Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Christos.N · #1

Προτείνω σε αυτήν την δημοσίευση να ξεκινήσουμε μία σειρά από ερωτήσεις που θα επιδέχονται σύντομη απάντηση με δικαιολόγηση. Δηλαδή ερωτήσεις που βρίσκονται στο πνεύμα των ερωτήσεων τύπου Σωστού Λάθους και για να απαντηθούν απαιτείται μια σύντομη δικαιολόγηση κάνοντας εφαρμογή μιας στοιχειώδους θεωρίας. Ας είναι όσο γίνεται (κατά το εφικτό) πιο μαζεμένες στην διατύπωση τους.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Christos.N · #2

Ερώτηση 1

Αν η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)}$ τότε το σύνολο τιμών της θα είναι το διάστημα $\displaystyle{\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)} \right)}$ .

Christos.N · #3

Ερώτηση 2

Αν η γραφική παράσταση $\displaystyle{{C_f}}$ διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle{A\left( {1,2} \right)\,\,,\,\,B\left( {\sqrt \pi ,e} \right)}$ και η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη τότε θα είναι γνησίως φθίνουσα.

papamixalis · #4

Christos.N έγραψε:Ερώτηση 1

Αν η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)}$ τότε το σύνολο τιμών της θα είναι το διάστημα $\displaystyle{\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)} \right)}$ .

Καλησπέρα και ... χρόνια πολλά

Λάθος αφού δεν ξέρουμε αν η

είναι συνεχής.

Φιλικά
Μιχάλης

papamixalis · #5

Christos.N έγραψε:Ερώτηση 2

Αν η γραφική παράσταση $\displaystyle{{C_f}}$ διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle{A\left( {1,2} \right)\,\,,\,\,B\left( {\sqrt \pi ,e} \right)}$ και η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη τότε θα είναι γνησίως φθίνουσα.

$1<\sqrt{\pi}$

f(1)=2

$f(\sqrt{\pi})=e$

$f(1)<f(\sqrt{\pi})$

Αφού η

είναι γνησίως μονότονη και ισχύει

a<b

Η συνάρτηση θα είναι γνησίως αύξουσα.
Άρα η απάντηση είναι λάθος.

Φιλικά
Μιχάλης

M.S.Vovos · #6

Ένα μεγάλο ευχαριστώ, στον κ. Χρήστο, για αυτή του τη προσπάθεια!

Δε ξέρω αν η ερώτηση που θέτω ανήκει στο φάκελο, πάντω είναι θεωρίας.

Ερώτηση 3

Για κάθε μη σταθερή συνάρτηση

, ορισμένη σ' ένα διάστημα $\Delta$ , ισχύει $f'(x)\neq 0,\forall x\in \Delta$ .

Φιλικά,
Μάριος

#7

M.S.Vovos έγραψε:Ένα μεγάλο ευχαριστώ, στον κ. Χρήστο, για αυτή του τη προσπάθεια!

Δε ξέρω αν η ερώτηση που θέτω ανήκει στο φάκελο, πάντω είναι θεωρίας.

Ερώτηση 3

Για κάθε μη σταθερή συνάρτηση , ορισμένη σ' ένα διάστημα $\Delta$ , ισχύει $f'(x)\neq 0,\forall x\in \Delta$ .

Φιλικά,
Μάριος

Λάθος!
Υπάρχουν πολλά αντιπαραδείγματα, αλλά διαλέγω τη συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \eta \mu x}$ , που δε είναι σταθερή και η παράγωγός της μηδενἰζεται σε άπειρα σημεία.

Εύχομαι Χρόνια Πολλά στον Χρήστο!

Christos.N · #8

Ερώτηση 4

Αν η συνάρτηση $\displaystyle{h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{{x_0}}$ και η $\displaystyle{g}$ δεν είναι συνεχής στο $\displaystyle{{x_0}}$ τότε και η $\displaystyle{f}$ δεν είναι συνεχής στο $\displaystyle{{x_0}}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#9

Ερώτηση 5.

Αν η συνάρτηση

είναι συνεχής και f(x)>0

, τότε $\displaystyle{\int_2^{\ln 7} {f(x)dx > 0} }$

Λάμπρος Μπαλός · #10

Να τα εκατοστήσει το

και μαζί του και εσύ Χρήστο. Ωραία ανάρτηση, ας μου επιτραπεί να συμμετάσχω..

Ερώτηση 6
Αν η συνεχής

είναι άρτια, η παράγουσά της,

είναι περιττή.

Ερώτηση 7
Αν η συνεχής

είναι περιττή, η παράγουσά της,

είναι άρτια.

Tolaso J Kos · #11

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Να τα εκατοστήσει το και μαζί του και εσύ Χρήστο. Ωραία ανάρτηση, ας μου επιτραπεί να συμμετάσχω..

Ερώτηση 6
Αν η συνεχής είναι άρτια, η παράγουσά της, είναι περιττή.

Ερώτηση 7
Αν η συνεχής είναι περιττή, η παράγουσά της, είναι άρτια.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Christos.N · #12

Ερώτηση 8

Αν η

είναι συνεχής στο $\left[ a,\beta \right]$ και $f\left( x \right)\ne 0$ για κάθε $x\in \left( a,\beta \right)$ τότε $f\left( \alpha \right)f\left( \beta \right)\ge 0$ .

papamixalis · #13

Christos.N έγραψε:Ερώτηση 8

Αν η είναι συνεχής στο $\left[ a,\beta \right]$ και $f\left( x \right)\ne 0$ για κάθε $x\in \left( a,\beta \right)$ τότε $f\left( \alpha \right)f\left( \beta \right)\ge 0$ .

Καλησπέρα
Σωστό

Έστω ότι δεν ίσχυε.
Τότε θα ήταν f(a)f(b)<0

Αφού η

συνεχής στο [a.b]

σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano θα υπήρχε τουλάχιστον ένα $x_{0}$ στο (a,b)

τέτοιο ώστε $f(x_{0})=0$ άτοπο.

Φιλικά
Μιχάλης

Σταμ. Γλάρος · #14

Καλησπέρα.
Ελπίζω να είμαι στο πνεύμα των ερωτήσεων...
Έστω οι συναρτήσεις f,g

για τις οποίες ισχύει: Το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}g(x)}$ δεν υπάρχει, τότε και το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\left(f(x)+g(x) \right)}$ δεν υπάρχει.
Το παραπάνω συμβαίνει αν και μόνο αν το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}f(x)}$ υπάρχει.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

alexandrosvets · #15

Σταμ. Γλάρος έγραψε:Καλησπέρα.
Ελπίζω να είμαι στο πνεύμα των ερωτήσεων...
Έστω οι συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει: Το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}g(x)}$ δεν υπάρχει, τότε και το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\left(f(x)+g(x) \right)}$ δεν υπάρχει.
Το παραπάνω συμβαίνει αν και μόνο αν το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}f(x)}$ υπάρχει.
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Είναι η άσκηση 22 της σελίδας 87 του βιβλίου "Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός " του Michael Spivak από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο 2007.
Έχει και υπόδειξη: εις άτοπο απαγωγή με θεώρηση κατάλληλης .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Ας θέσουμε όπου x=1/y

.Τότε οι συναρτήσεις τείνουν στο άπειρο.Αν οι συναρτήσεις είναι οι
f(x)=sin^2(x)

και

τα όριά τους δεν υπάρχουν αλλά το άθροισμά τους υπάρχει και κάνει 1.

Αν κάνω κάποιο λάθος,συγγνώμη.

#16

alexandrosvets έγραψε: Ας θέσουμε όπου .Τότε οι συναρτήσεις τείνουν στο άπειρο.Αν οι συναρτήσεις είναι οι
και τα όριά τους δεν υπάρχουν αλλά το άθροισμά τους υπάρχει και κάνει 1.

Αν κάνω κάποιο λάθος,συγγνώμη.

Αλέξανδρε, απαντάς σε άλλη ερώτηση, όχι αυτή που τέθηκε.

Πρώτα από όλα η τεθείσα εμπεριέχει δύο ερωτήσεις, το $\displaystyle { \Rightarrow }$ και το $\displaystyle { \Leftarrow }$ ενώ απαντάς σε μία (βλέπε το κοκκινισμένο παρακάτω). Δεύτερο και κυριότερο, απαντάς με αντιπαράδειγμα. Αυτό θα ήταν σωστό αν πήγαινες να καταρρίψεις το ζητούμενο. Όμως το ζητούμενο ΕΙΝΑΙ σωστό.

Ας δούμε λύση. Υπόψη, όπως λέει και το Σταμ. Γλάρος, η άσκηση είναι από τον Spivak (και προσθέτω ότι έχω κάνει την επιμέλεια της ελληνικής έκδοσης).

Η δυσκολία της άσκησης είναι να κατανοήσουμε τι ακριβώς ζητάει. Από κει και πέρα είναι απλή.

Σταμ. Γλάρος έγραψε: Έστω οι συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει: Το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}g(x)}$ δεν υπάρχει, τότε και το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\left(f(x)+g(x) \right)}$ δεν υπάρχει.
Το παραπάνω συμβαίνει αν και μόνο αν το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}f(x)}$ υπάρχει.

Θα ξαναγράψω την εκφώνηση της άσκησης όπως την διατυπώνει ο ίδιος ο Spivak, και όχι με τις πρωτοβουλίες που πήρε ο Σταμ. Γλάρος στην επαναδιατύπωσή της γιατί, όπως την έγραψε, είναι κάπως προβληματική (χάνεται ένας ποσοδείκτης).

Spivak: Θεωρούμε μία συνάρτηση

με την εξής ιδιότητα: Αν

είναι μία συνάρτηση για την οποία το $\lim g$ δεν υπάρχει (τα όρια είναι στο

), τότε και το όριο $\lim (f+g)$ δεν υπάρχει. Δείξτε ότι αυτό συμβαίνει αν και μόνον αν το $\lim f$ υπάρχει.

Θα είμαι λίγο αναλυτικός.

Ας διευκρινίσω, για να γίνουν κατανοητά αυτά που σημείωσα με μπλε χρώμα παραπάνω, ότι για μία δεδομένη

έχουμε να αποδείξουμε ότι

$[ (\lim g \, \nexists )\Rightarrow ( \lim (f+g) \, \nexists )] {\color {red} \Leftrightarrow } (\lim f \, \exists)$ .

Απόδειξη του $\displaystyle {\color {red} \Leftarrow }$

H υπόθεση είναι $(\lim f \, \exists) \, (*)$ και θέλουμε να δείξουμε την συνεπαγωγή $[ (\lim g \, \nexists )\Rightarrow (\lim (f+g) \, \nexists ) ]$ . Έστω λοιπόν

μία οποιαδήποτε συνάρτηση για την οποία το $(\lim g \, \nexists )\ (**)$ . Πρέπει να συνάγουμε ότι $\lim (f+g) \, \nexists ]$ . Αυτό όμως είναι απλό γιατί αν το όριο $\lim (f+g)$ υπήρχε, τότε από την (*)

θα υπήρχε και το $[ \lim g = \lim [(f+g)-f]$ , που αντιβαίνει στην (**)

. Άτοπο, οπότε τελικά $\lim (f+g) \, \nexists$ .

Απόδειξη του $\displaystyle {\color {red} \Rightarrow }$

H υπόθεση είναι $[ (\lim g \, \nexists )\Rightarrow (\lim (f+g) \, \nexists ) ]$ . Δηλαδή για οποιαδήποτε

με ιδιότητα $(\lim g \, \nexists )\, (*)$ έχουμε εξ υποθέσεως ότι $\lim (f+g) \, \nexists \, (**)$ . Θέλουμε να δείξουμε ότι για την δεδομένη

το όριο $\lim f$ υπάρχει. Προς τούτο, έστω αντίθετα ότι το $\lim f$ δεν υπάρχει. Επιλέγουμε g=-f

, οπότε αυτόματα ισχύει (*)

. Παρατηρούμε όμως ότι τότε το $\lim (f+g) = \lim 0$ υπάρχει, πράγμα που αντιβαίνει στην (**)

. Οπότε τελικά το όριο $\lim f$ υπάρχει.

Αυτά ολοκληρώνουν τα δύο σκέλη της άσκησης.

Φιλικά,

Μιχάλης

alexandrosvets · #17

Mihalis_Lambrou έγραψε:
alexandrosvets έγραψε: Ας θέσουμε όπου .Τότε οι συναρτήσεις τείνουν στο άπειρο.Αν οι συναρτήσεις είναι οι
και τα όριά τους δεν υπάρχουν αλλά το άθροισμά τους υπάρχει και κάνει 1.

Αν κάνω κάποιο λάθος,συγγνώμη.
Αλέξανδρε, απαντάς σε άλλη ερώτηση, όχι αυτή που τέθηκε.

Πρώτα από όλα η τεθείσα εμπεριέχει δύο ερωτήσεις, το $\displaystyle { \Rightarrow }$ και το $\displaystyle { \Leftarrow }$ ενώ απαντάς σε μία (βλέπε το κοκκινισμένο παρακάτω). Δεύτερο και κυριότερο, απαντάς με αντιπαράδειγμα. Αυτό θα ήταν σωστό αν πήγαινες να καταρρίψεις το ζητούμενο. Όμως το ζητούμενο ΕΙΝΑΙ σωστό.

Ας δούμε λύση. Υπόψη, όπως λέει και το Σταμ. Γλάρος, η άσκηση είναι από τον Spivak (και προσθέτω ότι έχω κάνει την επιμέλεια της ελληνικής έκδοσης).

Η δυσκολία της άσκησης είναι να κατανοήσουμε τι ακριβώς ζητάει. Από κει και πέρα είναι απλή.

Σταμ. Γλάρος έγραψε: Έστω οι συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει: Το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}g(x)}$ δεν υπάρχει, τότε και το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\left(f(x)+g(x) \right)}$ δεν υπάρχει.
Το παραπάνω συμβαίνει αν και μόνο αν το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}f(x)}$ υπάρχει.
Θα ξαναγράψω την εκφώνηση της άσκησης όπως την διατυπώνει ο ίδιος ο Spivak, και όχι με τις πρωτοβουλίες που πήρε ο Σταμ. Γλάρος στην επαναδιατύπωσή της γιατί, όπως την έγραψε, είναι κάπως προβληματική (χάνεται ένας ποσοδείκτης).

Spivak: Θεωρούμε μία συνάρτηση με την εξής ιδιότητα: Αν είναι μία συνάρτηση για την οποία το $\lim g$ δεν υπάρχει (τα όρια είναι στο ), τότε και το όριο $\lim (f+g)$ δεν υπάρχει. Δείξτε ότι αυτό συμβαίνει αν και μόνον αν το $\lim f$ υπάρχει.

Θα είμαι λίγο αναλυτικός.

Ας διευκρινίσω, για να γίνουν κατανοητά αυτά που σημείωσα με μπλε χρώμα παραπάνω, ότι για μία δεδομένη έχουμε να αποδείξουμε ότι

$[ (\lim g \, \nexists )\Rightarrow ( \lim (f+g) \, \nexists )] {\color {red} \Leftrightarrow } (\lim f \, \exists)$ .

Απόδειξη του $\displaystyle {\color {red} \Leftarrow }$

H υπόθεση είναι $(\lim f \, \exists) \, (*)$ και θέλουμε να δείξουμε την συνεπαγωγή $[ (\lim g \, \nexists )\Rightarrow (\lim (f+g) \, \nexists ) ]$ . Έστω λοιπόν μία οποιαδήποτε συνάρτηση για την οποία το $(\lim g \, \nexists )\ (**)$ . Πρέπει να συνάγουμε ότι $\lim (f+g) \, \nexists ]$ . Αυτό όμως είναι απλό γιατί αν το όριο $\lim (f+g)$ υπήρχε, τότε από την θα υπήρχε και το $[ \lim g = \lim [(f+g)-f]$ , που αντιβαίνει στην . Άτοπο, οπότε τελικά $\lim (f+g) \, \nexists$ .

Απόδειξη του $\displaystyle {\color {red} \Rightarrow }$

H υπόθεση είναι $[ (\lim g \, \nexists )\Rightarrow (\lim (f+g) \, \nexists ) ]$ . Δηλαδή για οποιαδήποτε με ιδιότητα $(\lim g \, \nexists )\, (*)$ έχουμε εξ υποθέσεως ότι $\lim (f+g) \, \nexists \, (**)$ . Θέλουμε να δείξουμε ότι για την δεδομένη το όριο $\lim f$ υπάρχει. Προς τούτο, έστω αντίθετα ότι το $\lim f$ δεν υπάρχει. Επιλέγουμε , οπότε αυτόματα ισχύει . Παρατηρούμε όμως ότι τότε το $\lim (f+g) = \lim 0$ υπάρχει, πράγμα που αντιβαίνει στην . Οπότε τελικά το όριο $\lim f$ υπάρχει.

Αυτά ολοκληρώνουν τα δύο σκέλη της άσκησης.

Φιλικά,

Μιχάλης

Σας ευχαριστώ πολύ κύριε Λάμπρου για την διόρθωση και την πλήρη αποσαφήνιση του ερωτήματος.Αρκούν τέτοια πραδείγματα ώστε να είναι κανείς πιο προσεκτικός.
Με εκτίμηση ,
Αλέξανδρος.

Rempeskes · #18

Ένα ωραίο ερώτημα για Σ-Λ κατ'εμέ.

Έστω συνάρτηση

που παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x=k

.Τότε η

αλλάζει μονοτονία εκατέρωθεν του

.

#19

Rempeskes έγραψε:Ένα ωραίο ερώτημα για Σ-Λ κατ'εμέ.

Έστω συνάρτηση που παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο .Τότε η αλλάζει μονοτονία εκατέρωθεν του .

Λάθος!

Π.χ. Η

$\displaystyle{f(x)=\begin{cases}0,~if~ x\geq 0, \\ 1,~if ~x<0\end{cases}}$

παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο σε κάθε $\displaystyle{x\geq 0.}$

Εντούτοις, δεν αλλάζει η μονοτονία εκατέρωθεν του εκάστοτε $\displaystyle{x.}$

Christos.N · #20

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ με $\displaystyle{f(0) = 0}$ . Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {f(x) + 1} - 1}}{{\sqrt {1 - f(x)} - 1}}}$ .

Ένα μαθητής έδωσε την παρακάτω λύση:

Αφού η συνάρτηση είναι συνεχής άρα $\displaystyle{f(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 0}$

Θα κάνουμε αλλαγή μεταβλητής, άρα $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {f(x) + 1} - 1}}{{\sqrt {1 - f(x)} - 1}}\mathop = \limits^{f(x) = y} \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\sqrt {y + 1} - 1}}{{\sqrt {1 - y} - 1}}}$

Στο τελευταίο όριο έχουμε απροσδιοριστία $\displaystyle{\frac{0}{0}}$ και οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες, έτσι θα εφαρμόσουμε τον κανόνα De L' Hospital,άρα : $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\sqrt {y + 1} - 1}}{{\sqrt {1 - y} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\frac{1}{{2\sqrt {y + 1} }}}}{{ - \frac{1}{{2\sqrt {1 - y} }}}} = - 1}$

Εντοπίζεται λάθος στην παραπάνω λύση και αν ναι που;

Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Re: Ερωτήσεις σύντομης απάντησης

Μέλη σε σύνδεση