Ελλειπτικό τραπέζι μπιλιάρδου

gian7 · #1

Εδώ θα δείτε την ωραία κατασκεύη ενός ελλειπτικού τραπεζιού για μπιλιάρδο, όπου διαλέγοντας κατάλληλα ενα σημείο για να τοποθετήσουμε την μπάλα, ένα άλλο για να τοποθετήσουμε την τρύπα, άλλα και κατάλληλη δύναμη να την χτυπήσουμε με την στέκα (κάπου εδώ μπαίνει και η φυσική στη μέση), η μπάλα μέτα απο κάθε τυχαίο χτύπημα θα καταλήξει μέσα στη τρύπα.
Υ.Γ. Επειδή στην επιστήμη πολλές φορές το ερώτημα δεν είναι "Γιατι;", αλλά "Γιατί όχι;"

#2

Ας αποδειχθεί λοιπόν πως αν έχουμε ένα ελλιπτικό μπιλιάρδο και χτυπήσουμε την μπάλα από την μια εστία τότε θα περάσει από την άλλη εστία.

#3

Για την ιστορία, η αρχαιότερη σωζόμενη απόδειξη της ανακλαστικής ιδιότητας της έλλειψης υπάρχει στα Κωνικά του Απολλωνίου. Δεν θυμάμαι το ακριβές σημείο, αλλά θα επανέλθω. Είναι σχεδόν βέβαιο (αλλά δεν θα επιχειρηματολογήσω εδώ) ότι την εν λόγω ιδιότητα την γνώριζε και ο Ευκλείδης, και ότι την είχε συμπεριλάβει στο χαμένο σήμερα έργο του Κωνικά.

Μία διαφορετική και πολλή κομψή απόδειξη υπάρχει στο Περί παραδόξων μηχανημάτωνν του αρχιτέκτονα της Αγίας Σοφίας, Ανθεμίου. Την ίδια απόδειξη την επαναλαμβάνει ο Νεύτων στα Principia. Μερικά, ελάχιστα, ιστορικά σχόλια είχα γράψει εδώ

Αξίζει κατά προτροπή του Δημήτρη στο προηγούμενο ποστ, να σταχυολογηθούν διάφορες αποδείξεις. Γνωρίζω τουλάχιστον πέντε.

#4

Μια απόδειξη μόνο με Γεωμετρία ( είναι του Z.P Usiscin , Chicago Univ. )

: ellipse.png (13.21 KiB) Προβλήθηκε 698 φορές

Έστω $\displaystyle{M}$ τυχαίο σημείο της έλλειψης και $\displaystyle{\text{( }\!\!\varepsilon\!\!\text{ )}}$ η εφαπτόμενη ευθεία
Ισχύει $\displaystyle{ME+M{E}'=2a}$ .
Επίσης λόγω κυρτότητας κάθε σημείο $\displaystyle{N}$ της ευθείας $\displaystyle{\text{( }\!\!\varepsilon\!\!\text{ )}}$ διαφορετικό του $\displaystyle{M}$ θα βρίσκεται εκτός της έλλειψης οπότε $\displaystyle{NE+N{E}'>2a}$
Αρκεί να δειχτεί ότι $\displaystyle{\angle {{M}_{2}}=\angle {{M}_{1}}}$
Θεωρούμε το συμμετρικό $\displaystyle{Z}$ της εστίας $\displaystyle{E}$ ως προς την $\displaystyle{(\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ )}}$
Λόγω συμμετρίας είναι : $\displaystyle{ME=MZ,\,\,\,\,NE=NZ,\,\,\,\,\angle {{M}_{2}}=\angle {{M}_{3}}}$
Είναι : $\displaystyle{M{E}'+MZ=M{E}'+ME=2a<NE+N{E}'=N{E}'+ZN}$
Άρα το $\displaystyle{M}$ ελαχιστοποιεί το άθροισμα $\displaystyle{N{E}'+NZ}$ οπότε τα $\displaystyle{Z,M,{E}'}$ είναι συνευθειακά .
Άρα $\displaystyle{\angle {{M}_{1}}=\angle {{M}_{3}}}$ (κατακορυφήν ) και τελικά $\displaystyle{\angle {{M}_{2}}=\angle {{M}_{1}}}$

#5

exdx έγραψε:Μια απόδειξη μόνο με Γεωμετρία ( είναι του Z.P Usiscin , Chicago Univ. )

Αυτή είναι η απόδειξη στο Περί παραδόξων μηχανημάτων του Ανθεμίου (6ος αι.), η οποία επαναλαμβάνεται στα Principia του Νεύτωνα (17 αι.)

Ελλειπτικό τραπέζι μπιλιάρδου

Ελλειπτικό τραπέζι μπιλιάρδου

Re: Ελλειπτικό τραπέζι μπιλιάρδου

Re: Ελλειπτικό τραπέζι μπιλιάρδου

Re: Ελλειπτικό τραπέζι μπιλιάρδου

Re: Ελλειπτικό τραπέζι μπιλιάρδου

Μέλη σε σύνδεση