Συναρτησιακή στους φυσικούς

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις 1-1 συναρτήσεις $f:\mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{N}_0$ τέτοιες ώστε $2f(f(n)) \leq n + f(n),$ για κάθε $n \in \mathbb{N}_0$

#2

Αν $\displaystyle{f(n)<n \forall n\in N}$ τότε επειδή τα $\displaystyle{f(1),...,f(n)}$ είναι διαφορετικοί μεταξύ τους θετικοί ακέραιοι , λόγω του 1-1 κάποιος από αυτούς θα έπρεπε να είναι $\displaystyle{\ge n}$ άτοπο
Άρα $\displaystyle{f(n)\ge n\forall n\in N}$ διοτι δεχτήκαμε αρχικά ότι δεν υπάρχει $\displaystyle{n_0:f(n_0)\ge n_0 }$
οπότε $\displaystyle{(n+f(n))/2\le f(n)}$ δηλαδή $\displaystyle{f(f(n))\le f(n), \forall n\in N}$
αν δεν ισχύει το ίσον τοτε θετοντας $\displaystyle{f(n)=m}$ προκύπτει $\displaystyle{f(m)<m}$ που ειδαμε οτι είναι ατοπο

Κοτσόβολης Γιώργος · #3

Άρα $\displaystyle{f(n)\ge n\forall n\in N}$ διοτι δεχτήκαμε αρχικά ότι δεν υπάρχει $\displaystyle{n_0:f(n_0)\ge n_0 }$

Γιατί από το γεγονός πως η υπόθεση πως f(x)< n

ισχύει για κάθε

καταλήγει σε άτοπο παίρνουμε πως $f(x)\geq n$ για όλα τα

;

#4

Ισχυρισμός: Για κάθε φυσικό αριθμό

είναι $\displaystyle{f\left( n \right) \ge n.}$

Απόδειξη του Ισχυρισμού: Με απαγωγή σε άτοπο: Έστω ότι υπάρχει φυσικός αριθμός

τέτοιος, ώστε $\displaystyle{f\left( m \right) < m.}$ Τότε, από τη δοσμένη σχέση έχουμε ότι

$\displaystyle{2f\left( {f\left( m \right)} \right) \le m + f\left( m \right) < 2m \Rightarrow f\left( {f\left( m \right)} \right) < m,}$

$\displaystyle{2f\left( {f\left( {f\left( m \right)} \right)} \right) \le f\left( m \right) + f\left( {f\left( m \right)} \right) < 2m \Rightarrow f\left( {f\left( {f\left( m \right)} \right)} \right) < m,}$

οπότε επαγωγικά προκύπτει ότι, αν θέσουμε $\displaystyle{{f^{\left( k \right)}}: = \underbrace {f \circ f \circ \cdots \circ f}_k,}$ τότε $\displaystyle{{f^{\left( k \right)}}\left( m \right) < m}$ για κάθε θετικό ακέραιο

.

Άρα, το σύνολο $\displaystyle{\left\{ {{f^{\left( k \right)}}\left( m \right):k = 1,2, \ldots } \right\} \subset \left\{ {1,2, \ldots ,m} \right\}}$ είναι πεπερασμένο, οπότε υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{k < \ell }$ τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{{f^{\left( k \right)}}\left( m \right) = {f^{\left( \ell \right)}}\left( m \right).}$ Επειδή, όμως, η

είναι 1-1, θα είναι $\displaystyle{{f^{\left( {\ell - k} \right)}}\left( m \right) = m,}$ πράγμα άτοπο. Έτσι, ο Ισχυρισμός δείχθηκε.

Από τον Ισχυρισμό έχουμε τώρα ότι για κάθε φυσικό αριθμό

ισχύει

$\displaystyle{f\left( {f\left( n \right)} \right) \ge f\left( n \right) \ge n,}$

οπότε

$\displaystyle{n + f\left( n \right) \le 2f\left( {f\left( n \right)} \right) \le n + f\left( n \right).}$

Iσχύει, λοιπόν, παντού η ισότητα, οπότε $\displaystyle{\boxed{f\left( n \right) = n}}$ για κάθε φυσικό αριθμό

, συνάρτηση που προφανώς ικανοποιεί τη δοσμένη σχέση.

#5

Συναρτησιακή στους φυσικούς

Συναρτησιακή στους φυσικούς

Re: Συναρτησιακή στους φυσικούς

Re: Συναρτησιακή στους φυσικούς

Re: Συναρτησιακή στους φυσικούς

Re: Συναρτησιακή στους φυσικούς

Μέλη σε σύνδεση