1-1 και σύνολο τιμών

Γιώργος Απόκης · #1

Για τη συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb R\to \mathbb R}$ , για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb R}$ ισχύει :

$\displaystyle{f(f(x))=1-2x}$ .

α) Να δείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ αντιστρέφεται

β) Να εξετάσετε αν η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως μονότονη

γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της $\displaystyle{f}$ .

(Γ' Λυκείου - Μέχρι 14/10/15)

papamixalis · #2

Καλησπέρα κύριε Γιώργο.

α)

$f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow$
$f(f(x_{1}))=f(f(x_{2}))\Rightarrow$
$1-2x_{1}=1-2x_{2}\Rightarrow$
$x_{1}=x_{2}$
Άρα η

είναι

και αντιστρέφεται.

β)

H

δεν είναι γνησίως μονότονη.
Αν η f ήταν γν. μονότονη τότε η fof

θα έπρεπε να είναι γνησίως αύξουσα(θέλει απόδειξη,αλλά είναι αρκετά εύκολη), κάτι που δεν ισχύει.

γ)

$f(x)=y \Leftrightarrow x=f^{-1}(y)$

Από την αρχική σχέση

$f(y)=1-2f^{-1}(y)$
$f^{-1}(x)=\dfrac{1-f(x)}{2}$

Το πεδίο ορισμού της αντίστροφης είναι το

.
Άρα και το σύνολο τιμών της

θα είναι το

.

Ελπίζω να μην μου έχει ξεφύγει κάτι.

Καλό βράδυ
Φιλικά
Μιχάλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Απαντώ γιατί διαπιστώνω ότι οι μαθητές έχουν πρόβλημα με ερωτήματα
όπως το γ)
Αφού το δεξιό μέλος παίρνει όλες τις πραγματικές τιμές αυτόματα το
πεδίο τιμών είναι όλοι οι πραγματικοί.

Γιώργος Απόκης · #4

Ευχαριστώ και τους δύο

#5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Απαντώ γιατί διαπιστώνω ότι οι μαθητές έχουν πρόβλημα με ερωτήματα
όπως το γ)
Αφού το δεξιό μέλος παίρνει όλες τις πραγματικές τιμές αυτόματα το
πεδίο τιμών είναι όλοι οι πραγματικοί.

...Καλημέρα στην παρέα με μιά μικρή παρέβαση στο παραπάνω σχόλιο του Σταύρου...

Συμφωνώ απολύτως με το Σταύρο ότι το σημείο αυτό, της εύρεσης του συνόλου τιμών της {{f}

γενικά είναι πολύ λεπτό σημείο σε

θέματα αντίστροφης και ειδικά όταν πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το τύπο της ${{f}^{-1}}(y)$ σε μία σχέση, προσδιορίζοντας ΠΑΝΤΑ πρώτα για ποια

.

Εδώ ο Σταύρος πιστεύω, εννοεί ότι από την σχέση $f(f(x))=1-2x,\,\,\,x\in R$ επειδή 1-2x

έχει σύνολο τιμών το

λόγω της ισότητας η

έχει σύνολο τιμών το

που είναι αυτονόητο.

Εγώ στην παρουσίαση τέτοιων θεμάτων στους μαθητές μου κατ’ αρχάς εξηγώ ότι για να έχει μία συνάρτηση $f:A\to R$ σύνολο τιμών το

,

πρέπει η εξίσωση f(x)=y

να έχει λύση στο

για κάθε $y\in R$

Ειδικά στις παραπάνω μορφές όπως αυτή $f(f(x))=1-2x,\,\,\,x\in R$ κάνοντας πρώτα αριθμητικά παραδείγματα, π.χ.

με όπου

το

ισχύει ότι f(f(1))=-1

που σημαίνει ότι η εξίσωση f(x)=-1

έχει λύση το αριθμό f(1)

ή

με όπου

το

ισχύει ότι f(f(0))=1

που σημαίνει ότι η εξίσωση f(x)=1

έχει λύση το αριθμό f(0)

και έτσι αναδεικνύω την σκέψη στην εξίσωση f(x)=y

που από την ισότητα $1-2x=y\Leftrightarrow x=\frac{1-y}{2},\,\,\,y\in R$

με όπου

το $\frac{1-y}{2}$ προκύπτει ότι $f(f(\frac{1-y}{2}))=1-2\frac{1-y}{2}=y$

που σημαίνει ότι η εξίσωση f(x)=y

έχει πάντα λύση την $f(\frac{1-y}{2}),\,\,\,y\in R$

Έτσι έχω διαπιστώσει γίνεται ποιο εύκολα κατανοητό στους μαθητές.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#6

KAKABASBASILEIOS έγραψε:

Εγώ στην παρουσίαση τέτοιων θεμάτων στους μαθητές μου κατ’ αρχάς εξηγώ ότι για να έχει μία συνάρτηση $f:A\to R$ σύνολο τιμών το ,

πρέπει η εξίσωση να έχει λύση στο για κάθε $y\in R$

Ειδικά στις παραπάνω μορφές όπως αυτή $f(f(x))=1-2x,\,\,\,x\in R$ κάνοντας πρώτα αριθμητικά παραδείγματα, π.χ.

με όπου το ισχύει ότι που σημαίνει ότι η εξίσωση έχει λύση το αριθμό ή

με όπου το ισχύει ότι που σημαίνει ότι η εξίσωση έχει λύση το αριθμό

και έτσι αναδεικνύω την σκέψη στην εξίσωση που από την ισότητα $1-2x=y\Leftrightarrow x=\cfrac{1-y}{2},\,\,\,y\in R$

με όπου το $\dfrac{1-y}{2}$ προκύπτει ότι $f(f(\dfrac{1-y}{2}))=1-2\dfrac{1-y}{2}=y$

που σημαίνει ότι η εξίσωση έχει πάντα λύση την $f(\dfrac{1-y}{2}),\,\,\,y\in R$

Έτσι έχω διαπιστώσει γίνεται ποιο εύκολα κατανοητό στους μαθητές.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Έτσι-Έτσι ακριβώς Βασίλη.

Φιλικά Νίκος

#7

Ας δούμε και την επόμενη σκέψη:

Για την g(x)= f(f(x))=1-2x

είναι φανερό ότι g(R)=R

και $g(R) \subseteq f(R)$ . Έτσι $R=g(R)\subseteq f(R)\subseteq R$ , επομένως g(R)=f(R)= R

Γιώργος Απόκης · #8

Η άσκηση μπήκε ακριβώς για το τρίτο ερώτημα.

Προσωπικά τις αιτιολογήσεις του Μιχάλη και του Σταύρου είχα κατά νου. Βασίλη και Κώστα ευχαριστώ για τις ιδέες

makisman · #9

και αλλιώς

έστω ότι υπάρχει $y\in R$ ώστε για κάθε $x\in R \Rightarrow f(x) \neq y$ τότε αφού f "1-1"

θα είναι $f(fx)) \neq f(y) \Leftrightarrow 1-2x\neq f(y) \Leftrightarrow x\neq \frac{1-f(y)} {2}$ , άτοπο αφου το

παίρνει όλες τις πραγματικές τιμές. Οπότε για κάθε $y\in R$ υπάρχει $x\in R:f(x) =y$ και τότε f(R) =R

Chris_Math · #10

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ...Καλημέρα στην παρέα με μιά μικρή παρέβαση στο παραπάνω σχόλιο του Σταύρου...

Συμφωνώ απολύτως με το Σταύρο ότι το σημείο αυτό, της εύρεσης του συνόλου τιμών της γενικά είναι πολύ λεπτό σημείο σε

θέματα αντίστροφης και ειδικά όταν πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το τύπο της ${{f}^{-1}}(y)$ σε μία σχέση, προσδιορίζοντας ΠΑΝΤΑ πρώτα για ποια .

Εδώ ο Σταύρος πιστεύω, εννοεί ότι από την σχέση $f(f(x))=1-2x,\,\,\,x\in R$ επειδή έχει σύνολο τιμών το

λόγω της ισότητας η έχει σύνολο τιμών το που είναι αυτονόητο.

Εγώ στην παρουσίαση τέτοιων θεμάτων στους μαθητές μου κατ’ αρχάς εξηγώ ότι για να έχει μία συνάρτηση $f:A\to R$ σύνολο τιμών το ,

πρέπει η εξίσωση να έχει λύση στο για κάθε $y\in R$

Ειδικά στις παραπάνω μορφές όπως αυτή $f(f(x))=1-2x,\,\,\,x\in R$ κάνοντας πρώτα αριθμητικά παραδείγματα, π.χ.

με όπου το ισχύει ότι που σημαίνει ότι η εξίσωση έχει λύση το αριθμό ή

με όπου το ισχύει ότι που σημαίνει ότι η εξίσωση έχει λύση το αριθμό

και έτσι αναδεικνύω την σκέψη στην εξίσωση που από την ισότητα $1-2x=y\Leftrightarrow x=\frac{1-y}{2},\,\,\,y\in R$

με όπου το $\frac{1-y}{2}$ προκύπτει ότι $f(f(\frac{1-y}{2}))=1-2\frac{1-y}{2}=y$

που σημαίνει ότι η εξίσωση έχει πάντα λύση την $f(\frac{1-y}{2}),\,\,\,y\in R$

Έτσι έχω διαπιστώσει γίνεται ποιο εύκολα κατανοητό στους μαθητές.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Εξαιρετικά και διδακτικά!

1-1 και σύνολο τιμών

1-1 και σύνολο τιμών

Re: 1-1 και σύνολο τιμών

Re: 1-1 και σύνολο τιμών

Re: 1-1 και σύνολο τιμών

Re: 1-1 και σύνολο τιμών

Re: 1-1 και σύνολο τιμών

Re: 1-1 και σύνολο τιμών

Re: 1-1 και σύνολο τιμών

Re: 1-1 και σύνολο τιμών

Re: 1-1 και σύνολο τιμών

Μέλη σε σύνδεση