Αν μια συνάρτηση είναι κυρτή , η αντίστροφή της είναι κοιλή;

[blazestone]

Καλησπέρα. Το ερώτημα είναι από ένα θέμα του Μπάρλα.

Αν δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση και παραγωγίσιμη :
α. Δείξτε ότι η αντιστρέφεται (αρκέτα απλό ερώτημα , δεν μας νοιάζει)
β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο . (επίσης απλό)
γ. Να δείξετε ότι η είναι κοίλη.

Για το γ. σκέφτηκα μια απάντηση χωρίς την χρήση της παραγώγου της αντίστροφης. Είναι ορθή ;

Οι γραφική παράσταση της είναι συμμετρική με την γραφική παράσταση της ως πρός την ευθεία y=x . Επομένως, αφού η είναι κυρτή (διότι ) , η είναι κοίλη.

Ευχαριστώ πολύ.

[Ανδρέας Πούλος]

Θεωρούμε την με , η οποία είναι κυρτή.
Η αντίστροφη της, η με είναι επίσης κυρτή.

Ανδρέας Πούλος

[socrates]

Καλησπέρα. Το ερώτημα είναι από ένα θέμα του Μπάρλα.

Αν δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση και παραγωγίσιμη :
α. Δείξτε ότι η αντιστρέφεται (αρκέτα απλό ερώτημα , δεν μας νοιάζει)
β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της στο . (επίσης απλό)
γ. Να δείξετε ότι η είναι κοίλη.

Για το γ. σκέφτηκα μια απάντηση χωρίς την χρήση της παραγώγου της αντίστροφης. Είναι ορθή ;

Οι γραφική παράσταση της είναι συμμετρική με την γραφική παράσταση της ως πρός την ευθεία y=x . Επομένως, αφού η είναι κυρτή (διότι ) , η είναι κοίλη.

Ευχαριστώ πολύ.

Δείξε ότι όπου και

[Mihalis_Lambrou]

Θεωρούμε την με , η οποία είναι κυρτή.
Η αντίστροφη της, η με είναι επίσης κυρτή.

Άλλο παράδειγμα η , που η αντίστροφή της είναι ο εαυτός της. Κυρτές και οι δύο.

[KARKAR]

Αντίστροφες.png (22.74 KiB) Προβλήθηκε 3288 φορές

Χορταστικό αντιπαράδειγμα !

[Ανδρέας Πούλος]

Μιχάλης Λάμπρου.
Άλλο παράδειγμα η , , που η αντίστροφή της είναι ο εαυτός της. Κυρτές και οι δύο.

Η ομορφιά της απλότητας.
Ανδρέας Πούλος

[Μπάμπης Στεργίου]

Το μήνυμα επανήλθε !

Ευχαριστώ πολύ !

Μπ

(Διόρθωση : Για κάποιο λόγο το αρχικό μήνυμα-πρόβλημα είχε χαθεί.)

[Ανδρέας Πούλος]

Τα παραδείγματα που δόθηκαν με αφορμή αυτή την ερώτηση,
είναι κατάλληλα να απαντήσουν σε έναν άλλο "μύθο" που κυκλοφορεί συχνά μεταξύ των μαθητών.
Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα, τότε η αντίστροφή της (αν υπάρχει) θα είναι γνησίως αύξουσα.
Γενικά, η συζήτηση για την εύρεση αντιπαραδειγμάτων μέσα στην τάξη βοηθά πολύ στην κατανόηση εννοιών και θεωρημάτων.

Ανδρέας Πούλος

[george visvikis]

Τα παραδείγματα που δόθηκαν με αφορμή αυτή την ερώτηση,
είναι κατάλληλα να απαντήσουν σε έναν άλλο "μύθο" που κυκλοφορεί συχνά μεταξύ των μαθητών.
Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα, τότε η αντίστροφή της (αν υπάρχει) θα είναι γνησίως αύξουσα.
Γενικά, η συζήτηση για την εύρεση αντιπαραδειγμάτων μέσα στην τάξη βοηθά πολύ στην κατανόηση εννοιών και θεωρημάτων.

Ανδρέας Πούλος

Γεια σου Ανδρέα.

Αυτό δεν θα έπρεπε κανονικά να το μπερδεύουν, γιατί οι πρώτες αντίστροφες συναρτήσεις που μαθαίνουν είναι οι και που είναι και οι δύο γνησίως αύξουσες.

[blazestone]

.

Η εκφώνηση δεν έπρεπε να φύγει, εκτός αν έγινε από λάθος.Είναι ζήτημα σεβασμού προς το μαθηματικό κοινό του φόρουμ.

Μπ

Βέβαια ούτε η σκέψη που έκανα δείχνει σεβασμό προς την μαθηματική λογική, γι'αυτό επιδίωξα την διαγραφή της εκφώνησης.

[Μπάμπης Στεργίου]

.

Η εκφώνηση δεν έπρεπε να φύγει, εκτός αν έγινε από λάθος.Είναι ζήτημα σεβασμού προς το μαθηματικό κοινό του φόρουμ.

Μπ

Βέβαια ούτε η σκέψη που έκανα δείχνει σεβασμό προς την μαθηματική λογική, γι'αυτό επιδίωξα την διαγραφή της εκφώνησης.

Εδώ πρέπει να πω κάτι , τελείως μέσα σε φιλικό και ευχάριστο κλίμα και χωρίς να θέλω να είμαι διδακτικός :

Σε μια μαθηματική κοινότητα δεν έχουν αξία μόνο οι σωστές λύσεις ή οι σωστές ασκήσεις , αλλά οι προσπάθειες, οι προβληματισμοί, οι εικασίες και κυρίως

τα λάθη, όποια μορφή ή μέγεθος κι αν έχουν.

Κι όταν ένα μήνυμα έχει απαντηθεί, τότε είναι πιο πολύ που δεν πρέπει να αλλάζουμε την αρχική εκφώνηση, μπορούμε όμως να συμπληρώνουμε στο τέλος

με νέα παρέμβαση μια τυχόν διόρθωση ή συμπλήρωση, ώστε να ενημερώνονται οι νέοι αναγνώστες . Δεν σας κρύβω ότι αυτά που κυρίως δεν ξεχνώ, είναι τα

λάθη που έχω κάνει σε αυτό το χώρο και που σκόπιμα δεν διορθώνω, γιατί δεν διδάσκομαι μόνο εγώ από αυτά αλλά και οι φίλοι που θα μας βλέπουν μετά

από χρόνια.

Να συμπληρώσω επίσης ότι το ερώτημα όπως το έθεσες είναι πολύ ωραίο για μελέτη και έρευνα. Μάλλον και γω το ίδιο θα έλεγα , γιατί θα σχεδίαζα μια γν.

αύξουσα συνάρτηση και η ενόραση εκεί οδηγεί.Τι γίνεται όμως τις φθίνουσες ;

Καλό μήνα !!!


Μπ

[exdx]

..... Τι γίνεται όμως τις φθίνουσες ;
Μπ

Υποθέτω ότι (σε σχολικό επίπεδο ) πάει κάπως έτσι :
Έστω συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο με και αντιστρέψιμη
της οποίας η αντίστροφη είναι δυο φορές παραγωγίσιμη .Τότε :
α) Αν η είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή τότε η είναι γνησίως αύξουσα και κοίλη .
β) Αν η είναι γνησίως φθίνουσα και κυρτή τότε η είναι γνησίως φθίνουσα και κυρτή .

[alexandrosvets]

Και μια παρόμοια συζήτηση viewtopic.php?f=55&t=50233.

[Ανδρέας Πούλος]

Με αφορμή αυτό το θέμα που αφορά τις κυρτές συναρτήσεις, τα ερωτήματα και τον διάλογο που αναπτύχθηκε
και την παρουσίαση που θα έχουμε την Δευτέρα 7-12-2015 στη Θεσσαλονίκη για θέματα Ανάλυσης της Γ' Λυκείου
καταθέτω και ένα άρθρο (στα αγγλικά) που αφορά αυτό το θέμα για την αντίστροφη μιας κυρτής συνάρτησης.
Σημείωση: Έγραψα "έχουμε" διότι με τον Θάνο τον Μάγκο στην ίδια ημερίδα ασχολούμαστε με τις κυρτές συναρτήσεις,
(προφανώς σε συνεννόηση) από διαφορετικές οπτικές γωνίες.

Ανδρέας Πούλος

[dennys]

πού θα γίνει αυτη η ομιλία Αντρέα; .

Διονύσης

[Ανδρέας Πούλος]

.

[Ανδρέας Πούλος]

Διονύση,
συγνώμη που άργησα να απαντήσω. Αυτό τον καιρό δεν μπαίνω συχνά στο Φόρουμ, έχω κάποιες επείγουσες ασχολίες.
Θα γίνει την Δευτέρα 7-12-2-15 στο Κινηματοθέατρο "Αλέξανδρος" στην Θεσσαλονίκη, απέναντι από τον Λευκό Πύργο.
Έχει αναρτήσει σχετική είδηση ο Θάνος Μάγκος μαζί με το πρόγραμμα.
Η χρονική διάρκεια είναι από την 15:00-21:30.
Αυτό τον μήνα έχουμε 3 ημερίδες στη Θεσσαλονίκη για τα Μαθηματικά στην Γ Λυκείου.
Ουσιαστικά για να πούμε και τον καϋμό μας. Διότι οι καλύτεροι μαθητές δεν παίρνουν τα Μαθηματικά ως εξεταζόμενο μάθημα για εισαγωγή στα Α.Ε.Ι.,
οι υπόλοιποι δεν τα καταφέρνουν πολύ καλά, έχουμε τμήματα στην Β και Γ τάξη Λυκείου κατεύθυνσης που ούτε οι μισοί δεν θα επιλέγουν τα Μαθηματικά ως εξεταζόμενο μάθημα.
Όταν οι βάσεις στην Ιατρική θα φτάσουν 19,8 τότε όλοι θα τρέχουμε αλλά θα είναι αργά.
Σε αυτή τη χώρα έχουμε "περιορισμένη όραση", δεν μπορούμε να δούμε και να προγραμματίσουμε κάτι για πάνω από έξι μήνες.
Εφαρμόζουμε το σύστημα "όσα πάνε κι όσα έρθουν".
Η πλάκα είναι ότι όλοι ξορκίζουν τον ΟΟΣΑ και τον κακό καπιταλισμό και όχι το
Ανδρέας Πούλος