Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρος)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρος)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Τρί Νοέμ 17, 2015 8:59 pm

Α' Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

Αν \displaystyle{\alpha=5-2\dfrac{1}{3}} και \displaystyle{\beta=\dfrac{\frac{8}{5}\cdot\frac{45}{12}}{9-3}}, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \displaystyle{A=\alpha\div\beta^{2015}+3-\dfrac{4}{6\cdot\alpha}}

Πρόβλημα 2

Στο πιο κάτω σχήμα, δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{AB\Gamma} με \displaystyle{\Delta} και \displaystyle{E} τα μέσα των πλευρών \displaystyle{A\Gamma} και \displaystyle{B\Gamma}, αντίστοιχα. Αν το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας είναι \displaystyle{6 cm^2}, να βρείτε το εμβαδόν της μη σκιασμένης επιφάνειας.
Α2.png
Α2.png (14.16 KiB) Προβλήθηκε 913 φορές
Πρόβλημα 3

Ο ακέραιος \displaystyle{n} είναι το μικρότερο θετικό πολλαπλάσιο του \displaystyle{15} τέτοιο, ώστε κάθε ψηφίο του να είναι είτε \displaystyle{8} είτε \displaystyle{0}. Να υπολογίσετε το \displaystyle{\dfrac{n}{15}}.

Πρόβλημα 4

Από τους μαθητές της Α΄ και Β΄ τάξης ενός Γυμνασίου, το \displaystyle{\frac{1}{4}} είναι στο χορευτικό όμιλο, το \displaystyle{\frac{1}{5}} είναι στον μουσικό όμιλο, το \displaystyle{\frac{1}{3}} είναι στον αθλητικό όμιλο ενώ οι υπόλοιποι \displaystyle{60} μαθητές ανήκουν σε άλλους ομίλους. Αν οι μαθητές της Α΄ και Β΄ τάξης που είναι στους τρεις αυτούς ομίλους είναι μόνο σε ένα όμιλο, εκτός από \displaystyle{8} μαθητές που είναι και στο χορευτικό και στον μουσικό όμιλο, να βρείτε:

(α) τον αριθμό των μαθητών της Α΄ και Β΄ τάξης του Γυμνασίου

(β) τον αριθμό των μαθητών της Α΄ και Β΄ τάξης που είναι στον αθλητικό όμιλο


Σωτήρης Λοϊζιάς
ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Τρί Νοέμ 17, 2015 9:12 pm

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 3

Ο ακέραιος \displaystyle{n} είναι το μικρότερο θετικό πολλαπλάσιο του \displaystyle{15} τέτοιο, ώστε κάθε ψηφίο του να είναι είτε \displaystyle{8} είτε \displaystyle{0}. Να υπολογίσετε το \displaystyle{\dfrac{n}{15}}.
15=3\cdot5, άρα το τελευταίο ψηφίο είναι 0 και το άθροισμα των ψηφίων πολλαπλάσιο του 3, άρα το μικρότερο άθροισμα ψηφίων είναι 3\cdot 8=24 ο αριθμός είναι ο 808080


papamixalis
Δημοσιεύσεις: 194
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 13, 2015 3:38 pm

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papamixalis » Τρί Νοέμ 17, 2015 9:17 pm

Α' Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

Αν \displaystyle{\alpha=5-2\dfrac{1}{3}} και \displaystyle{\beta=\dfrac{\frac{8}{5}\cdot\frac{45}{12}}{9-3}}, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \displaystyle{A=\alpha\div\beta^{2015}+3-\dfrac{4}{6\cdot\alpha}}


Καλησπέρα

a=5-\dfrac{7}{3}=\dfrac{8}{3}

Στο b γίνονται απλοποιήσεις και προκύπτει ότι

b=1

A=\dfrac{8}{3} + 3-\dfrac{1}{4}=\dfrac{65}{12}

Φιλικά
Μιχάλης


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Νοέμ 17, 2015 9:19 pm

ealexiou έγραψε:
Soteris έγραψε: Πρόβλημα 3

Ο ακέραιος \displaystyle{n} είναι το μικρότερο θετικό πολλαπλάσιο του \displaystyle{15} τέτοιο, ώστε κάθε ψηφίο του να είναι είτε \displaystyle{8} είτε \displaystyle{0}. Να υπολογίσετε το \displaystyle{\dfrac{n}{15}}.
15=3\cdot5, άρα το τελευταίο ψηφίο είναι 0 και το άθροισμα των ψηφίων πολλαπλάσιο του 3, άρα το μικρότερο άθροισμα ψηφίων είναι 3\cdot 8=24 ο αριθμός είναι ο 808080
Μας κάνει και ο n=8880. ;)

Ωραίο θεματάκι!


Θανάσης Κοντογεώργης
ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Τρί Νοέμ 17, 2015 9:20 pm

socrates έγραψε:
ealexiou έγραψε:
Soteris έγραψε: Πρόβλημα 3

Ο ακέραιος \displaystyle{n} είναι το μικρότερο θετικό πολλαπλάσιο του \displaystyle{15} τέτοιο, ώστε κάθε ψηφίο του να είναι είτε \displaystyle{8} είτε \displaystyle{0}. Να υπολογίσετε το \displaystyle{\dfrac{n}{15}}.
15=3\cdot5, άρα το τελευταίο ψηφίο είναι 0 και το άθροισμα των ψηφίων πολλαπλάσιο του 3, άρα το μικρότερο άθροισμα ψηφίων είναι 3\cdot 8=24 ο αριθμός είναι ο 808080
Μας κάνει και ο n=8880. ;)

Ωραίο θεματάκι!
Σωστά!


papamixalis
Δημοσιεύσεις: 194
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 13, 2015 3:38 pm

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papamixalis » Τρί Νοέμ 17, 2015 9:23 pm

Πρόβλημα 2

Στο πιο κάτω σχήμα, δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{AB\Gamma} με \displaystyle{\Delta} και \displaystyle{E} τα μέσα των πλευρών \displaystyle{A\Gamma} και \displaystyle{B\Gamma}, αντίστοιχα. Αν το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας είναι \displaystyle{6 cm^2}, να βρείτε το εμβαδόν της μη σκιασμένης επιφάνειας.

Εικόνα

\dfrac{x\cdot y}{2}=6

Η DE ενώνει τα μέσα D,E άρα θα είναι παράλληλη προς την βάση και ίση με το μισό της.

Αν DE=y τότε AB=2y

(ABC)=\dfrac{2x\cdot 2y}{2}=24 cm^2

Οπότε το υπόλοιπο εμβαδόν είναι 18 cm^2


Φιλικά
Μιχάλης
τελευταία επεξεργασία από papamixalis σε Τετ Νοέμ 18, 2015 2:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Τρί Νοέμ 17, 2015 10:00 pm

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 4
Από τους μαθητές της Α΄ και Β΄ τάξης ενός Γυμνασίου, το \displaystyle{\frac{1}{4}} είναι στο χορευτικό όμιλο, το \displaystyle{\frac{1}{5}} είναι στον μουσικό όμιλο, το \displaystyle{\frac{1}{3}} είναι στον αθλητικό όμιλο ενώ οι υπόλοιποι \displaystyle{60} μαθητές ανήκουν σε άλλους ομίλους. Αν οι μαθητές της Α΄ και Β΄ τάξης που είναι στους τρεις αυτούς ομίλους είναι μόνο σε ένα όμιλο, εκτός από \displaystyle{8} μαθητές που είναι και στο χορευτικό και στον μουσικό όμιλο, να βρείτε:

(α) τον αριθμό των μαθητών της Α΄ και Β΄ τάξης του Γυμνασίου

(β) τον αριθμό των μαθητών της Α΄ και Β΄ τάξης που είναι στον αθλητικό όμιλο
Αν N το πλήθος των μαθητών της Α΄ και Β΄ τάξης του Γυμνασίου τότε:

N=\dfrac{N}{3}+\dfrac{N}{4}+\dfrac{N}{5}+60-8 (που διπλομετρήθηκαν και στον χορευτικό και στον μουσικό όμιλο)

\Rightarrow N=\dfrac{47N}{60}+52\Rightarrow 13N=52\cdot60 \Rightarrow \boxed{N=240}
τελευταία επεξεργασία από ealexiou σε Τρί Νοέμ 17, 2015 10:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


papamixalis
Δημοσιεύσεις: 194
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 13, 2015 3:38 pm

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papamixalis » Τρί Νοέμ 17, 2015 10:04 pm

Πρόβλημα 4

Από τους μαθητές της Α΄ και Β΄ τάξης ενός Γυμνασίου, το \displaystyle{\frac{1}{4}} είναι στο χορευτικό όμιλο, το \displaystyle{\frac{1}{5}} είναι στον μουσικό όμιλο, το \displaystyle{\frac{1}{3}} είναι στον αθλητικό όμιλο ενώ οι υπόλοιποι \displaystyle{60} μαθητές ανήκουν σε άλλους ομίλους. Αν οι μαθητές της Α΄ και Β΄ τάξης που είναι στους τρεις αυτούς ομίλους είναι μόνο σε ένα όμιλο, εκτός από \displaystyle{8} μαθητές που είναι και στο χορευτικό και στον μουσικό όμιλο, να βρείτε:

(α) τον αριθμό των μαθητών της Α΄ και Β΄ τάξης του Γυμνασίου

(β) τον αριθμό των μαθητών της Α΄ και Β΄ τάξης που είναι στον αθλητικό όμιλο


Καλησπέρα.

a)Έστω x όλοι οι μαθητές.

\dfrac{1x}{4}+\dfrac{1x}{5} + \dfrac{1x}{3} + 60 - 8 = x

Άρα

x=240

b)
Οι μαθητές που είναι στον αθλητικό σύλλογο είναι\dfrac{240}{3}=80 μαθητές.

Φιλικά
Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Τετ Νοέμ 18, 2015 9:00 am

Παρουσιάζω μόνο τα προβλήματα 1 και 3, αφού τα προβλήματα 2 και 4 ήταν κοινά με την Α' Γυμνασίου.

Β' Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

Δίνονται οι παραστάσεις \displaystyle{A=\dfrac{2x-\left(\frac{5}{3}\right)^4\cdot3^4+5^4}{\left[1-\left(-1\right)^{2015}\right]^3}} και \displaystyle{B=\dfrac{3\cdot\left[\left(-2\right)^3+\left(-3\right)^2\right]^{12}}{5^2-4^2}+\dfrac{x-2}{3}}.
Αν \displaystyle{A=B}, να προσδιορίσετε την τιμή του \displaystyle{x}.

Πρόβλημα 3

Σε τετράγωνο \displaystyle{AB\Gamma\Delta}, το σημείο \displaystyle{E} βρίσκεται πάνω στην πλευρά \displaystyle{A\Delta} και το σημείο \displaystyle{Z} βρίσκεται στην πλευρά \displaystyle{B\Gamma} έτσι, ώστε \displaystyle{BE=EZ=Z\Delta=30 cm}. Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραγώνου \displaystyle{AB\Gamma\Delta}.


Σωτήρης Λοϊζιάς
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 18, 2015 11:27 am

Soteris έγραψε:Παρουσιάζω μόνο τα προβλήματα 1 και 3, αφού τα προβλήματα 2 και 4 ήταν κοινά με την Α' Γυμνασίου.

Β' Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

Δίνονται οι παραστάσεις \displaystyle{A=\dfrac{2x-\left(\frac{5}{3}\right)^4\cdot3^4+5^4}{\left[1-\left(-1\right)^{2015}\right]^3}} και \displaystyle{B=\dfrac{3\cdot\left[\left(-2\right)^3+\left(-3\right)^2\right]^{12}}{5^2-4^2}+\dfrac{x-2}{3}}.
Αν \displaystyle{A=B}, να προσδιορίσετε την τιμή του \displaystyle{x}.
Καλημέρα.

\displaystyle{A = \frac{{2x - \frac{{{5^4}}}{{{3^4}}} \cdot {3^4} + {5^4}}}{{{{[1 - ( - 1)]}^3}}} = \frac{{2x}}{{{2^3}}} = \frac{{2x}}{8} = \frac{x}{4}}

\displaystyle{B = \frac{{3{{( - 8 + 9)}^{12}}}}{{25 - 16}} + \frac{{x - 2}}{3} = \frac{{3 \cdot {1^{12}}}}{9} + \frac{{x - 2}}{3} = \frac{1}{3} + \frac{{x - 2}}{3} = \frac{{x - 1}}{3}}

\displaystyle{A = B \Leftrightarrow \frac{x}{4} = \frac{{x - 1}}{3} \Leftrightarrow 4x - 4 = 3x \Leftrightarrow } \boxed{x=4}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 18, 2015 11:52 am

Soteris έγραψε:Παρουσιάζω μόνο τα προβλήματα 1 και 3, αφού τα προβλήματα 2 και 4 ήταν κοινά με την Α' Γυμνασίου.

Β' Γυμνασίου

Πρόβλημα 3

Σε τετράγωνο \displaystyle{AB\Gamma\Delta}, το σημείο \displaystyle{E} βρίσκεται πάνω στην πλευρά \displaystyle{A\Delta} και το σημείο \displaystyle{Z} βρίσκεται στην πλευρά \displaystyle{B\Gamma} έτσι, ώστε \displaystyle{BE=EZ=Z\Delta=30 cm}. Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραγώνου \displaystyle{AB\Gamma\Delta}.
Κύπρος Γυμνάσιο.png
Κύπρος Γυμνάσιο.png (8.12 KiB) Προβλήθηκε 758 φορές
Φέρνω τις ZH, EK κάθετες στην A\Delta (H σημείο της A\Delta και K σημείο της B\Gamma.) Σχηματίζονται έτσι τρία ορθογώνια που έχουν μία βάση ίση με την πλευρά a του τετραγώνου και ίσες διαγώνιες. Άρα τα ορθογώνια θα έχουν και την άλλη βάση ίση με \displaystyle{\frac{a}{3}}.

Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο AEB:
\displaystyle{B{E^2} = A{B^2} + A{E^2} \Leftrightarrow {30^2} = {a^2} + {\left( {\frac{a}{3}} \right)^2} \Leftrightarrow 900 = {a^2} + \frac{{{a^2}}}{9} \Leftrightarrow }

\displaystyle{8100 = 10{a^2} \Leftrightarrow {a^2} = 810 \Leftrightarrow } \boxed{(AB\Gamma\Delta)=810cm^2}


Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Τετ Νοέμ 18, 2015 12:13 pm

Το πρόβλημα 2 της Γ' Γυμνασίου ήταν το ίδιο με το πρόβλημα 3 της Β' Γυμνασίου.

Γ' Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

(α) Να αποδείξετε την ταυτότητα: \displaystyle{\left(\alpha+\beta\right)^2-\left(\alpha-\beta\right)^2=4\alpha\beta}

(β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: \displaystyle{\left(\dfrac{154}{153}+\dfrac{153}{154}\right)^2-\left(\dfrac{153}{154}-\dfrac{154}{153}\right)^2}

(γ) Να βρείτε το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού: \displaystyle{\left(\dfrac{5^{2009}+2^{2008}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{5^{2009}-2^{2008}}{2}\right)^2}

Πρόβλημα 3

Ένα Γυμνάσιο θα διοργανώσει φεστιβάλ χορού στα πλαίσια λειτουργίας των ομίλων. Στο φεστιβάλ χορού θα συμμετέχει το \displaystyle{60\%} του αριθμού των αγοριών και το \displaystyle{90\%} του αριθμού των κοριτσιών του σχολείου. Τα αγόρια που θα συμμετέχουν αν σχηματίσουν τριάδες δεν περισσεύει κανείς, ενώ αν σχηματίσουν πεντάδες ή επτάδες τότε και στις δύο περιπτώσεις περισσεύουν τρία αγόρια. Όλα τα αγόρια του Γυμνασίου είναι περισσότερα από \displaystyle{100} και λιγότερα από \displaystyle{200}. Αν το \displaystyle{90\%} των κοριτσιών είναι αριθμός διπλάσιος από τον αριθμό που αντιστοιχεί στο \displaystyle{60\%} των αγοριών, να βρείτε τον αριθμό των μαθητών του Γυμνασίου.

Πρόβλημα 4

Έστω \displaystyle{x} και \displaystyle{y} θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Να βρείτε το άθροισμα όλων των τιμών του \displaystyle{x}, που ικανοποιούν τη σχέση: \displaystyle{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{7}}


Σωτήρης Λοϊζιάς
papamixalis
Δημοσιεύσεις: 194
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 13, 2015 3:38 pm

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papamixalis » Τετ Νοέμ 18, 2015 3:06 pm

Γ' Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

(α) Να αποδείξετε την ταυτότητα: \displaystyle{\left(\alpha+\beta\right)^2-\left(\alpha-\beta\right)^2=4\alpha\beta}

(β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: \displaystyle{\left(\dfrac{154}{153}+\dfrac{153}{154}\right)^2-\left(\dfrac{153}{154}-\dfrac{154}{153}\right)^2}

(γ) Να βρείτε το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού: \displaystyle{\left(\dfrac{5^{2009}+2^{2008}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{5^{2009}-2^{2008}}{2}\right)^2}


Καλησπέρα

a) a^2+2ab+b^2 -a^2+2ab-b^2=4ab

b)a=\dfrac{154}{153}

b=\dfrac{153}{154}

A=(\dfrac{154}{153}+\dfrac{153}{154})^2 -(\dfrac{154}{153}-\dfrac{153}{154})^2

A=4\cdot \dfrac{154}{153} \cdot \dfrac{153}{154}=4

c)B=4\cdot \dfrac{5^{2009}}{2} \cdot \dfrac{2^{2008}}{2}=5 \cdot (5\cdot 2)^{2008}=5\cdot 10^{2008}


Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού είναι 5

Φιλικά
Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1664
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Νοέμ 18, 2015 5:07 pm

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 2

Στο πιο κάτω σχήμα, δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{AB\Gamma} με \displaystyle{\Delta} και \displaystyle{E} τα μέσα των πλευρών \displaystyle{A\Gamma} και \displaystyle{B\Gamma}, αντίστοιχα. Αν το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας είναι \displaystyle{6 cm^2}, να βρείτε το εμβαδόν της μη σκιασμένης επιφάνειας.
Μπορεί κάποιος να παραπέμψει στην επίσημη λύση;


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
papamixalis
Δημοσιεύσεις: 194
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 13, 2015 3:38 pm

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papamixalis » Τετ Νοέμ 18, 2015 5:17 pm

Πρόβλημα 3

Ένα Γυμνάσιο θα διοργανώσει φεστιβάλ χορού στα πλαίσια λειτουργίας των ομίλων. Στο φεστιβάλ χορού θα συμμετέχει το \displaystyle{60\%} του αριθμού των αγοριών και το \displaystyle{90\%} του αριθμού των κοριτσιών του σχολείου. Τα αγόρια που θα συμμετέχουν αν σχηματίσουν τριάδες δεν περισσεύει κανείς, ενώ αν σχηματίσουν πεντάδες ή επτάδες τότε και στις δύο περιπτώσεις περισσεύουν τρία αγόρια. Όλα τα αγόρια του Γυμνασίου είναι περισσότερα από \displaystyle{100} και λιγότερα από \displaystyle{200}. Αν το \displaystyle{90\%} των κοριτσιών είναι αριθμός διπλάσιος από τον αριθμό που αντιστοιχεί στο \displaystyle{60\%} των αγοριών, να βρείτε τον αριθμό των μαθητών του Γυμνασίου.

Καλησπέρα :logo:

Έστω χ τα αγόρια και y τα κορίτσια.

100<x<200 \Leftrightarrow 60<0,6x<120

Παίρνω με την σειρά τους αριθμούς από το 60 ως το 120 οι οποίοι όταν διαιρούνται με το 5 και το 7 αφήνουν υπόλοιπο 3

Για το 5 είναι:

63,68,73,78,83,88,93,98,103,108,113,118

Για το 7 είναι:

73,80,87,94,101,108,115

Ο κοινός αριθμός είναι το 108 ο οποίος διαιρείται με το 3 άρα ικανοποιεί τα δεδομένα.

0,6x=108 \Leftrightarrow x=180

Αφού 0,9y=2\cdot 0,6 x \Leftrightarrow y=240

Άρα οι μαθητές είναι

x+y=420

Φιλικά
Μιχάλης


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Νοέμ 18, 2015 5:37 pm

Christos.N έγραψε:
Soteris έγραψε: Πρόβλημα 2Στο πιο κάτω σχήμα, δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{AB\Gamma} με \displaystyle{\Delta} και \displaystyle{E} τα μέσα των πλευρών \displaystyle{A\Gamma} και \displaystyle{B\Gamma}, αντίστοιχα. Αν το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας είναι \displaystyle{6 cm^2}, να βρείτε το εμβαδόν της μη σκιασμένης επιφάνειας.
Μπορεί κάποιος να παραπέμψει στην επίσημη λύση;

Google is your friend!
http://www.cms.org.cy/index.php?id=756


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1664
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου 2015 (Κύπρο

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Νοέμ 18, 2015 5:45 pm

socrates έγραψε: Google is your friend!
http://www.cms.org.cy/index.php?id=756
Yes in deed .....thank you my dear friend.

Γίνεται χρήση μόνο της γνώσης της διαμέσου, αν και στο συγκεκριμένο είναι δυνατόν μια βοηθητική γραμη να χωρίσει το τρίγωνο σε τέσσερα ίσα μέρη, για πιο διαισθητική προσέγγιση.

όπου βλέπεται γραμή είναι η γνωστή γραμμή.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης