1-περιοδική

Καραδήμας · #1

Μας δίνουν την

1-περιοδική και ολοκληρώσιμη στο [0,1]

. Για

οποιοδήποτε ρωτάμε αν υπάρχει το $\displaystyle{\lim_{n\to\infty }\frac{1}{2^n}\sum_{k=1}^{2^n}f(x+k2^{-n}).}$ Το ίδιο ερώτημα για το $\displaystyle{\lim_{n\to\infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(x+k/n).}$

#2

Καραδήμας έγραψε:Μας δίνουν την 1-περιοδική και ολοκληρώσιμη στο . Για οποιοδήποτε ρωτάμε αν υπάρχει το $\displaystyle{\lim_{n\to\infty }\frac{1}{2^n}\sum_{k=1}^{2^n}f(x+k2^{-n}).}$ Το ίδιο ερώτημα για το $\displaystyle{\lim_{n\to\infty } \frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(x+k/n).}$

Πάντως και οι δύο παραστάσεις είναι αθροίσματα Riemann του $\int_x^{x+1} f(t)dt$ που λόγω περιοδικότητας ισούται με το $\int_0^{1} f(t)dt$ . Το τελευταίο είναι η ζητούμενη απάντηση.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Καραδήμας · #3

Είναι όμως τόσο απλά τα πράγματα? Δεν υποθέτουμε συνέχεια της

.

#4

Καραδήμας έγραψε: Είναι όμως τόσο απλά τα πράγματα? Δεν υποθέτουμε συνέχεια της .

Χρησιμοποίησα ολοκληρωσιμότητα.
Μήπως παρανόησα κάτι και δεν το βλέπω;

Φιλικά,

Μιχάλης

Καραδήμας · #5

Δικό μου σφάλμα: Lebesgue ολοκληρώσιμη (να το γράφω). Διαβάζω ότι τα δύο ερωτήματα έχουν διαφορετική απάντηση, με τη διαμέριση μήκους 1/2^n

ισχύει το $\int_0^1f(t)dt$ για σχεδόν όλα τα

, με την άλλη όμως μπορεί το $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(x+k/n)$ να φέρεται παράξενα. Και για τα δυό ενδιαφέρομαι εξίσου.

1-περιοδική

1-περιοδική

Re: 1-περιοδική

Re: 1-περιοδική

Re: 1-περιοδική

Re: 1-περιοδική

Μέλη σε σύνδεση