Εύρεση Συναρτήσεων

Rafaelcrete · #1

Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις $f:[0,1]\rightarrow R$ με την ιδιότητα
$\int_{0}^{1}{f(t)g''(t)dt=0}$ για κάθε $g\in C^{\infty}_{0}(0,1)$ .

#2

Τι ακριβώς εννοείς με το σύμβολο

Rafaelcrete έγραψε: $g\in C^{\infty}_{0}(0,1)$ ;

Μου θυμίζει τις άπειρα παραγωγίσιμες $C^{\infty}(0,1)$ αλλά ο δείκτης

με μπερδεύει. Μήπως εννοείς τις άπειρα παραγωγίσιμες με g(0)=g(1)=0;

Αν είναι έτσι, η άσκηση είναι εύκολη:

Θεωρούμε τις $\displaystyle{g_n(x) = \frac {x^{n+2}}{(n+1)(n+2)} - \frac {x}{(n+1)(n+2)}$ που βέβαια ικανοποιούν την παραπάνω συνθήκη. Είναι ακόμη g_n''(x)= x^n

. Τώρα η υπόθεσή μας δίνει $\displaystyle{\int_{0}^{1}{f(t)t^ndt=0, \, \forall n}$ . Έπεται ότι η

είναι ταυτοτικά

, από γνωστή άσκηση (π.χ. από Weiertraas, τα πολυώνυμα προσσεγγίζουν ομοιόμορφα την

, οπότε θα είναι $\displaystyle{\int_{0}^{1}{f^2(t)=0, }$ και λοιπά).

Φιλικά,

Μιχάλης

Rafaelcrete · #3

Ισχύει κάτι αντίστοιχο για τις συναρτήσεις πολλών μεταβλητών ;(όπως το:Αν $\int_{0}^{1}{f(x)x^n}=0$ για κάθε

τότε

)

#4

Ραφαήλ, δεν απάντησες στο ερώτημα

Mihalis_Lambrou έγραψε:Τι ακριβώς εννοείς με το σύμβολο

Rafaelcrete έγραψε: $g\in C^{\infty}_{0}(0,1)$ ;

Rafaelcrete · #5

Το σύμβολο σημαίνει αυτό που υποθέσατε.Σωστά τα γράψατε.

#6

Rafaelcrete έγραψε:Το σύμβολο σημαίνει αυτό που υποθέσατε.Σωστά τα γράψατε.

Και όμως Ραφαήλ, κάτι δεν μου πάει καλά.

Μπορείς σε παρακαλώ να μας δώσεις την ακριβή παραπομπή από όπως αντλείς την άσκηση;

Το λέω αυτό γιατί ο Σταύρος Παπαδόπουλος, βαθύς γνώστης της Ανάλυσης και όχι μόνο, με διδακτορικό από τον αείμνηστο κάτοχο του βραβείου Salem, Στέλιου Πηχωρίδη, μου έγραψε Π.Μ. ότι στα

- REAL ANALYSIS, ELIAS M. STEIN & RAMI SHAKARCHI, σελίς 395 στο Symbol Glossary,

- FUNCTIONAL ANALYSIS, MICHAEL REED & BARRY SIMON, σελίς 147 Example 1,

έχει άλλον ορισμό. Στα δικά μου ψαξίματα συμφωνώ και εγώ με τον Σταύρο.

Το εν λόγω σύμβολο είναι οι άπειρα παραγωγίσιμες συναρτήσεις του (0,1)

με συμπαγή φορέα, οπότε η απάντηση που δίνω στο αρχικό ερώτημα θέλει διαμόρφωση.

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Rafaelcrete έγραψε:Το σύμβολο σημαίνει αυτό που υποθέσατε.Σωστά τα γράψατε.
Και όμως Ραφαήλ, κάτι δεν μου πάει καλά.

Μπορείς σε παρακαλώ να μας δώσεις την ακριβή παραπομπή από όπως αντλείς την άσκηση; ...

Ραφαήλ, ξέχασες να μας δώσεις την παραπομπή εδώ.

Rafaelcrete · #8

Αυτή την άσκηση μας την είχε βάλει ο Αχιλλέας Τερτίκας πριν πολλά χρόνια σε ένα μάθημα βελτιστοποίησης αν θυμάμαι και καλά γιατί έχουν περάσει πολλά χρόνια.Απαντηση μας είχε δώσει αλλά δεν την έχω.

Εύρεση Συναρτήσεων

Εύρεση Συναρτήσεων

Re: Εύρεση Συναρτήσεων

Re: Εύρεση Συναρτήσεων

Re: Εύρεση Συναρτήσεων

Re: Εύρεση Συναρτήσεων

Re: Εύρεση Συναρτήσεων

Re: Εύρεση Συναρτήσεων

Re: Εύρεση Συναρτήσεων

Μέλη σε σύνδεση