right| + {\left| {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right|^2} \leqslant {r^2} \Rightarrow}$ $\displaystyle{0 < \frac{{\left| {\sin w} \right|}}{r} + {\sin ^2}w \leqslant 1 \Rightarrow r \geqslant \frac{{\left| {\sin w} \right|}}{{{{\cos }^2}w}} > 0}$ που αυτό λόγω της κλάσης των ομοίων σχημάτων προς το ορθογώνιο τρίγωνο θα πρέπει να ισχύει για κάθε θετικό Αυτό όμως είναι άτοπο. Άρα τελικώς ισχύει $f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right).$

Καλησπέρα, Σωτήρη!

Δεν είμαι σίγουρος ότι το επιχείρημα με κόκκινα γράμματα ισχύει.

Ίσως να μην το βλέπω, όμως, οπότε περισσότερες λεπτομέρειες θα με διευκόλυναν να το καταλάβω.

Φιλικά,

Αχιλλέας

S.E.Louridas · #8

απόσυρση

#9

S.E.Louridas έγραψε:Ναι φίλε Αχιλλέα,
Το σκεπτικό μου είναι το εξής:
Αν μεταξύ των σημείων θεωρήσουμε σημείο τέτοιο που $\displaystyle{KC \in \left( {0,\,\frac{{\left| {\sin w} \right|}}{{{{\cos }^2}w}}} \right),}$ τότε έχουμε τις αντίστοιχες προβολές του , $x_2{'} \in \left( {{x_1},{x_2}} \right)\,\,,\;\,f\left( {x_2{'}} \right) \in \left( {f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right)} \right)$ με την γωνία να μένει αναλλοίωτη.

Γιατί όμως αν $x_2{'} \in \left( {{x_1},{x_2}} \right)$ , η τιμή της

είναι $f\left( {x_2{'}} \right) \in \left( {f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right)} \right)$ ;

Φιλικά,

Αχιλλέας

S.E.Louridas · #10

απόσυρση

#11

S.E.Louridas έγραψε:Θεώρησα Αχιλλέα ότι λόγω των απολύτων οι ορισμοί των ημιτόνου και συνημίτονου εντός αυτών, δίνουν τα αποτελέσματα που έδωσα, είτε $f\left( {x_2{'}} \right) \in \left( {f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right)} \right)$ είτε $f\left( {x_2{'}} \right) \in \left( {f\left( {{x_2}} \right),f\left( {{x_1}} \right)} \right),$ αν αυτό εννοείς.
Τέλος πάντων θα το ελέγξω βλέποντας διεξοδικά τις περιπτώσεις, αν αυτό χρειάζεται.

Όχι, τόσο αυτό.

Έχω μπερδευτεί τι θεωρούμε σταθερό, και τι όχι.

Κυρίως, όμως, γιατί οποιοδήποτε σημείο

όπως παραπάνω να ανηκει στη γραφική παράσταση της

;

Αυτό δεν καταλαβαίνω.

Φιλικά,

Αχιλλέας

S.E.Louridas · #12

Πράγματι Αχιλλέα υπήρξε κενό ως προς βασικές αιτιολογήσεις χωρίς π.χ. την συνέχεια.
Σε ευχαριστώ.

S.E.Louridas · #13

Απλά επανέρχομαι γιατί οφείλω να εξηγήσω ότι προσπάθησα να επιλύσω το θέμα ει δυνατόν χωρίς την χρήση καν του ορίου καθότι είχα ήδη υπόψη μου την άσκηση που υπάρχει στο πρώτο τεύχος του Βιβλίου, «ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ του Θ. Καζαντζή» (πριν τη συνέχεια και την παράγωγο) και που είναι η εξής:

«Θεωρούμε τη συνάρτηση $f:{\Cal R} \to {\Cal R}$ με την ιδιότητα $f\left( x \right) - f\left( y \right) \leqslant {\left( {x - y} \right)^2}\;\,\forall x,y \in {\Cal R}$ . Αποδείξτε ότι η

είναι σταθερή συνάρτηση».
Αυτή επιλύεται βέβαια και εκεί με τον κλασικό τρόπο της διαμέρισης του διαστήματος $\left[ {x,y} \right]$ σε ίσα μέρη με τους αριθμούς $\displaystyle{x < {a_1} < {a_2} < ... < {a_{n - 1}} < y \Rightarrow {a_1} - x = {a_2} - {a_1} = ... = \frac{{y - x}}{n}...}$ κάτι που ήδη είδαμε επιτυχώς.
Το απόλυτο αριστερά δεν χρειάζεται εξαρχής και εισέρχεται εκ των υστέρων και μετά τη διαμέριση του διαστήματος [x,y]

, βάση της γνωστής ιδιότητας $- B \leqslant A \leqslant B \Leftrightarrow \left| A \right| \leqslant B.$

(*) Προσωπικά θεωρώ πλέον ότι διδακτικά έχει την σημασία του να αναφερθεί εδώ, ότι η επίλυση της
« Βρείτε συνάρτηση $f:{\Cal R} \to {\Cal R}$ με την ιδιότητα $\left| {f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right| \leqslant \left| {x - y} \right|\;\;\,\forall x,y \in {\Cal R}$ » δίνει ως λύση όλες τις συναρτήσεις της μορφής $f\left( x \right) = a + x\;$ αλλά και όλες τις συναρτήσεις της μορφής $f\left( x \right) = a - x\;$ όπου

σταθερά.

#14

Καλησπέρα σε όλους! Ένας άλλος τρόπος για να ζητήσουμε την άσκηση χωρίς την παραγωγισιμότητα είναι ο εξής:
Έστω $f: \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R}$ ώστε $|f(x)-f(y)|\leq (x-y)^{2}$ για κάθε $x,y \in\mathbb{Q}$ . Να αποδειχεί ότι η

είναι σταθερή.

#15

nsmavrogiannis έγραψε:
Έστω ενα διατεταγμένο σώμα με την ιδιότητα:
Κάθε συνάρtηση $f:F\rightarrow F$ για την οποία ισχύει $|f(x)-f(y){ \leq (x-y)^{2}$ είναι σταθερή.
Είναι άραγε το Αρχιμήδειο;

Ενδιαφέρον.

Απάντηση: Όχι, το σώμα δεν είναι κατ' ανάγκη Αρχιμήδειο. Ακριβέστερα, υπάρχει μη Αρχιμήδειο διατεταγμένο σώμα

που περιέχει το $\mathbb R$ στο οποίο η μόνες $f:F\rightarrow F$ για τις οποίες ισχύει $|f(x)-f(y)|{ \leq (x-y)^{2}, \, \forall x, y$ είναι οι σταθερές.

Αντιλαμβάνεται κανείς ότι ένα τέτοιο σώμα πρέπει να είναι "περίεργο", και τέτοιο υιοθετώ στα παρακάτω. Δυστυχώς η πλήρης περιγραφή απαιτεί γνώσεις πέρα από τις ευρέως γνωστές αλλά προέρχονται από την άκρως ενδιαφέρουσα θεωρία των hyperreal αριθμών της λεγόμενης Nonstandard Analysis του Abraham Robinson. Η εν λόγω θεωρία δεν είναι τόσο δύσκολη, αλλά εν γένει δεν διδάσκεται στα Πανεπιστήμια. Μπορεί όμως να την βρει κανείς στο υπέροχο βιβλίο των James M. Henle και Eugene M. Kleinberg, Infinitesimal Calculus. Βλέπε π.χ. εδώ το οποίο συνιστώ σε όλους να το μελετήσουν. Το βιβλίο αυτό μπορεί να το βρει κανείς νομίμως και δωρεάν στο ιντερνέτ αλλά δεν παραθέτω λινκ γιατί έχω αργή σύνδεση και όλες οι ιστοσελίδες με download μου δημιουργούν πρόβλημα.

Δίνω μία σύντομη αλλά ελλειπή περιγραφή των στοιχείων που θα χρειαστώ. Για την πλήρη εικόνα, πρέπει να ανατρέξει κανείς στο παραπάνω βιβλίο ή σε ισοδύναμα ή στην Wikipedia.

Το σώμα

των hyperreal αριθμών αποτελείται από τους (κλασσικούς) πραγματικούς αριθμούς, τα απειροστά (infinitesimals) και τους άπειρα μεγάλους αριθμούς. Ικανοποιεί τις συνηθισμένες ιδιότητες των πραγματικών πλην της Αρχιμήδειας. Για παράδειγμα αν $\theta >0$ απειροστό, τότε ισχύει $0< \theta < r$ για κάθε θετικό πραγματικό

, και ειδικά δεν υπάρχει $N \in \mathbb N$ τέτοιο ώστε $N\theta > 1$ .

Αν s,t

hyperreal, γράφουμε $s\approx t$ αν η διαφορά s-t

είναι απειροστό ή

.

Αν

πεπερασμένος hypperreal αριθμός, τότε υπάρχει ένας και μοναδικός πραγματικός αριθμός $\boxed r$ και απειροστό $\theta$ (ή μηδέν) με $r=\boxed {r} + \theta$ . (To περίεργο σύμβολο με το κουτάκι είναι αυτό που έχει καθιερωθεί στην βιβλιογραφία). Το $\boxed {r}$ ονομάζεται το standard τμήμα του

.

Μία συνάρτηση

στο

λέγεται παραγωγίσιμη στο

αν για κάθε $s\approx t$ η ποσότητα $\displaystyle{\frac {f(s)-f(t)}{s-t}$ είναι πεπερασμένη και έχει το ίδιο standard τμήμα, ανεξάρτητα του

. Σε αυτή την περίπτωση γράφουμε

$\displaystyle{f'(t) = \boxed {\frac {f(s)-f(t)}{s-t}}}$ (ίσον το standard τμήμα που αναφέρθηκε στην προηγούμενη γραμμή).

Είμαστε τώρα έτοιμοι για το αποδεικτέο: Έστω $f:F\rightarrow F$ συνάρτηση με $|f(x)-f(y)|{ \leq (x-y)^{2}, \, \forall x, y \in F.$ Εύκολα βλέπουμε ότι η

είναι παραγωγίσιμη με $f'(t)=0, \forall t\in F$ . Πράγματι, αν $s\approx t$ τότε $\displaystyle{\left | \frac {f(s)-f(t)}{s-t} \right | \le |s-t|$ που είναι απειροστό ή μηδέν. Άρα το standard τμήμα του $\displaystyle{\frac {f(s)-f(t)}{s-t}$ είναι πεπερασμένο και μάλιστα

. Έπεται ότι η

είναι παραγωγίσιμη (όπως ήταν αναμενόμενο) με $f'(t)=0, \forall t \in F$ .

Από το αμέσως παραπάνω έπεται ως θεώρημα ότι η

είναι σταθερή (βλέπε Henle και Kleinberg, Infinitesimal Calculus σελίς

). Ας προσθέσω ότι το εν λόγω θεώρημα μας είναι γνώριμο στο $\mathbb R$ αλλά ισχύει και στο

. Η απόδειξή στην περίπτωση του

είναι απλή, και αν ξέρει κανείς την θεωρία των hyperreal, το αποτέλεσμα είναι απόλυτα αναμενόμενο από την λεγόμενη (δεν μπαίνω στις λεπτομέρειες) Αρχή της Μεταφοράς/Transfer Principle.

Με τα παραπάνω ολοκληρώνεται αυτό που είχα να πω.

Φιλικά,

Μιχάλης

#16

Μιχάλη εύγε!! Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση.
Μαυρογιάννης

ΥΓ Αξίζει να σημειωθεί ότι ο ορισμός της παραγώγου στο παράδειγμα του Μιχάλη είναι διαφορετικός από αυτόν της "standard" ανάλυσης (βλ. συμπληρωματικά και Enle-Kleinberg ο.π. σ. 66)

Μία με σταθερή.

Μία με σταθερή.

Re: Μία με σταθερή.

Re: Μία με σταθερή.

Re: Μία με σταθερή.

Re: Μία με σταθερή.

Re: Μία με σταθερή.

Re: Μία με σταθερή.

Re: Μία με σταθερή.

Re: Μία με σταθερή.

Re: Μία με σταθερή.

Re: Μία με σταθερή.

Re: Μία με σταθερή.

Re: Μία με σταθερή.

Re: Μία με σταθερή.

Re: Μία με σταθερή.

Re: Μία με σταθερή.

Μέλη σε σύνδεση