Γωνιακή ισότητα

panos misiakos · #1

Θεωρούμε εγγράψιμο τετράπλευρο ABCD

και τα σημεία τομής $E \equiv AD \cap BC$ , $F \equiv AC \cap BD$ . Έστω

το μέσο της

και

η προβολή του

στην

. Να δείξετε ότι $\angle AHM=\angle DFE$

ealexiou · #2

panos misiakos έγραψε:Θεωρούμε εγγράψιμο τετράπλευρο και τα σημεία τομής $E \equiv AD \cap BC$ , $F \equiv AC \cap BD$ . Έστω το μέσο της και η προβολή του στην . Να δείξετε ότι $\angle AHM=\angle DFE$

Μήπως $\angle DHM= \angle DFE;$ ή (που είναι το ίδιο) $\angle AHM=\angle BFE$ ;

panos misiakos · #3

Έχω λάθος στην εκφώνηση . Πάρε DC < AB

για να σου βγεί η συγκεκριμένη γωνιακή ισότητα . Διαφορετικά ισχύει αυτή που αναφέρεις.

raf616 · #4

Καλησπέρα Πάνο! Μία προσπάθεια:

Όπως μπορεί κανείς να παρατηρήσει, η άσκηση σχετίζεται με την ευθεία Newton-Gauss του πλήρους τετραπλεύρου. Η λύση μου ουσιαστικά βασίζεται σε ένα λήμμα του οποίου την

απόδειξη μπορεί κανείς να βρεί εδώ.

Λήμμα: Έστω

το μέσο του

και

το μέσο του

. Τότε $\angle EFC = \angle PMQ$ .

Μέσω αυτού του λήμματος μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε(η απόδειξη βρίσκεται και αυτή στο άρθρο που παρέθεσα) ότι τα σημεία M, Q, H, P

είναι ομοκυκλικά.

Πίσω στο πρόβλημα τώρα, έχουμε ότι:

$\angle AHM = 90^{o} - \angle MHF$ και $\displaystyle{\angle DFE = \angle HFP - \angle DFH = \angle FHP - 90^{o} + \angle BDA = \angle FHP - 90^{o} + \angle BCA}$ .

Άρα, αρκεί $\angle BCA + \angle FHP + \angle MHF = 180^{o} \iff \angle MHP = 180^{o} - \angle BCA$ .

Από το εγγράψιμο MQHP

έχουμε $\displaystyle{\angle MHP = \angle MQP = \angle CQP + \angle MQC = \angle CAD + \angle BFC = \angle DBC + \angle BFC = 180^{o} - \angle BCA}$ που δίνει το

ζητούμενο.

$\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm, scale = 1.3] \clip(-2.448745217089564,-5.580149196209) rectangle (12.794661449673587,1.6920580407564891); \draw(5.086371239411066,-1.5747929679410027) circle (2.3165513560855997cm); \draw (3.1813697219563637,-0.25669608080511686)-- (6.5079511427218435,0.25428351047233916); \draw (6.5079511427218435,0.25428351047233916)-- (7.38391615634034,-1.2786552633600288); \draw (7.38391615634034,-1.2786552633600288)-- (6.877077755208118,-3.044412088551514); \draw (3.1813697219563637,-0.25669608080511686)-- (6.877077755208118,-3.044412088551514); \draw (6.5079511427218435,0.25428351047233916)-- (6.877077755208118,-3.044412088551514); \draw (3.1813697219563637,-0.25669608080511686)-- (7.38391615634034,-1.2786552633600288); \draw (6.659783373435313,-1.102563420370717)-- (9.54128920597663,-5.054058100223533); \draw (4.844660432339103,-0.0012062851663888485)-- (4.9205765476958385,-0.679629750587917); \draw (4.9205765476958385,-0.679629750587917)-- (5.805013748047748,-2.2357416072256084); \draw (5.805013748047748,-2.2357416072256084)-- (8.100536289705971,-3.078310760297125); \draw (4.844660432339103,-0.0012062851663888485)-- (8.100536289705971,-3.078310760297125); \draw (4.9205765476958385,-0.679629750587917)-- (8.100536289705971,-3.078310760297125); \draw (4.844660432339103,-0.0012062851663888485)-- (5.805013748047748,-2.2357416072256084); \draw (6.659783373435313,-1.102563420370717)-- (5.805013748047748,-2.2357416072256084); \draw (6.877077755208118,-3.044412088551514)-- (9.54128920597663,-5.054058100223533); \draw (7.38391615634034,-1.2786552633600288)-- (9.54128920597663,-5.054058100223533); \begin{scriptsize} \draw [fill=black] (3.1813697219563637,-0.25669608080511686) circle (1.5pt); \draw (3.008770750023169,0.06555697666624118) node {A}; \draw [fill=black] (6.5079511427218435,0.25428351047233916) circle (1.5pt); \draw (6.597826817065287,0.4419373881912572) node {B}; \draw [fill=black] (7.38391615634034,-1.2786552633600288) circle (1.5pt); \draw (7.471567058105503,-1.0904685730177368) node {C}; \draw [fill=black] (6.877077755208118,-3.044412088551514) circle (1.5pt); \draw (6.82634349549119,-3.3353088846133683) node {D}; \draw [fill=black] (-2.6233343017325725,2.454993295793865) circle (1.5pt); \draw [fill=black] (9.54128920597663,-5.054058100223533) circle (1.5pt); \draw (9.635754424374346,-4.867714845822362) node {E}; \draw [fill=black] (6.659783373435313,-1.102563420370717) circle (1.5pt); \draw (6.759132707718865,-0.9157205248096935) node {F}; \draw [fill=black] (4.844660432339103,-0.0012062851663888485) circle (1.5pt); \draw (4.944441437866109,0.1865363946564249) node {M}; \draw [fill=black] (8.100536289705971,-3.078310760297125) circle (1.5pt); \draw (8.197443566046605,-2.891717685316028) node {P}; \draw [fill=black] (4.9205765476958385,-0.679629750587917) circle (1.5pt); \draw (4.702482601885742,-0.4183606952944937) node {Q}; \draw [fill=black] (5.805013748047748,-2.2357416072256084) circle (1.5pt); \draw (5.589665000480423,-2.3674735406918983) node {H}; \end{scriptsize} \end{tikzpicture}$

*EDIT: Αντικατάσταση του αρχείου Geogebra με κώδικα tikz.

Γωνιακή ισότητα

Γωνιακή ισότητα

Re: Γωνιακή ισότητα

Re: Γωνιακή ισότητα

Re: Γωνιακή ισότητα

Μέλη σε σύνδεση