Τουρνουά Πόλεων - Άνοιξη 1980 Seniors

#1

Προβλήματα 1,2,4,5: Ίδια με τα αντίστοιχα των Juniors εδώ.

Πρόβλημα 3: Δίνονται

μη μηδενικά διανύσματα στον τρισδιάστατο χώρο. Να δειχθεί ότι υπάρχουν δύο που σχηματίζουν γωνία μικρότερη των

μοιρών.

#2

Demetres έγραψε:Προβλήματα 1,2,4,5: Ίδια με τα αντίστοιχα των Juniors εδώ.

Πρόβλημα 3: Δίνονται μη μηδενικά διανύσματα στον τρισδιάστατο χώρο. Να δειχθεί ότι υπάρχουν δύο που σχηματίζουν γωνία μικρότερη των μοιρών.

Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι τα διανύσματα έχουν κοινή αρχή την αρχή των αξόνων Ο. Έστω πως το διάνυσμα $\displaystyle{a_i}$ έχει πέρας το

σημείο $\displaystyle{A_i}$ . Αν με κορυφή το Ο, άξονα την ημιευθεία $\displaystyle{OA_i}$ και γενέτειρα μία ημιευθεία που σχηματίζει με την $\displaystyle{OA_i}$ γωνία

$\displaystyle{\frac {\pi}{8}}$ κατασκευάσουμε έναν κώνο $\displaystyle{K_i}$ , τότε αυτός θα ορίζει στη μοναδιαία σφαίρα τμήμα $\displaystyle{S_i}$ με εμβαδόν

$\displaystyle{E(S_i)=2\pi \left(1-cos\frac {\pi}{8}\right)}$

Αν υποθέσουμε ότι δεν ισχύει το ζητούμενο, τότε δύο διαφορετικά από τα παραπάνω σφαιρικά τμήματα ή θα είναι ξένα ή θα έχουν ένα

κοινό συνοριακό σημείο, οπότε $\displaystyle{\sum_{i=1}^{30} E(S_i) \le E}$ , όπου $\displaystyle{E}$ το εμβαδόν της σφαίρας, άρα

$\displaystyle{60\pi \left(1-cos\frac {\pi}{8}\right) \le 4 \pi \Rightarrow}$

$\displaystyle{...\Rightarrow \frac {334}{225} \le \sqrt{2}}$ ,άτοπο.

Τουρνουά Πόλεων - Άνοιξη 1980 Seniors

Τουρνουά Πόλεων - Άνοιξη 1980 Seniors

Re: Τουρνουά Πόλεων - Άνοιξη 1980 Seniors

Μέλη σε σύνδεση