1Β-Γεωμετρία

Α.Κυριακόπουλος · #1

Θεωρούμενα τραπέζιο ΑΒΓΔ, του οποίου οι γωνίες Α και Δ είναι ορθές. Ονομάζουμε Ο το μέσον της πλευράς ΑΔ. Η κάθετος από το Α στην ευθεία ΟΒ τέμνει την κάθετο από το Δ στην ευθεία ΟΓ σε ένα σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΟΕ είναι κάθετος στην ευθεία ΒΓ.

#2

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Θεωρούμενα τραπέζιο ΑΒΓΔ, του οποίου οι γωνίες Α και Δ είναι ορθές. Ονομάζουμε Ο το μέσον της πλευράς ΑΔ. Η κάθετος από το Α στην ευθεία ΟΒ τέμνει την κάθετο από το Δ στην ευθεία ΟΓ σε ένα σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΟΕ είναι κάθετος στην ευθεία ΒΓ.

Αντώνη, πολύ ωραία άσκηση !

Επειδή όμως την ξέρω και έχω δύο λύσεις , θα αφήσω το πεδίο ελεύθερο να τη χαρούν οι άλλοι συνάδελφοι.

Μπάμπης

#3

Για 4 σημεία Κ, Λ, Μ, Ν του επιπέδου ισχύει η ισοδυναμία:
Οι ευθείες ΚΜ, ΛΝ είναι κάθετες αν και μόνο αν $K\Lambda ^2-KN^2=\Lambda M^2-MN^2.$
Από υπόθεση οι ΟΒ και ΑΕ είναι κάθετες, άρα AB^2-AO^2=EB^2-OE^2.

Ομοίως $\Gamma \Delta ^2-O\Delta ^2=E\Gamma ^2-OE^2.$ Αφαιρούμε κατά μέλη και λαμβάνοντας υπ΄όψιν ότι ΟΑ=ΟΔ προκύπτει ότι $AB^2-\Gamma \Delta ^2=EB^2-E\Gamma ^2.$ Από το πυθαγόρειο θεώρημα στα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΑΔ προκύπτει ότι $AB^2-\Gamma \Delta ^2=OB^2-O\Gamma ^2.$ Τελικά $EB^2-E\Gamma ^2=OB^2-O\Gamma ^2.$ . Άρα με χρήση του παραπάνω λήμματος προκύπτει ότι οι ευθείες ΟΕ και ΒΓ είναι κάθετες.

#4

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Κώστας Βήττας.

#5

Μια διανυσματική λύση:
Από υπόθεση $\vec{EA}\cdot\vec{OB}=0$ οπότε $(\vec{EO}+\vec{OA})\cdot\vec{OB}=0.$
Άρα $\vec{EO}\cdot\vec{OB}+\vec{OA}\cdot\vec{OB}=0.(1)$ Ομοίως $\vec{EO}\cdot\vec{O\Gamma }+\vec{O\Delta }\cdot\vec{O\Gamma }=0.(2)$ Είναι $\vec{O\Delta }\cdot\vec{O\Gamma }=\vec{O\Delta }^2=\vec{OA }^2=\vec{OA}\cdot\vec{OB}.$ Αφαιρώντας κατά μέλη τις (1),(2) προκύπτει ότι $\vec{EO}\cdot(\vec{O\Gamma }-\vec{OB})=0$ ή $\vec{EO}\cdot\vec{B\Gamma }=0$ δηλαδή ΕΟ, ΒΓ κάθετες ευθείες.

#6

Μια απόδειξη για το ορθόπολο τριγώνου βρίσκεται στο συνημμένο μαζί με μια άσκηση Γ.Τ

#7

Αγαπητέ πολύ γνωστέ μου Αντώνη, που εσύ φυσικά δε με γνωρίζεις, καθώς εγώ επέλεγα την αφάνεια, σε χαιρετώ. Χαίρομαι που μου δίνεται αυτή η ευκαιρία να επικοινωνήσω μαζί σου.
Εσύ, τέλειωσες το Πρακτικό Λύκειο Καλαμάτας το 1953, ενώ εγώ το 1954. ήσουν γνωστός μου, επειδή ήσουν πολύ καλός στα Μαθηματικά και γι’ αυτό σε θαύμαζα.
Ακόμη, ήσουν γνωστός και από τα τότε περιοδικά Μαθηματικών που κυκλο-φορούσαν, Μαθηματική Ηχώ και το Παράρτημα του Δελτίου της ΕΜΕ.
Εσύ ήσουν ο πιο γνωστός μαζί με τους χότμαν, Πανάκη κ.τ.λ, από τον μεγάλο αριθμό προτεινομένων και λυομένων ασκήσεων.
Εγώ, και τότε δεν προτιμούσα να συμμετέχω σε μεγάλο πλήθος γνωστών ασκήσεων αλλά να ερευνώ να δημιουργώ νέες, κυρίως Γεωμετρικές Προτάσεις με τις αποδείξεις τους και να τις προτείνω για λύση. Έτσι, η συμμέτοχή μου, στα παραπάνω περιοδικά, ήταν αναγκαστικά περιορισμένη.
Η αγάπη μου αυτή στην έρευνα πάνω στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, ξαναρχίζει μετά τη συνταξιοδότησή μου, και έτσι, αν και δεν είμαι Μαθηματικός πιστεύω ότι έχω συνεισφέρει αρκετά στον τομέα αυτό.
Επιθυμία μου είναι με την πρώτη ευκαιρία να συναντηθούμε να τα πούμε από κοντά,
Με την ευκαιρία αυτή σου στέλνω, με το συνημμένο μου 8, μία καθαρά Γεωμετρική λύση της άσκησης Γεωμετρίας που προτείνεις.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Α.Κυριακόπουλος · #8

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητέ πολύ γνωστέ μου Αντώνη, που εσύ φυσικά δε με γνωρίζεις, καθώς εγώ επέλεγα την αφάνεια, σε χαιρετώ. Χαίρομαι που μου δίνεται αυτή η ευκαιρία να επικοινωνήσω μαζί σου.
Εσύ, τέλειωσες το Πρακτικό Λύκειο Καλαμάτας το 1953, ενώ εγώ το 1954. ήσουν γνωστός μου, επειδή ήσουν πολύ καλός στα Μαθηματικά και γι’ αυτό σε θαύμαζα.
Ακόμη, ήσουν γνωστός και από τα τότε περιοδικά Μαθηματικών που κυκλο-φορούσαν, Μαθηματική Ηχώ και το Παράρτημα του Δελτίου της ΕΜΕ.
Εσύ ήσουν ο πιο γνωστός μαζί με τους χότμαν, Πανάκη κ.τ.λ, από τον μεγάλο αριθμό προτεινομένων και λυομένων ασκήσεων.
Εγώ, και τότε δεν προτιμούσα να συμμετέχω σε μεγάλο πλήθος γνωστών ασκήσεων αλλά να ερευνώ να δημιουργώ νέες, κυρίως Γεωμετρικές Προτάσεις με τις αποδείξεις τους και να τις προτείνω για λύση. Έτσι, η συμμέτοχή μου, στα παραπάνω περιοδικά, ήταν αναγκαστικά περιορισμένη.
Η αγάπη μου αυτή στην έρευνα πάνω στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, ξαναρχίζει μετά τη συνταξιοδότησή μου, και έτσι, αν και δεν είμαι Μαθηματικός πιστεύω ότι έχω συνεισφέρει αρκετά στον τομέα αυτό.
Επιθυμία μου είναι με την πρώτη ευκαιρία να συναντηθούμε να τα πούμε από κοντά,
Με την ευκαιρία αυτή σου στέλνω, με το συνημμένο μου 8, μία καθαρά Γεωμετρική λύση της άσκησης Γεωμετρίας που προτείνεις.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητέ Νίκο.
• Σε ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια. Με συγκίνησες. Θυμήθηκα εκείνες τις ηρωικές εποχές. Τους Αγίους Ταξιαρχίες, που ήταν το κτίριο του Πρακτικού Λυκείου Καλαμών. Τον φιλόλογο Γκουλούση, που με είχε δείρει, γιατί δεν διάβαζα Αρχαία Ελληνικά.
• Η καταγωγή σου πρέπει να είναι από την Καλαμάτα ή από τα περίχωρα. Δεν έτυχε να γνωριστούμε. Τώρα έμαθα για σένα και ότι έχεις γράψει πρωτοποριακά βιβλία πάνω στην Γεωμετρία. Δυστυχώς δεν έτυχε να δω κανένα. Υπάρχουν εδώ στην Αθήνα; Και πού;
• Θέλω να σου πω ότι η αγάπη μου για τα μαθηματικά ξεκίνησε από την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Μετά βέβαια στο Πανεπιστήμιο ασχολήθηκα με άλλα μαθηματικά. Στη συνέχεια, ψάχνοντας για τα θεμέλια των μαθηματικών, οδηγήθηκα στην Μαθηματική Λογική. Δυστυχώς όμως, τότε, η Μαθηματική Λογική ήταν άγνωστη στην Ελλάδα. Έτσι, την μελέτησα μόνος μου, με τη βοήθεια βέβαια πολλών ξένων βιβλίων. Πάντως, όταν θέλω να κάνω διάλειμμα, λύνω καμία άσκηση γεωμετρίας. Μάλιστα, έχω γράψει και ένα βιβλιαράκι με Ασκήσεις Γεωμετρίας για τους μαθητές της Α΄ Λυκείου.
• Σε παρακαλώ στείλε μου το e-mail σου. Έχουμε να πούμε πολλά σχετικά με την Γεωμετρία.
• Έμαθα ότι είσαι στη Θεσσαλονίκη. Στο συνέδριο είχες έλθει; Όταν έλθεις στην Αθήνα, πολύ θα ήθελα να σε γνωρίσω. Έχουμε να θυμηθούμε πολλά από την Καλαμάτα.
Με εκτίμηση.

#9

Προσθέτω και μία λύση με Αναλυτική Γεωμετρία λυκειακού επιπέδου για πλουραλισμό...

: 22-12-2009.png (6.82 KiB) Προβλήθηκε 1801 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με αρχή Ο(0, 0) θεωρούμε τα σημεία:
Α(0, 1), Δ(0, -1), Β(α, 1), α > 0 και Γ(β, -1), β < 0.

Έστω $\displaystyle \alpha + \beta \ne 0$ , οπότε ΑΒΓΔ τραπέζιο με ορθές γωνίες στα Α, Δ και Ο μέσο ΑΔ.
Είναι: $\displaystyle \lambda _{\mathop {{\rm O}{\rm B}}\limits^ \to } = \frac{1}{\alpha }$ , οπότε η κάθετη (ε) από το Α στην ΟΒ έχει εξίσωση: y = -αx + 1
Είναι: $\displaystyle \lambda _{\mathop {{\rm O}\Gamma }\limits^ \to } = \frac{{ - 1}}{\beta }$ , οπότε η κάθετη (δ) από το Δ στην ΟΓ έχει εξίσωση: y = βx - 1

Οι (ε), (δ) τέμνονται στο Ε με συντεταγμένες που προκύπτουν από την επίλυση των εξισώσεών τους και είναι: $\displaystyle {\rm E}\left( {\frac{2}{{\alpha + \beta }},\;\frac{{\beta - \alpha }}{{\alpha + \beta }}} \right)$ , οπότε $\displaystyle \lambda _{\overrightarrow {{\rm O}{\rm E}} } = \frac{{\beta - \alpha }}{2}$ .
Επίσης, $\displaystyle \lambda _{\overrightarrow {{\rm B}\Gamma } } = \frac{{ - 2}}{{\beta - \alpha }}$ , άρα $\displaystyle \lambda _{\overrightarrow {{\rm O}{\rm E}} } \cdot \lambda _{\overrightarrow {{\rm B}\Gamma } } = - 1$ άρα ΟΕ κάθετη στη ΒΓ.
Γιώργος Ρίζος

#10

Αντώνης έγραψε.
Αγαπητέ Νίκο.
• Σε ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια. Με συγκίνησες. Θυμήθηκα εκείνες τις ηρωικές εποχές. Τους Αγίους Ταξιαρχίες, που ήταν το κτίριο του Πρακτικού Λυκείου Καλαμών. Τον φιλόλογο Γκουλούση, που με είχε δείρει, γιατί δεν διάβαζα Αρχαία Ελληνικά.
• Η καταγωγή σου πρέπει να είναι από την Καλαμάτα ή από τα περίχωρα. Δεν έτυχε να γνωριστούμε. Τώρα έμαθα για σένα και ότι έχεις γράψει πρωτοποριακά βιβλία πάνω στην Γεωμετρία. Δυστυχώς δεν έτυχε να δω κανένα. Υπάρχουν εδώ στην Αθήνα; Και πού;
• Θέλω να σου πω ότι η αγάπη μου για τα μαθηματικά ξεκίνησε από την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Μετά βέβαια στο Πανεπιστήμιο ασχολήθηκα με άλλα μαθηματικά. Στη συνέχεια, ψάχνοντας για τα θεμέλια των μαθηματικών, οδηγήθηκα στην Μαθηματική Λογική. Δυστυχώς όμως, τότε, η Μαθηματική Λογική ήταν άγνωστη στην Ελλάδα. Έτσι, την μελέτησα μόνος μου, με τη βοήθεια βέβαια πολλών ξένων βιβλίων. Πάντως, όταν θέλω να κάνω διάλειμμα, λύνω καμία άσκηση γεωμετρίας. Μάλιστα, έχω γράψει και ένα βιβλιαράκι με Ασκήσεις Γεωμετρίας για τους μαθητές της Α΄ Λυκείου.
• Σε παρακαλώ στείλε μου το e-mail σου. Έχουμε να πούμε πολλά σχετικά με την Γεωμετρία.
• Έμαθα ότι είσαι στη Θεσσαλονίκη. Στο συνέδριο είχες έλθει; Όταν έλθεις στην Αθήνα, πολύ θα ήθελα να σε γνωρίσω. Έχουμε να θυμηθούμε πολλά από την Καλαμάτα.
Με εκτίμηση.

_________________
Αντώνης Κυριακόπουλος
Αγαπητέ Αντώνη.
Σε ευχαριστώ για την άμεση ανταπόκριση στο μήνυμά μου.
Κατάγομαι από τη Θουρία.
Έχω εγκατασταθεί μόνιμα στην Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Αν έλθεις στη Θεσσαλονίκη, τηλεφώνησέ μου να συναντηθούμε. Το ίδιο θα κάνω και εγώ, όταν έλθω στην Αθήνα.
Στο συνέδριο δεν είχα έλθει γιατί στο mathematica, gr,μπήκα πρόσφατα και δεν το γνώριζα (Ήμουν απορροφημένος στην δημιουργία και έκδοση του τόμου 7 του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας»).
Συμμαθητές στο Λύκειο είχες τους φίλους μου, αδελφούς Γιάννη και Χρήστο Αλεξόπουλο, οι οποίοι μου μιλούσαν συχνά για σένα, με κολακευτικά λόγια.
Στο Χολαργό μένει και ο αδελφός μου, στην οδό Ήβης 5, οπότε είναι εύκολο να συναντηθούμε, όταν έλθω στην Αθήνα.
Όσο για τα βιβλία μου που με ρωτάς, η απάντηση δεν είναι απλή. Έχω να σου ειπώ όμως σχετικά τα εξής:
Όλα τα βιβλία μου είναι πέντε ( όλα με αυτοέκδοση), συνολικά 21 τόμων μέχρι τώρα , που αναλύονται ως εξής: 1/. Γεωμετρία, Εγγεγραμμένα- Περιγεγραμμένα Σχήματα (έρευνα). Αποτελείται από έξι τόμους. Έχουν γραφεί όλοι, ενώ έχουν κυκλοφορήσει οι 1, 2, 3, 4 και 6 τόμοι. Από αυτούς εγώ διαθέτω τους 1,2, 4 και 6 από 1-2 αντίτυπα.
Πρόκειται για διεξοδικό έργο, καθώς τούτο ερευνά όλα τα Εγγεγραμμένα - Περιγεγραμμένα Σχήματα από τρίγωνα μέχρι ν-πλευρα, απλά και πλήρη, κυρτά και μη, αρμονικά και μη, όπως και συμπλέγματα τούτων. Έχει χαρακτηριστεί από μαθηματικούς μοναδικό και μνημειώδες.
2/. Συμπλήρωμα του παραπάνω βιβλίου Γεωμετρίας.
Αποτελείται από έναν τόμο. Έχει γραφεί αλλά δεν έχει κυκλοφορήσει. Θα κυ-κλοφορήσει όταν μου δοθεί χρόνος.
3/. Ανάλογο του Θεωεήματος Ceva.
Αποτελείται από δύο τόμους. Έχει γραφεί αλλά δεν έχει κυκλοφορήσει. Θα κυκλοφορήσει όταν μου δοθεί ευκαιρία.
4. Ορθοκενρικά Τετράπλευρα.
Αποτελείται από έναν τόμο. Έχει γραφεί αλλά δεν έχει κυκλοφορήσει. Θα κυ-κλοφορήσει όταν μου δοθεί χρόνος. Δημοσιεύτηκε μία σχετική συνοπτική εργασία στο περιοδικό «Τα Μαθηματικά στο Ενιαίο Λύκειο».
5/. Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας.
Αποτελείται από δέκα τόμους. Έχουν γραφεί όλοι, ενώ έχουν κυκλοφορήσει, οι επτά πρώτοι τόμοι. Διαθέτω εγώ τους 3, 4, 5,6, τόμους από 1-3 αντίτυπα, ενώ του 7 τόμου διαθέτω αρκετά αντίτυπα. Στο βιβλίο αυτό δίνονται Γεωμετρικές Προτάσεις, δικής μου έμπνευσης, απλές μέχρι πολύ δύσκολες, για μαθητές Λυκείου και εκείνους που θέλουν να λάβουν μέρος σε Ολυμπιάδες.
6/. Άρθρα.
Έχω γράψει ακόμη και 57 πρωτότυπες εργασίες (άρθρα), που έχουν δημοσιευθεί σε περιοδικά Ελληνικά και ξένα. Αυτά έχουν αποτελέσει δύο τόμους, οι οποίοι έχουν εξαντληθεί.
Το όλο παραπάνω έργο μου έχει τιμηθεί και από την Ακαδημία Αθηνών σε πανηγυρική της συνεδρία.
Για οποιαδήποτε ερώτηση τηλεφώνησέ μου στο 2310-413.539.
Μερικά αντίτυπα, από τα παραπάνω βιβλία μου, διαθέτει και το βιβλιοπωλείο «Μαθηματική Βιβλιοθήκη (Θεσσαλονίκη)», τηλ. 2310-682.080.
Ο τόμος 7 του βιβλίου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας», που πρόσφατα κυκλοφόρη-σε, σε πολυτελή έκδοση, διατίθεται επίσης και από τα βιβλιοπωλεία Σαββάλα, Πρωτοπορία, στη Θεσσαλονίκη και Σαββάλα, Κορφιάτη, στην Αθήνα.
Η αξία των βιβλίων μου δε βασίζεται στην ωραία εμφάνισή τους και στον κομψό τρόπο παρουσίασής τους, αλλά στο πρωτότυπο περιεχόμενό τους.

Φιλικά.
Νίκος Κυριαζής.

#11

Χρόνια πολλά σε όλους σας!
Παραθέτω χάριν ποικιλίας, άλλη μία λύση:
Αν Ζ είναι το σημείο τομής της ΟΒ με την ΔΓ και Μ το μέσο της ΖΓ, τότε ΟΜ//ΒΓ, καθώς ΟΖ=ΟΒ (από τα ίσα τρίγωνα ΑΟΒ και ΖΟΔ).Τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΖΟΓ έχουν τις πλευρές τους κάθετες μία προς μία, επομένως είναι όμοια και έχουν τα ομόλογα τους στοιχεία κάθετα. Άρα οι διάμεσοι ΟΜ και ΟΕ είναι κάθετοι. Επομένως η ΟΕ είναι κάθετη στην ΒΓ.

1Β-Γεωμετρία

1Β-Γεωμετρία

Re: 1Β-Γεωμετρία

Re: 1Β-Γεωμετρία

Re: 1Β-Γεωμετρία

Re: 1Β-Γεωμετρία

Re: 1Β-Γεωμετρία

Re: 1Β-Γεωμετρία

Re: 1Β-Γεωμετρία

Re: 1Β-Γεωμετρία

Re: 1Β-Γεωμετρία

Re: 1Β-Γεωμετρία

Μέλη σε σύνδεση