Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2015 (Κύπρος)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2015 (Κύπρος)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Δευ Νοέμ 16, 2015 1:58 pm

Έστω και με μία και κάτι εβδομάδα καθυστέρηση... Παραθέτω τα θέματα της Α' Λυκείου και σε επόμενες αναρτήσεις τα θέματα για Β' και Γ' Λυκείου.

Α' Λυκείου

Πρόβλημα 1

(α) Να δείξετε ότι για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό \displaystyle{a} ισχύει ότι: \displaystyle{\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}}=\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}
(β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \displaystyle{A=\dfrac{1}{3+\sqrt{10}}+\dfrac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{11}}+\dfrac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{12}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{399}+\sqrt{400}}}

Πρόβλημα 2

Έστω \displaystyle{x} και \displaystyle{y} θετικοί ακέραιοι αριθμοί τέτοιοι, ώστε \displaystyle{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}-\sqrt{5x}-\sqrt{5y}+\sqrt{5xy}=5}. Να βρείτε την τιμή του \displaystyle{x+y}.

Πρόβλημα 3

Δίνεται κύκλος με διάμετρο \displaystyle{AB} και εφαπτομένη \displaystyle{Bx}. Από ένα σημείο \displaystyle{E} του κύκλου φέρουμε τέμνουσα \displaystyle{AE}, η οποία όταν προεκταθεί τέμνει τη \displaystyle{Bx} στο σημείο \displaystyle{\Gamma}. Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο \displaystyle{E} τέμνει τη \displaystyle{Bx} στο σημείο \displaystyle{\Delta}. Να δείξετε ότι το τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{\Gamma\Delta E}} είναι ισοσκελές.

Πρόβλημα 4

Το \displaystyle{AB\Gamma\Delta} είναι τετράγωνο με πλευρά \displaystyle{AB=4} μονάδες. Ένας κύκλος περνά από τα σημεία \displaystyle{A} και \displaystyle{B} και εφάπτεται της πλευράς \displaystyle{\Gamma\Delta}. Να υπολογίσετε το μήκος της ακτίνας του κύκλου.


Σωτήρης Λοϊζιάς
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8222
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2015 (Κύπρος)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 16, 2015 2:12 pm

Soteris έγραψε:Έστω και με μία και κάτι εβδομάδα καθυστέρηση... Παραθέτω τα θέματα της Α' Λυκείου και σε επόμενες αναρτήσεις τα θέματα για Β' και Γ' Λυκείου.

Α' Λυκείου

Πρόβλημα 3

Δίνεται κύκλος με διάμετρο \displaystyle{AB} και εφαπτομένη \displaystyle{Bx}. Από ένα σημείο \displaystyle{E} του κύκλου φέρουμε τέμνουσα \displaystyle{AE}, η οποία όταν προεκταθεί τέμνει τη \displaystyle{Bx} στο σημείο \displaystyle{\Gamma}. Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο \displaystyle{E} τέμνει τη \displaystyle{Bx} στο σημείο \displaystyle{\Delta}. Να δείξετε ότι το τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{\Gamma\Delta E}} είναι ισοσκελές.
Καλό μεσημέρι.
Κύπρος-3.png
Κύπρος-3.png (10.35 KiB) Προβλήθηκε 879 φορές
Το EBC είναι ορθογώνιο και DE=DB, οπότε η ED είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα, άρα \boxed{DE=DC}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8222
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2015 (Κύπρος)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 16, 2015 2:23 pm

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 4

Το \displaystyle{AB\Gamma\Delta} είναι τετράγωνο με πλευρά \displaystyle{AB=4} μονάδες. Ένας κύκλος περνά από τα σημεία \displaystyle{A} και \displaystyle{B} και εφάπτεται της πλευράς \displaystyle{\Gamma\Delta}. Να υπολογίσετε το μήκος της ακτίνας του κύκλου.
Κύπρος-4.png
Κύπρος-4.png (11.05 KiB) Προβλήθηκε 866 φορές
με τους συμβολισμούς του σχήματος έχουμε:

\displaystyle{R + x = 4,{R^2} = {x^2} + 4 \Rightarrow {R^2} = 16 + {R^2} - 8R + 4 \Leftrightarrow } \boxed{R = \frac{5}{2}}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11289
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2015 (Κύπρος)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Νοέμ 16, 2015 3:44 pm

Πολύ ωραία θέματα. Ότι πρέπει από επίπεδο δυσκολίας, και έξω από την πεπατημένη.
Soteris έγραψε: Πρόβλημα 1
(α) Να δείξετε ότι για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό \displaystyle{a} ισχύει ότι: \displaystyle{\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}}=\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}
(β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \displaystyle{A=\dfrac{1}{3+\sqrt{10}}+\dfrac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{11}}+\dfrac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{12}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{399}+\sqrt{400}}}
α) Άμεσο από την ταυτότητα διαφοράς τετραγώνων, (\sqrt{a+1}-\sqrt{a})(\sqrt{a+1}+\sqrt{a})= (a+1)-a=1.

β) Από το προηγούμενο τα κλάσματα είναι (\sqrt {10} - \sqrt {9})+ (\sqrt {11} - \sqrt {10}) +... + (\sqrt {398} - \sqrt {399})+(\sqrt {399} - \sqrt {400}) που απλοποιούνται ανά ζεύγη αλλά μένει \sqrt {400} - \sqrt {9} = 20-3=17
Soteris έγραψε: Πρόβλημα 2

Έστω \displaystyle{x} και \displaystyle{y} θετικοί ακέραιοι αριθμοί τέτοιοι, ώστε \displaystyle{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}-\sqrt{5x}-\sqrt{5y}+\sqrt{5xy}=5}. Να βρείτε την τιμή του \displaystyle{x+y}.
\displaystyle{0 = x\sqrt{y}+y\sqrt{x}-\sqrt{5x}-\sqrt{5y}+\sqrt{5xy}-5}
\displaystyle{ = (x\sqrt{y}+y\sqrt{x}+\sqrt{5xy})-(\sqrt{5x}+\sqrt{5y}+5)}
\displaystyle{ = \sqrt {xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{5})-\sqrt 5(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt 5)}
\displaystyle{ =(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{5})( \sqrt {xy}-\sqrt 5)}

από όπου \sqrt {xy} = \sqrt 5. Άρα xy=5, και επειδή οι x,y φυσικοί, θα είναι x=1,y=5 ή ανάποδα. Πάντως x+y=6.

Φιλικά,

Μιχάλης.

Υ.Γ.

Σωτήρη, την επόμενη εβδομάδα θα είναι στα μέρη σας. Το Πανεπιστήμιο Κύπρου θα κανόνιζε και μία δημόσια ομιλία μου αλλά δεν έχω ακόμα τις λεπτομέρειες.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Δευ Νοέμ 16, 2015 8:40 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


papamixalis
Δημοσιεύσεις: 194
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 13, 2015 3:38 pm

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2015 (Κύπρος)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papamixalis » Δευ Νοέμ 16, 2015 4:34 pm

Πρόβλημα 3


Καλησπέρα.
Μια ακόμα λύση απλά για να υπάρχει.
Κλέβω το σχήμα από τον κύριο Βισβίκη.

Εικόνα

Το τετράπλευρο EDBO είναι εγγράψιμο.

Άρα \angle CDE= \angle EOB = 180-2 \omega

\angle CED = 180- \omega - 180 + 2\omega = \omega

Άρα το \triangle CDE είναι ισοσκελές.

Φιλικά
Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2015 (Κύπρος)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Δευ Νοέμ 16, 2015 8:03 pm

Παρουσιάζω μόνο τα προβλήματα 3 και 4, αφού τα προβλήματα 1 και 2 ήταν κοινά με την Α' Λυκείου

Β' Λυκείου

Πρόβλημα 3

Δίνεται η συνάρτηση: \displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{\eta\mu^3 x\cdot\sigma\upsilon\nu x}{\epsilon\phi^2 x+1}}, \displaystyle{-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}}
Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της \displaystyle{f}.

Πρόβλημα 4

Δίνεται σκαληνό τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{AB\Gamma}} με ύψος \displaystyle{A\Delta} και διάμεσο \displaystyle{AM}. Από σημείο \displaystyle{P} του ύψους \displaystyle{A\Delta} φέρουμε τις \displaystyle{PE} και \displaystyle{PZ} κάθετες στις \displaystyle{AB} και \displaystyle{A\Gamma}, αντίστοιχα (\displaystyle{E} και \displaystyle{Z} τα ίχνη των καθέτων στις \displaystyle{AB} και \displaystyle{A\Gamma}). Προεκτείνουμε την \displaystyle{A\Delta} κατά τμήμα \displaystyle{\Delta H=A\Delta} και την \displaystyle{AM} κατά τμήμα \displaystyle{M\Theta=AM}. Αν οι \displaystyle{BH} και \displaystyle{\Gamma\Theta} τέμνονται στο \displaystyle{K}, να αποδείξετε ότι:

(α) το τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{B\Gamma K}} είναι ισοσκελές

(β) το τετράπλευρο \displaystyle{BEZ\Gamma} είναι εγγράψιμο σε κύκλο


Σωτήρης Λοϊζιάς
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3955
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2015 (Κύπρος)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Νοέμ 16, 2015 8:14 pm

Soteris έγραψε:Παρουσιάζω μόνο τα προβλήματα 3 και 4, αφού τα προβλήματα 1 και 2 ήταν κοινά με την Α' Λυκείου

Β' Λυκείου

Πρόβλημα 3

Δίνεται η συνάρτηση: \displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{\eta\mu^3 x\cdot\sigma\upsilon\nu x}{\epsilon\phi^2 x+1}}, \displaystyle{-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}}
Να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της \displaystyle{f}.
Η συνάρτηση γράφεται:

\displaystyle{f(x)=\frac{\sin^3 x \cos x}{\sec^2 x}= \sin^3 x \cos^3 x= \frac{\sin^3 (2x)}{8}}

Οπότε πλέον από τη γνωστή ανισότητα |\sin x|\leq 1 βγάζουμε ότι \displaystyle{|f(x)|\leq \frac{1}{8}, \;\;\; x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) }. H ισότητα πιάνεται στο \displaystyle{\pm \frac{\pi}{4}}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8222
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2015 (Κύπρος)

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 16, 2015 9:01 pm

Soteris έγραψε:Παρουσιάζω μόνο τα προβλήματα 3 και 4, αφού τα προβλήματα 1 και 2 ήταν κοινά με την Α' Λυκείου

Β' Λυκείου

Πρόβλημα 4

Δίνεται σκαληνό τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{AB\Gamma}} με ύψος \displaystyle{A\Delta} και διάμεσο \displaystyle{AM}. Από σημείο \displaystyle{P} του ύψους \displaystyle{A\Delta} φέρουμε τις \displaystyle{PE} και \displaystyle{PZ} κάθετες στις \displaystyle{AB} και \displaystyle{A\Gamma}, αντίστοιχα (\displaystyle{E} και \displaystyle{Z} τα ίχνη των καθέτων στις \displaystyle{AB} και \displaystyle{A\Gamma}). Προεκτείνουμε την \displaystyle{A\Delta} κατά τμήμα \displaystyle{\Delta H=A\Delta} και την \displaystyle{AM} κατά τμήμα \displaystyle{M\Theta=AM}. Αν οι \displaystyle{BH} και \displaystyle{\Gamma\Theta} τέμνονται στο \displaystyle{K}, να αποδείξετε ότι:

(α) το τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{B\Gamma K}} είναι ισοσκελές

(β) το τετράπλευρο \displaystyle{BEZ\Gamma} είναι εγγράψιμο σε κύκλο
Κύπρος Β-4.png
Κύπρος Β-4.png (9.82 KiB) Προβλήθηκε 690 φορές
α) Το B είναι σημείο της μεσοκαθέτου του AH, άρα \hat{HBD}=\hat{DBA}=\omega. Επιπλέον το ABTC είναι παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιες του διχοτομούνται), οπότε \hat{TCB}=\hat{CBA}=\omega. Άρα το τρίγωνο \displaystyle{{BCK}} είναι ισοσκελές.

β) Τα BDPE, CDPZ είναι εγγράψιμα (δύο από τις απέναντι γωνίες τους είναι ορθές). Άρα, \displaystyle{Z\widehat PA = Z\widehat CD,D\widehat BA = A\widehat PE} και \displaystyle{E\widehat PZ = {180^0} - \widehat A}, οπότε και το AEPZ είναι εγγράψιμο, δηλαδή \displaystyle{A\widehat ZE = A\widehat PE = \omega }. Επομένως το BEZC είναι εγγράψιμο.


Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2015 (Κύπρος)

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Δευ Νοέμ 16, 2015 9:14 pm

Παρουσιάζω μόνο τα προβλήματα 1 και 2, αφού τα προβλήματα 3 και 4 ήταν κοινά με την Β' Λυκείου.

Γ' Λυκείου

Πρόβλημα 1

Δίνεται το σημείο \displaystyle{P\left(-4, -1\right)} και ο κύκλος \displaystyle{C: x^2+y^2-6x-16=0}.

(α) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από το σημείο \displaystyle{P}.

(β) Να βρείτε τη γωνία των δύο εφαπτομένων.

(γ) Να βρείτε την απόσταση του \displaystyle{P} από τη χορδή του κύκλου που περνά από τα σημεία επαφής των εφαπτομένων με τον κύκλο.

Πρόβλημα 2

Αν \displaystyle{x} πραγματικός αριθμός, να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης: \displaystyle{A=\sqrt{2008-x}+\sqrt{x-2000}}


Σωτήρης Λοϊζιάς
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11289
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2015 (Κύπρος)

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Νοέμ 16, 2015 9:40 pm

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 2

Αν \displaystyle{x} πραγματικός αριθμός, να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης: \displaystyle{A=\sqrt{2008-x}+\sqrt{x-2000}}
(Χωρίς παραγώγους γιατί υποθέτω ότι οι μαθητές δεν τις έμαθαν ακόμη σε αυτή την τάξη).

Για να μην κουβαλώ μεγάλους αριθμούς γράφω y=2008-x και η παράστασή μου γίνεται \displaystyle{A=\sqrt{y}+\sqrt{8-y}}.

Θα δούμε ότι \displaystyle{2\sqrt 2 \le \sqrt{y}+\sqrt{8-y}\le 4} με ισότητες αν y=0y=8) και y=4, αντίστοιχα.

Αριστερά: Αφού \displaystyle{2\sqrt{y}\sqrt{8-y}\ge 0} έχουμε \displaystyle{y + 2\sqrt{y}\sqrt{8-y} + (8-y) \ge 8} και άρα \displaystyle{(\sqrt{y}+\sqrt{8-y})^2\ge 8} που ισοδυναμεί με την αριστερή ανισότητα.

Δεξιά: Με Cauchy-Schwarz (αλλά μπορούμε και αλλιώς), είναι

\displaystyle{ \sqrt{y}+\sqrt{8-y} =  1\cdot \sqrt{y}+1\cdot\sqrt{8-y}\le \sqrt {1^2+1^2} \sqrt {y+(8-y)}=\sqrt 2 \sqrt 8 =4

Φιλικά,

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2015 (Κύπρος)

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Δευ Νοέμ 16, 2015 9:55 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Soteris έγραψε: Πρόβλημα 2

Αν \displaystyle{x} πραγματικός αριθμός, να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης: \displaystyle{A=\sqrt{2008-x}+\sqrt{x-2000}}
(Χωρίς παραγώγους γιατί υποθέτω ότι οι μαθητές δεν τις έμαθαν ακόμη σε αυτή την τάξη).
Κύριε Λάμπρου, να πω ότι οι μαθητές της Γ' Λυκείου στην Κύπρο με το υφιστάμενο αναλυτικό πρόγραμμα διδάσκονται την έννοια της παραγώγου, κανόνες παραγώγισης και κάποιες εφαρμογές της παραγώγου στο τέλος της Β' Λυκείου. Είναι ωραίο όμως να παρουσιάζονται διάφοροι τρόποι επίλυσης (για διδακτικούς λόγους). Γι' αυτό η υπόθεση που κάνατε πιο πάνω μόνο σε καλό μας βγήκε.. :D


Σωτήρης Λοϊζιάς
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8222
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2015 (Κύπρος)

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 18, 2015 11:16 am

Soteris έγραψε:
Γ' Λυκείου

Πρόβλημα 1

Δίνεται το σημείο \displaystyle{P\left(-4, -1\right)} και ο κύκλος \displaystyle{C: x^2+y^2-6x-16=0}.

(α) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από το σημείο \displaystyle{P}.

(β) Να βρείτε τη γωνία των δύο εφαπτομένων.

(γ) Να βρείτε την απόσταση του \displaystyle{P} από τη χορδή του κύκλου που περνά από τα σημεία επαφής των εφαπτομένων με τον κύκλο.
Καλημέρα.

Για να μην μείνει άλυτη.
Κύπρος Γ.png
Κύπρος Γ.png (14.34 KiB) Προβλήθηκε 530 φορές
α) Εύκολα βρίσκουμε το κέντρο του κύκλου K(3,0) και την ακτίνα r=5. Έστω A(x,y), ένα από τα σημεία επαφής.
\displaystyle{\overrightarrow {PA}  \bot \overrightarrow {AK}  \Leftrightarrow \overrightarrow {PA}  \cdot \overrightarrow {AK}  = 0 \Leftrightarrow (x + 4)(3 - x) - y(y + 1) = 0 \Leftrightarrow }

\displaystyle{ - x - y + 12 - ({x^2} + {y^2}) = 0} κι επειδή το A είναι σημείο του κύκλου, θα επαληθεύει την εξίσωσή του, άρα καταλήγουμε στην εξίσωση: \boxed{y=-7x-4}

Έχουμε λοιπόν: \displaystyle{{x^2} + {(7x + 4)^2} - 6x - 16 = 0 \Leftrightarrow 50x(x + 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x =  - 1}. Προσδιορίζουμε έτσι τα σημεία επαφής A(-1,3), B(0,-4).

Οι εξισώσεις των εφαπτομένων είναι: \displaystyle{{\varepsilon _1}:y + 1 = \frac{4}{3}(x + 4) \Leftrightarrow } \boxed{y = \frac{4}{3}x + \frac{{13}}{3}}

\displaystyle{{\varepsilon _2}:y + 4 =  - \frac{3}{4}x \Leftrightarrow } \boxed{y =  - \frac{3}{4}x + 4}

β) Επειδή \displaystyle{{\lambda _1} \cdot {\lambda _2} = \frac{4}{3}\left( { - \frac{3}{4}} \right) =  - 1}, η γωνία των εφαπτομένων είναι 90^0.

γ) Η ευθεία AB έχει εξίσωση 7x+y+4=0.

\displaystyle{d(P,AB) = \frac{{| - 28 - 1 + 4|}}{{\sqrt {49 + 1} }} = \frac{{25}}{{5\sqrt 2 }} \Leftrightarrow } \boxed{d(P,AB) = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}}


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8184
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου 2015 (Κύπρος)

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Νοέμ 18, 2015 3:24 pm

Soteris έγραψε: Γ' Λυκείου

Δίνεται το σημείο \displaystyle{P\left(-4, -1\right)} και ο κύκλος \displaystyle{C: x^2+y^2-6x-16=0}.

(α) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από το σημείο \displaystyle{P}.

(β) Να βρείτε τη γωνία των δύο εφαπτομένων.

(γ) Να βρείτε την απόσταση του \displaystyle{P} από τη χορδή του κύκλου που περνά από τα σημεία επαφής των εφαπτομένων με τον κύκλο.
Τα (β) και (γ) μπορούν να απαντηθούν και χωρίς αναλυτική. Π.χ. ας δεχθούμε ως δεδομένα ότι ο κύκλος έχει ακτίνα 5 και το P έχει απόσταση 5\sqrt{2} από το κέντρο του κύκλου.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης