Εναλλαγή σειράς άθροισης
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Κοτρώνης Αναστάσιος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3203
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
- Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
- Επικοινωνία:
Εναλλαγή σειράς άθροισης
Καλησπέρα.
Έχει κανείς καμμία ιδέα για το πως θα μπορούσε να δικαιολογηθεί ότι ( θετικός ακέραιος) δεδομένου ότι η σύγκλιση δεν είναι απόλυτη;
Σημειωτέον ότι η ισότητα ισχύει.
Απόδειξη: Ευχαριστώ.
Έχει κανείς καμμία ιδέα για το πως θα μπορούσε να δικαιολογηθεί ότι ( θετικός ακέραιος) δεδομένου ότι η σύγκλιση δεν είναι απόλυτη;
Σημειωτέον ότι η ισότητα ισχύει.
Απόδειξη: Ευχαριστώ.
Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Re: Εναλλαγή σειράς άθροισης
Μου θύμησε Θεώρημα Fubini. Βοηθάει καθόλου ή γράφω μπούρδες;
Γιαννης Μπαρουμας
Empty your mind, be formless, shapeless — like water. Now you put water in a cup, it becomes the cup; You put water into a bottle it becomes the bottle; You put it in a teapot it becomes the teapot. Now water can flow or it can crash. Be water, my friend. Bruce Lee
Empty your mind, be formless, shapeless — like water. Now you put water in a cup, it becomes the cup; You put water into a bottle it becomes the bottle; You put it in a teapot it becomes the teapot. Now water can flow or it can crash. Be water, my friend. Bruce Lee
- Κοτρώνης Αναστάσιος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3203
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
- Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
- Επικοινωνία:
Re: Εναλλαγή σειράς άθροισης
Δε βλέπω πως μπορεί να εφαρμοστεί αφού δεν έχουμε απόλυτη σύγκλιση. Απο την άλλη, αν η σύγκλιση ήταν απόλυτη δε θα ήταν απαραίτητο ένα τόσο βαρύ εργαλείο. Θα αρκούσε ότι το άθροισμα όρων με σταθερό πρόσημο είναι ανεξάρτο του τρόπου άθροισης και αυτό αποδεικνύεται με στοιχειώδη μέσα.
Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Εναλλαγή σειράς άθροισης
Η ισότητα όντως ισχύει. Μπορούμε να το δείξουμε ως εξής:
Θα υποθέσω πρώτα ότι . Τότε η συγκλίνει απόλυτα οπότε μπορώ να αθροίσω τους όρους με όποια σειρά θέλω και πάλι να πάρω το ίδιο αποτέλεσμα.
Μετά χρησιμοποιώ το εξής:
Θεώρημα: Έστω σειρές και οι οποίες συγκλίνουν στα αντίστοιχα. Έστω θετικοί ακέραιοι και έστω η ακολουθία η οποία ξεκινά από τους πρώτους όρους της , συνεχίζει με τους πρώτους όρους της , μετά με τους επόμενους όρους της κ.ο.κ. Τότε η συγκλίνει στο .
Απόδειξη: Αφήνεται στον αναγνώστη.
Εφαρμόζω τώρα το θεώρημα στις ακολουθίες όπου η είναι η ενώ η ορίζεται ως εξής:
κ.ο.κ.
Η είναι η .
Η περίπτωση πάλι στηρίζεται στο πιο πάνω θεώρημα αλλά έχει παραπάνω φασαρία. Είναι πιο εύκολο να το δείξω στα χαρτί παρά να γράψω την λύση οπότε το αποφεύγω.
Θα υποθέσω πρώτα ότι . Τότε η συγκλίνει απόλυτα οπότε μπορώ να αθροίσω τους όρους με όποια σειρά θέλω και πάλι να πάρω το ίδιο αποτέλεσμα.
Μετά χρησιμοποιώ το εξής:
Θεώρημα: Έστω σειρές και οι οποίες συγκλίνουν στα αντίστοιχα. Έστω θετικοί ακέραιοι και έστω η ακολουθία η οποία ξεκινά από τους πρώτους όρους της , συνεχίζει με τους πρώτους όρους της , μετά με τους επόμενους όρους της κ.ο.κ. Τότε η συγκλίνει στο .
Απόδειξη: Αφήνεται στον αναγνώστη.
Εφαρμόζω τώρα το θεώρημα στις ακολουθίες όπου η είναι η ενώ η ορίζεται ως εξής:
κ.ο.κ.
Η είναι η .
Η περίπτωση πάλι στηρίζεται στο πιο πάνω θεώρημα αλλά έχει παραπάνω φασαρία. Είναι πιο εύκολο να το δείξω στα χαρτί παρά να γράψω την λύση οπότε το αποφεύγω.
- Κοτρώνης Αναστάσιος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3203
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
- Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
- Επικοινωνία:
Re: Εναλλαγή σειράς άθροισης
Δημήτρη καλησπέρα και ευχαριστώ που ασχολήθηκες. Κάτι μάλλον δεν καταλαβαίνω. Μήπως θέλεις να πεις ότι η είναι η ;
Αν είναι έτσι, τότε αν καταλαβαίνω καλά αυτό που λες, έχουμε ότι οπότε το άθροισμα της όπως την ορίζεις συγκλίνει (άρα αφ' ενός θα είναι και το ίδιο και με το που είναι το ) και εφ' ετέρου θα είναι και το ίδιο με το , δηλαδή το . Αυτό όμως δεν είναι ούτως ή άλλως άμεσο; Και επιπλέον δε βλέπω πώς δικαιολογείται η εναλλαγή. Προφανώς κάτι δεν πιάνω
Αν είναι έτσι, τότε αν καταλαβαίνω καλά αυτό που λες, έχουμε ότι οπότε το άθροισμα της όπως την ορίζεις συγκλίνει (άρα αφ' ενός θα είναι και το ίδιο και με το που είναι το ) και εφ' ετέρου θα είναι και το ίδιο με το , δηλαδή το . Αυτό όμως δεν είναι ούτως ή άλλως άμεσο; Και επιπλέον δε βλέπω πώς δικαιολογείται η εναλλαγή. Προφανώς κάτι δεν πιάνω
Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Εναλλαγή σειράς άθροισης
Καλημέρα Αναστάση. Είχα όντως κάποιο τυπογραφικό στα . Επίσης το θεώρημα είναι όντως τετριμμένο για την ακολουθία . Είναι επίσης σχεδόν τετριμμένο για την περίπτωση οπότε εν τέλει δεν χρειάζεται να αναφερθούμε σε αυτό.
Η απόδειξη πάει ως εξής:
Θα γράψω
Η πρώτη και τρίτη ισότητα είναι τετριμμένες. Η δεύτερη ισχύει επειδή το συγκλίνει απόλυτα για .
Για (η γενικά και για οποιοδήποτε ) είναι
Εδώ οι πρώτες τρεις ισότητες είναι τετριμμένες. Η τέταρτη είναι λόγω απόλυτης σύγκλισης. Οι υπόλοιπες που αποσιωπούνται είναι ανάλογες με τις πρώτες τρεις.
Η απόδειξη πάει ως εξής:
Θα γράψω
Η πρώτη και τρίτη ισότητα είναι τετριμμένες. Η δεύτερη ισχύει επειδή το συγκλίνει απόλυτα για .
Για (η γενικά και για οποιοδήποτε ) είναι
Εδώ οι πρώτες τρεις ισότητες είναι τετριμμένες. Η τέταρτη είναι λόγω απόλυτης σύγκλισης. Οι υπόλοιπες που αποσιωπούνται είναι ανάλογες με τις πρώτες τρεις.
- Κοτρώνης Αναστάσιος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3203
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
- Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
- Επικοινωνία:
Re: Εναλλαγή σειράς άθροισης
οκ κατάλαβα. Ήταν τετριμμένο. Πάλι σε μια κουταλιά νερό πνίγηκα. Ευχαριστώ.
Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες