ΘΜΤ απ΄την ανάποδη

#1

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:[a,b] \to R}$ της οποίας η παράγωγος είναι γνησίως μονότονη.
Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{c \in (a,b)}$ υπάρχουν $\displaystyle{{x_1},{x_2} \in [a,b]}$ ώστε να ισχύει : $\displaystyle{\frac{{f({x_1}) - f({x_2})}}{{{x_1} - {x_2}}} = f'(c)}$

gradion · #2

Για κάθε $c\in (a,b)$ θεωρώ το διάστημα [c-h,c+h]

, και με Θ.Μ.Τ και όρια οταν $h\rightarrow 0$

έχουμε το σημείο c.

Λόγω μονοτονίας της f ' το c είναι μοναδικό .

Αντώνης

#3

Αντώνη, για ξαναδές το γιατί η άσκηση ζητά κάτι άλλο.

Για την ώρα δεν βάζω λύση, αλλά όποιος θέλει ας βάλει.

makisman · #4

Εστω χ.β.γ.

γνησίως αύξουσα.

Έστω $g(x)=f(x)-f(c)-(x-c)f'(c),x\in[a,b]$ ,τότε g'(x)=f'(x)-f'(c)

και εφόσον

γν.αυξουσα θα είναι

για $x>c ,g'(x)>0\Rightarrow g$ γν. αύξουσα και
για x<c ,g'(x)<0

και

γν. φθίνουσα ,με g'(c)=0

.

άρα υπάρχουν $x_{1}<c$ και $x_{2} >c$ ώστε

$g(x_{1})=g(x_{2})\Rightarrow f(x_{1})-f(c)-(x_{1}-c)f'(c)=f(x_{2})-f(c)-(x_{2}-c)f'(c)$ $\Rightarrow f(x_{1})-f(x_{2})=(x_{1}-x_{2})f'(c)$

$\Rightarrow \frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}=f'(c)$ .

Λάμπρος Μπαλός · #5

Συμβαίνει πότε πότε να συναντιόμαστε.

Λάμπρος Μπαλός · #6

viewtopic.php?f=55&t=39266&p=182477#p182477

ΘΜΤ απ΄την ανάποδη

ΘΜΤ απ΄την ανάποδη

Re: ΘΜΤ απ΄την ανάποδη

Re: ΘΜΤ απ΄την ανάποδη

Re: ΘΜΤ απ΄την ανάποδη

Re: ΘΜΤ απ΄την ανάποδη

Re: ΘΜΤ απ΄την ανάποδη

Μέλη σε σύνδεση