Μια πιθανοτήτων

allstar · #1

Γεια σας

Δύο φίλοι παίζουν ένα παιχνίδι και ο πρώτος φοράει κόκκινη μπλούζα ενώ ο δεύτερος μπλε. Βάζουν σε ένα σακούλι 2 κόκκινες και 3 μπλε μπάλες και τραβάνε διαδοχικά από μια κάθε φορά. Πρώτα ο κόκκινος μετά ο μπλε κτλ. Κερδίζει ο παίκτης που θα τραβήξει ίδιο χρώμα μπάλας με το μπλουζάκι του.

Α)Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος
Β)Το ενδεχόμενο κερδίζει ο παίχτης με την κόκκινη μπλούζα
Γ)Η πιθανότητα να κερδίσει ο παίχτης με την κόκκινη μπλούζα,είναι το παιχνίδι δίκαιο;

#2

Άκυρον !

Α.Αποστόλου · #3

Το πρόβλημα με αυτή την μορφή είναι ότι τα ενδεχόμενα δεν είναι απλά. Το ενδεχόμενο Κ ή Μ αλλάζει σε κάθε βήμα επομένως δεν είναι ισοπίθανα.
Είναι δεσμευμένη πιθανότητα και δεν ξέρω αν απευθύνεται σε μαθητές Α' Λυκείου.

#4

Μπορούμε σαν δειγματικό χώρο να λάβουμε το

$\Omega = \{KKMMM,KMKMM,KMMKM,KMMMK,MKKMM,MKMKM,MKMMK,$
$MMKKM,MMKMK,MMMKK \}$ .

Όπου π.χ. το KMKMM

δηλώνει το ενδεχόμενο οι κόκκινες μπάλες να είναι η πρώτη και η τρίτη. Αυτά τα δέκα ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Τα υπόλοιπα τώρα είναι απλά.

ealexiou · #5

ή διαφορετικά και πιθανόν εκτός φακέλου (δεν το γνωρίζω)
Ας είναι $P_{K}$ η πιθανότητα να κερδίσει ο με το κόκκινο μπλουζάκι (K)

και $P_{M}$ να κερδίσει ο με το μπλε μπλουζάκι (M)

και $P_{0}$ να μην κερδίσει κανείς.

Παίζει ο

και με πιθανότητα $\dfrac{2}{5}$ τραβάει κόκκινη μπάλα και κερδίζει και με πιθανότητα $\dfrac{3}{5}$ τραβάει μπλε και παίζει ο

. Έχουν μείνει (2k+2m)

μπάλες

Για να παίξει ο

πρέπει να έχει χάσει ο

και με (δεσμευμένη) πιθανότητα $(\dfrac{3}{5})\cdot \dfrac{2}{4}$ τραβάει μπλε μπάλα και κερδίζει και με την ίδια πιθανότητα τραβάει κόκκινη και χάνει και συνεχίζει ο

. Έχουν μείνει (1k+2m)

μπάλες.

Ξαναπαίζει ο

και με (δεσμευμένη) πιθανότητα $(\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4})\cdot \dfrac{1}{3}$ τραβάει κόκκινη και κερδίζει και με πιθανότητα $(\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4})\cdot \dfrac{2}{3}$ τραβάει μπλε και παίζει ο

. Έχουν μείνει (1k+1m)

μπάλες.

Ξαναπαίζει ο

και με (δεσμευμένη) πιθανότητα $\left(\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4}\cdot \dfrac{2}{3}\right)\cdot \dfrac{1}{2}$ τραβάει μπλε και κερδίζει και με ίδια πιθανότητα $\left(\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4}\cdot \dfrac{2}{3}\right)\cdot \dfrac{1}{2}$ τραβάει κόκκινη και παίζει ο

. Έχουν μείνει (1m)

μπάλες.

Παίζει ο

και αναγκαστικά τραβάει την μπλε μπάλα και άρα προστιθέμενη πιθανότητα να κερδίσει

Άρα $P_{K}=\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow$ $\boxed{P_{K}=\dfrac{5}{10}}$

$P_{M}=\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{5}\Rightarrow$ $\boxed{P_{M}=\dfrac{4}{10}}$

$\boxed{P_{0}=\dfrac{1}{10}}$

allstar · #6

Γεια σας εγώ έβγαλα δειγματικό χώρο με 5 ενδεχόμενα και πιθανότητα 3/5 . Δεν είμαι σίγουρος όμως για αυτό και σας την δείχνω , σας ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις σας . Κ Αλεξίου εγώ το σταμάτησα στο 2/5 που βγάλατε και 3/5 με δειγματικό χώρο Ω=(Κ,ΜΜ,ΜΚΚ,ΜΚΜΜ,ΜΚΜΚ) με Κ να είναι η σειρά του κόκκινου,ΜΜ η σειρά του μπλε κτλ

ealexiou · #7

allstar έγραψε:Γεια σας εγώ έβγαλα δειγματικό χώρο με 5 ενδεχόμενα και πιθανότητα 3/5 . Δεν είμαι σίγουρος όμως για αυτό και σας την δείχνω , σας ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις σας . Κ Αλεξίου εγώ το σταμάτησα στο 2/5 που βγάλατε και 3/5

Καλημέρα!
Ο δειγματικός χώρος μπορεί να εκληφθεί θεωρώντας ότι παίζουν μέχρι τέλους (όπως έγραψε ο Δημήτρης) και μετράμε τις φορές που κερδίζει ο κόκκινος και τις φορές που κερδίζει ο μπλε . Βγάζουμε δε, με τον Δημήτρη, τις ίδιες πιθανότητες.
Με τα ισοπίθανα

ενδεχόμενα KKMMM,KMKMM,KMMKM,

έχουμε:
Κερδίζει ο κόκκινος στα ενδεχόμενα KKMMM,KMKMM,KMMKM,KMMMK,MKKMM

Κερδίζει ο μπλε στα ενδεχόμενα MKMMK,MMKKM,MMKMK,MMMKK

Δεν κερδίζει κανείς στο ενδεχόμενο MKMKM

edit: Έγινε διόρθωση προς το σωστότερο.

evitakron · #8

Demetres έγραψε:Μπορούμε σαν δειγματικό χώρο να λάβουμε το

$\Omega = \{KKMMM,KMKMM,KMMKM,KMMMK,MKKMM,MKMKM,MKMMK,$
$MMKKM,MMKMK,MMMKK \}$ .

Όπου π.χ. το δηλώνει το ενδεχόμενο οι κόκκινες μπάλες να είναι η πρώτη και η τρίτη. Αυτά τα δέκα ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Τα υπόλοιπα τώρα είναι απλά.

Καλημέρα! Δεν καταλαβαίνω γιατί είναι αυτός ο δ.χ. Ω. Όπως το αντιλαμβάνομαι με δεντροδιάγραμμα θα είναι $\Omega =\left\{ \kappa ,\mu \kappa \kappa , \mu \kappa \mu \mu , \mu \kappa \mu \kappa \mu , \mu \mu \right\}$ . Αφού με το που κερδίζει κάποιος το πείραμα τερματίζει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

Ο Δημήτρης έβαλε την λέξη μπορούμε.
Με αυτό τον τρόπο υπολογίζονται εύκολα οι πιθανότητες.
Φανταζόμαστε ότι αν κάποιός κερδίσει συνεχίζουν να τραβούν μέχρι να τελειώσουν.
Το ποιος θα είναι νικητής δεν επηρεάζετε.
Φυσικά δεν είναι τυπικά αυτός ο δειγματικός χώρος.
Πιστεύω ότι ο εξαίρετος Δημήτρης θα το εξηγήσει μόλις το δεί.

ealexiou · #10

Παίζοντας το παιχνίδι μέχρι τέλους τα δυνατά να συμβούν ενδεχόμενα είναι όσες και οι μεταθέσεις πέντε πραγμάτων, όπου τα δύο (2)

είναι ίδια και τα άλλα τρία (3)

είναι ίδια και διαφορετικά από τα δύο, δηλαδή $\dfrac{5!} {2!\cdot 3!}=10$

#11

Μιά λύση με δενδροδιάγραμμα εκτός ύλης και φακέλλου

: Pro.png (5.9 KiB) Προβλήθηκε 2457 φορές

$\displaystyle{P(K) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5}\frac{2}{4}\frac{1}{3} = \frac{2}{5} + \frac{1}{{10}} = \frac{5}{{10}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,P(M) = \frac{3}{5}\frac{2}{4} + \frac{3}{5}\frac{2}{4}\frac{2}{3}\frac{1}{2} = \frac{3}{{10}} + \frac{3}{{30}} = \frac{4}{{10}}}$

#12

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Ο Δημήτρης έβαλε την λέξη μπορούμε.
Με αυτό τον τρόπο υπολογίζονται εύκολα οι πιθανότητες.
Φανταζόμαστε ότι αν κάποιός κερδίσει συνεχίζουν να τραβούν μέχρι να τελειώσουν.
Το ποιος θα είναι νικητής δεν επηρεάζετε.
Φυσικά δεν είναι τυπικά αυτός ο δειγματικός χώρος.
Πιστεύω ότι ο εξαίρετος Δημήτρης θα το εξηγήσει μόλις το δεί.

Δεν έχω να προσθέσω και πολλά αφού η ιδέα έχει περιγραφεί πλήρως. Συνεχίζουμε το παιγνίδι και μετά το τελείωμα ώστε να κάνουμε τα ενδεχόμενα ισοπίθανα. Κάτι που δεν ισχύει για τον δειγματικό χώρο $\Omega = \{K,MM,MKK,MKMM,MKMKM\}$ .

Να προσθέσω μόνο ότι αυτήν την ιδέα χρησιμοποίησε πρώτος ο Fermat για να επιλύσει το problem of the points (σύνδεσμος στα αγγλικά) που μέχρι τότε προβλημάτιζε τους μαθηματικούς.

Αυτό θεωρείται ένα από τα σημεία σταθμούς στην ιστορία των πιθανοτήτων.

ealexiou · #13

Αν οι μπάλες επανατοποθετούνται στο σακούλι- τελείως εκτός φακέλου και εκτός ύλης - και για να το συνδέσω με την πρώτη μου ανάρτηση..

Ο Κόκκινος κερδίζει στα ενδεχόμενα K, MKK, MKMKK, MKMKMKK,...,MKMKMK.....MKK

Ο Μπλε κερδίζει στα ενδεχόμενα MM, MKMM, MKMKMM,...

άρα:

Πιθανότητα να κερδίσει ο Κόκκινος
$P_{K}=\dfrac{2}{5} +\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{2}{5}+.....=$

$\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{6}{25}+\dfrac{2}{5}\cdot \left(\dfrac{6}{25}\right)^2 +\dfrac{2}{5}\cdot \left(\dfrac{6}{25}\right)^3+....+\dfrac{2}{5}\left(\dfrac{6}{25}\right)^n=$

$\dfrac{2}{5}\left(1+ \dfrac{6}{25}+ \left(\dfrac{6}{25}\right)^2+.....+\left(\dfrac{6}{25}\right)^n\right) \Rightarrow$ $\boxed{P_{K}=\dfrac{2}{5}A}$

Πιθανότητα να κερδίσει ο Μπλε
$P_{M}=\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{3}{5}+\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{6}{25}+\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{3}{5}\cdot \left(\dfrac{6}{25}\right)^2+.....+\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{3}{5}\cdot \left(\dfrac{6} {25}\right)^n=$

$\dfrac{9}{25}\left(1+ \dfrac{6}{25}+ \left(\dfrac{6}{25}\right)^2+.....+\left(\dfrac{6}{25}\right)^n\right)\Rightarrow$ $\boxed{P_{M}=\dfrac{9}{25}A}$

οπότε τελικά $P_{K}=\dfrac{\dfrac{2}{5}A}{\left(\dfrac{2}{5}+\dfrac{9}{25}\right)A}\Rightarrow$ $\boxed{P_{K}=\dfrac{10}{19}}$ και $\boxed{P_{M}=\dfrac{9}{19}}$

Με την επιφύλαξη των πράξεων...

Μια πιθανοτήτων

Μια πιθανοτήτων

Re: Μια πιθανοτήτων

Re: Μια πιθανοτήτων

Re: Μια πιθανοτήτων

Re: Μια πιθανοτήτων

Re: Μια πιθανοτήτων

Re: Μια πιθανοτήτων

Re: Μια πιθανοτήτων

Re: Μια πιθανοτήτων

Re: Μια πιθανοτήτων

Re: Μια πιθανοτήτων

Re: Μια πιθανοτήτων

Re: Μια πιθανοτήτων

Μέλη σε σύνδεση