Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

#61

papamixalis έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 28: Αν $\displaystyle{x , y , z}$ είναι φυσικοί αριθμοί, να βρείτε όλες τις τριάδες $\displaystyle{(x , y ,z)}$ , που επαληθεύουν την εξίσωση:

$\displaystyle{x(3x+y)+z(3x+y)=14}$
Καλημέρα

Ονομάζω

φυσικοί.
Όλες οι πιθανές περιπτώσεις είναι

Αντικαθιστώντας βρίσκω τις διάφορες τιμές των λύνω την τελευταία ενδεικτικά.

και

Άρα από την πρώτη σχέση θα είναι 4 περιπτώσεις

Όμως θα πρέπει και
Αφού οι αριθμοί είναι φυσικοί κρατάμε μόνο την πρώτη περίπτωση και άρα

Άρα όλα τα πιθανά ζεύγη είναι

Φιλικά
Μιχάλης

Σωστά Μιχάλη. Να προσθέσω μόνο ότι υπάρχουν και δύο ακόμα τριάδες (διατεταγμένες): $\displaystyle{(0,14,1)}$ και $\displaystyle{(0,7,2)}$

papamixalis · #62

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
papamixalis έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 28: Αν $\displaystyle{x , y , z}$ είναι φυσικοί αριθμοί, να βρείτε όλες τις τριάδες $\displaystyle{(x , y ,z)}$ , που επαληθεύουν την εξίσωση:

$\displaystyle{x(3x+y)+z(3x+y)=14}$
Καλημέρα

Ονομάζω

φυσικοί.
Όλες οι πιθανές περιπτώσεις είναι

Αντικαθιστώντας βρίσκω τις διάφορες τιμές των λύνω την τελευταία ενδεικτικά.

και

Άρα από την πρώτη σχέση θα είναι 4 περιπτώσεις

Όμως θα πρέπει και
Αφού οι αριθμοί είναι φυσικοί κρατάμε μόνο την πρώτη περίπτωση και άρα

Άρα όλα τα πιθανά ζεύγη είναι

Φιλικά
Μιχάλης
Σωστά Μιχάλη. Να προσθέσω μόνο ότι υπάρχουν και δύο ακόμα τριάδες (διατεταγμένες): $\displaystyle{(0,14,1)}$ και $\displaystyle{(0,7,2)}$

Ναι μάλλον κάτι μου ξέφυγε...
Η πρώτη τριάδα προκύπτει από το a=14

και η δεύτερη για a=7

και

Ευχαριστώ για την επισήμανση.
Φιλικά
Μιχάλης

#63

ΑΣΚΗΣΗ 29: Ο Θανάσης ξόδεψε τα $\displaystyle{\frac{3}{10}}$ των χρημάτων που μάζεψε από τα κάλαντα για να αγοράσει ένα ζευγάρι παπούτσια , και

ύστερα δώρησε $\displaystyle{20}$ ευρώ στην μικρότερη αδελφή του. Το απόγευμα της ίδιας μέρας διέθεσε το $\displaystyle{20}$ % των χρημάτων που του απέμειναν για να αγοράσει

Χριστουγεννιάτικα στολίδια. Αν τελικά του έμειναν $\displaystyle{124}$ ευρώ, πόσα χρήματα είχε μαζέψει λέγοντας τα κάλαντα;

ΣΗΜ: Ύστερα από παρέμβαση του φίλου μας papamihalis , διόρθωσα τον τελευταίο αριθμό: Αντί 120

ευρώ που είχα γράψει,

θέλει 124

ευρώ.

Ένας ακόμα τρόπος να λυθεί το πρόβλημα αυτό, πέραν αυτού που μας έδωσε το μέλος μας papamihalis, είναι να ξεκινήσουμε το πρόβλημα αρχίζοντας από το

τέλος προς την αρχή. Είναι μια συνήθης μέθοδος για τέτοιου είδους προβλήματα , όπου μπορούν να λυθούν και χωρίς την χρήση εξίσωσης.

Αφήνω για τους μαθητές να το προσπαθήσουν και με αυτόν τον τρόπο.

papamixalis · #64

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 29: Ο Θανάσης ξόδεψε τα $\displaystyle{\frac{3}{10}}$ των χρημάτων που μάζεψε από τα κάλαντα για να αγοράσει ένα ζευγάρι παπούτσια , και

ύστερα δώρησε $\displaystyle{20}$ ευρώ στην μικρότερη αδελφή του. Το απόγευμα της ίδιας μέρας διέθεσε το $\displaystyle{20}$ % των χρημάτων που του απέμειναν για να αγοράσει

Χριστουγεννιάτικα στολίδια. Αν τελικά του έμειναν $\displaystyle{124}$ ευρώ, πόσα χρήματα είχε μαζέψει λέγοντας τα κάλαντα;

ΣΗΜ: Ύστερα από παρέμβαση του φίλου μας papamihalis , διόρθωσα τον τελευταίο αριθμό: Αντί ευρώ που είχα γράψει,

θέλει ευρώ.

Καλησπέρα.
Έστω

τα χρήματα που είχε αρχικά.
Ξόδεψε για αρχή 0,3x+20

δηλαδή του περίσσεψαν 0,7x-20

Αφού ξόδεψε το 0,2

του ποσού αυτού του έμεινε το υπόλοιπο 0,8

Άρα
$0,8(0,7x-20)=124 \Leftrightarrow x=250$ ευρώ.

Φιλικά
Μιχάλης

#65

ΑΣΚΗΣΗ 30: Από τους $\displaystyle{26}$ μαθητές που έχει το τμήμα $\displaystyle{A_1}$ της Α Γυμνασίου, μαζεύτηκε στο ταμείο τους το ποσόν των $\displaystyle{183}$ ευρώ.

Να αποδείξετε ότι ένας τουλάχιστον μαθητής έδωσε $\displaystyle{8}$ τουλάχιστον ευρώ για το ταμείο τους. (Υποθέτουμε ότι κάθε μαθητής δίνει μόνο ακέραιο αριθμό ευρώ)

papamixalis · #66

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 30: Από τους $\displaystyle{26}$ μαθητές που έχει το τμήμα $\displaystyle{A_1}$ της Α Γυμνασίου, μαζεύτηκε στο ταμείο τους το ποσόν των $\displaystyle{183}$ ευρώ.

Να αποδείξετε ότι ένας τουλάχιστον μαθητής έδωσε $\displaystyle{8}$ τουλάχιστον ευρώ για το ταμείο τους. (Υποθέτουμε ότι κάθε μαθητής δίνει μόνο ακέραιο αριθμό ευρώ)

Έστω ότι όλοι οι μαθητές έδωσαν από

ευρώ.
Τότε $7\cdot 26=182$

αφού θέλουμε 183

ευρώ σημαίνει ότι τουλάχιστον ένας μαθητής έδωσε

τουλάχιστον ευρώ.
Φιλικά
Μιχάλης

#67

ΑΣΚΗΣΗ 31: Ο Γιάννης , ο Αλέκος και η Κατερίνα είχαν όλοι μαζί $\displaystyle{320}$ ευρώ. Μπήκαν σε ένα βιβλιοπωλείο και αγόρασαν ένα τετράδιο ο

Γιάννης, δύο ίδια τετράδια ο Αλέκος και τρία ίδια τετράδια η Κατερίνα. Όταν βγήκαν από το βιβλιοπωλείο, ο Γιάννης έμεινε με $\displaystyle{112}$ ευρώ, ο Αλέκος με $\displaystyle{134}$

ευρώ και η Κατερίνα με $\displaystyle{59}$ ευρώ. Πόσα χρήματα είχε ο καθένας τους στην αρχή; (Δεν είναι απαραίτητο να είχαν ακέραιο αριθμό χρημάτων)

Εύα · #68

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 31: Ο Γιάννης , ο Αλέκος και η Κατερίνα είχαν όλοι μαζί $\displaystyle{320}$ ευρώ. Μπήκαν σε ένα βιβλιοπωλείο και αγόρασαν ένα τετράδιο ο

Γιάννης, δύο ίδια τετράδια ο Αλέκος και τρία ίδια τετράδια η Κατερίνα. Όταν βγήκαν από το βιβλιοπωλείο, ο Γιάννης έμεινε με $\displaystyle{112}$ ευρώ, ο Αλέκος με $\displaystyle{134}$

ευρώ και η Κατερίνα με $\displaystyle{59}$ ευρώ. Πόσα χρήματα είχε ο καθένας τους στην αρχή; (Δεν είναι απαραίτητο να είχαν ακέραιο αριθμό χρημάτων)

$\displaystyle{112+134+59=305.320-305=15}$ Άρα τα $\displaystyle{6}$ τετράδια που πήραν συνολικά όλοι μαζί κοστίζουν $\displaystyle{15}$ ευρώ.Το ένα τετράδιο κοστίζει $\displaystyle{15:6=2,5}$ Επομένως ο Γιάννης είχε αρχικά $\displaystyle{112+2,5=114,5}$ ,ο Αλέκος $\displaystyle{134+5=139}$ και η Κατερίνα $\displaystyle{59+7,5=66,5}$

#69

ΑΣΚΗΣΗ 32: Να αποδείξετε ότι ο αριθμός:

$\displaystyle{A=(100-99+98-97+ . . . +2-1):\frac{2+4+6+8+ . . . +100}{1+2+3+4+ . . . +50}}$ , είναι τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού.

Θεοδωρος Παγωνης · #70

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 32: Να αποδείξετε ότι ο αριθμός:

$\displaystyle{A=(100-99+98-97+ . . . +2-1):\frac{2+4+6+8+ . . . +100}{1+2+3+4+ . . . +50}}$ , είναι τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού.

Είναι
$\left( 100-99+98-97+...+2-1 \right):\frac{2+4+6+...+100}{1+2+3+...+50}=$ $\left( 1+1+1...+1 \right):\frac{1+1+2+2+3+3+...+50+50}{1+2+3+...+50}=$

$50:\frac{\left( 1+2+3+...+50 \right)+\left( 1+2+3+...+50 \right)}{1+2+3+...+50}=$ $50:\frac{2\left( 1+2+3+...+50 \right)}{1+2+3+...+50}=50:2=25={{5}^{2}}$

#71

ΑΣΚΗΣΗ 33: Έστω $\displaystyle{A=(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{4}). ... (1+\frac{1}{49})}$ και $\displaystyle{B=\frac{1+2+3+4+ ... +100}{1^2 +2^2 +3^2 +4^2 +5^2 +6^2}:2}$ .

Να συγκρίνετε τους αριθμούς $\displaystyle{A ,B}$

papamixalis · #72

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 33: Έστω $\displaystyle{A=(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{4}). ... (1+\frac{1}{49})}$ και $\displaystyle{B=\frac{1+2+3+4+ ... +100}{1^2 +2^2 +3^2 +4^2 +5^2 +6^2}:2}$ .

Να συγκρίνετε τους αριθμούς $\displaystyle{A ,B}$

Καλησπέρα
Παρατηρώ ότι το

γράφεται:

$A=2(1+\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{3})...(1+\dfrac{1}{24})=2\cdot 2(1+\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{3})...(1+\dfrac{1}{11})(1+\dfrac{1}{24})=2\cdot 2 \cdot 2(1+\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{3})...(1+\dfrac{1}{5})(1+\dfrac{1}{24})=2\cdot 2\cdot 2 \cdot 2(1+\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{24})=25$

Για το

θα χρησιμοποιήσω τους τύπους

$\dfrac{n(n+1)}{2}$ για το άθροισμα στον αριθμητή και $\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$ για το άθροισμα στον παρονομαστή.

$B=\dfrac{5050}{91\cdot 2}=\dfrac{5050}{182}=27,...$

Άρα βρίσκω ότι B>A

αν και έχω μια επιφύλαξη για το

.Αν εντοπίσετε λάθος διορθώστε με.

Φιλικά
Μιχάλης

#73

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 33: Έστω $\displaystyle{A=(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{4}). ... (1+\frac{1}{49})}$ και $\displaystyle{B=\frac{1+2+3+4+ ... +100}{1^2 +2^2 +3^2 +4^2 +5^2 +6^2}:2}$ .

Να συγκρίνετε τους αριθμούς $\displaystyle{A ,B}$

Μπορούμε επίσης να εργαστούμε και ως εξής: (Για να είναι πιο κατανοητά από τους μαθητές Γυμνασίου)

$\displaystyle{A=\frac{3}{2}.\frac{4}{3}.\frac{5}{4}. ... .\frac{50}{49}}$ , οπότε μετά τις απλοποιήσεις, βρίσκουμε $\displaystyle{A=\frac{50}{2}=25}$

Για το άθροισμα τώρα $\displaystyle{1+2+3+ ... +100}$ , παρατηρούμε ότι $\displaystyle{1+100=101 , 2+99=101 , 3+98=101 , ... , 50+51=101}$ και άρα το άθροισμα που ζητάμε είναι

ίσο με 50.101 =5050. Επίσης $\displaystyle{1^2 +2^2 +3^2 +...+6^2 = 1+4+9+16+25+36=91}$ . Άρα $\displaystyle{B=\frac{101.50}{91.2}=\frac{101}{91}.25}$

Τώρα έχουμε ότι $\displaystyle{\frac{101}{91}>1}$ και άρα $\displaystyle{\frac{101}{91}.25>1.25}$ , δηλαδή $\displaystyle{B>A}$

#74

ΑΣΚΗΣΗ 34: Ο Γιάννης αγόρασε δύο τυρόπιτες και μία πορτοκαλάδα και πλήρωσε

ευρώ. Ο Νίκος αγόρασε δύο πορτοκαλάδες και ένα

κρουασάν και πλήρωσε 3,20

ευρώ. Η Μαρία αγόρασε δύο κρουασάν και μία τυρόπιτα και πλήρωσε 5,20

ευρώ. Πόσα χρήματα θα πληρώσω, αν αγοράσω

μία τυρόπιτα,μία πορτοκαλάδα και ένα κρουασάν ;

papamixalis · #75

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 34: Ο Γιάννης αγόρασε δύο τυρόπιτες και μία πορτοκαλάδα και πλήρωσε ευρώ. Ο Νίκος αγόρασε δύο πορτοκαλάδες και ένα

κρουασάν και πλήρωσε ευρώ. Η Μαρία αγόρασε δύο κρουασάν και μία τυρόπιτα και πλήρωσε ευρώ. Πόσα χρήματα θα πληρώσω, αν αγοράσω

μία τυρόπιτα,μία πορτοκαλάδα και ένα κρουασάν ;

Καλησπέρα.
Θα ονομάσω

την τυρόπιτα

την πορτοκαλάδα και

το κρουασάν.
Ισχύουν οι σχέσεις :

2x+y=3

Έχουμε τρεις εξισώσεις και τρεις αγνώστους.
Λύνοντας το σύστημα προκύπτει ότι
x=1,2

Τελικά

ευρώ.

Φιλικά
Μιχάλης

#76

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 34: Ο Γιάννης αγόρασε δύο τυρόπιτες και μία πορτοκαλάδα και πλήρωσε ευρώ. Ο Νίκος αγόρασε δύο πορτοκαλάδες και ένα

κρουασάν και πλήρωσε ευρώ. Η Μαρία αγόρασε δύο κρουασάν και μία τυρόπιτα και πλήρωσε ευρώ. Πόσα χρήματα θα πληρώσω, αν αγοράσω

μία τυρόπιτα,μία πορτοκαλάδα και ένα κρουασάν ;

Και λίγο διαφορετικά: Αν αγοράσω όλα όσα αγόρασαν ο Γιάννης, ο Νίκος και η Κατερίνα, δηλαδή αν αγόραζα

τυρόπιτες,

πορτοκαλάδες και

κρουασάν

θα πλήρωνα 3+3,20+5,20 = 11,40

ευρώ. Άρα

τυρόπιτα,

πορτοκαλάδα και

κρουασάν, θα κοστίζουν 11,40: 3=3,80

ευρώ.

papamixalis · #77

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 34: Ο Γιάννης αγόρασε δύο τυρόπιτες και μία πορτοκαλάδα και πλήρωσε ευρώ. Ο Νίκος αγόρασε δύο πορτοκαλάδες και ένα

κρουασάν και πλήρωσε ευρώ. Η Μαρία αγόρασε δύο κρουασάν και μία τυρόπιτα και πλήρωσε ευρώ. Πόσα χρήματα θα πληρώσω, αν αγοράσω

μία τυρόπιτα,μία πορτοκαλάδα και ένα κρουασάν ;
Και λίγο διαφορετικά: Αν αγοράσω όλα όσα αγόρασαν ο Γιάννης, ο Νίκος και η Κατερίνα, δηλαδή αν αγόραζα τυρόπιτες, πορτοκαλάδες και κρουασάν

θα πλήρωνα ευρώ. Άρα τυρόπιτα, πορτοκαλάδα και κρουασάν, θα κοστίζουν ευρώ.

Για την ακρίβεια λίγο πιο διαφορετικά αλλά πολύ πιο απλά

#78

ΑΣΚΗΣΗ 35: Είναι γνωστό, ότι κάθε άρτιος ακέραιος αριθμός

είναι πολλαπλάσιο του

, άρα μπορούμε να γράψουμε ότι

$\displaystyle{a=2.k}$ , όπου $\displaystyle{k}$ είναι ακέραιος αριθμός. Επίσης γνωρίζουμε ότι κάθε περιττός ακέραιος $\displaystyle{b}$ , είναι ο επόμενος ενός άρτιου. Άρα μπορούμε να γράψουμε

ότι $\displaystyle{b=2m +1}$ , όπου $\displaystyle{m}$ είναι ακέραιος αριθμός. Φυσικά, ισχύουν και τα αντίστροφα. Δηλαδή αν ένας ακέραιος αριθμός μπορεί να γραφτεί με την μορφή

$\displaystyle{2.k}$ , με $\displaystyle{k}$ ακέραιο, τότε ο αριθμός αυτός θα είνα άρτιος. Όμοια, αν μπορεί να γραφτεί με την μορφή $\displaystyle{2.k +1}$ , τότε θα είναι περιττός.

Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω, να αποδείξετε ότι:

(α) Αν $\displaystyle{a , b}$ είναι άρτιοι, τότε και ο $\displaystyle{a+b}$ θα είναι άρτιος και ο $\displaystyle{a.b}$ επίσης άρτιος

(β) Αν $\displaystyle{a , b}$ είναι περιττοί, τότε ο $\displaystyle{a+b}$ θα είναι άρτιος, ενώ ο $\displaystyle{a.b}$ περιττός

(γ) Αν $\displaystyle{a}$ άρτιος και $\displaystyle{b}$ περιττός, τότε ο $\displaystyle{a+b}$ θα είναι περιττός, ενώ ο $\displaystyle{a.b}$ άρτιος

(Από τα παραπάνω, εύκολα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι: Το άθροισμα οσονδήποτε άρτιων αριθμών, είναι άρτιος. Σκεφτείτε αν το ίδιο συμβαίνει και με το άθροισμα

οσονδήποτε περιττών αριθμών. Μπορείτε να εξάγετε κάποιο συμπέρασμα; Επίσης συμπεραίνουμε ότι το γινόμενο οσονδήποτε άρτιων είναι άρτιος και το γινόμενο

οσονδήποτε περιττών είναι περιττός. Τέλος άμεσα προκύπτει ότι αν $\displaystyle{a\neq 0 }$ άρτιος , τότε $\displaystyle{a^n}$ είναι επίσης άρτιος για κάθε $\displaystyle{n}$ φυσικό αριθμό ( $\displaystyle{\neq 0}$ ), ενώ αν

$\displaystyle{a}$ περιττός, τότε $\displaystyle{a^n}$ είναι επίσης περιττός, για κάθε $\displaystyle{n}$ φυσικό αριθμό.)

(ΣΗΜ: Συμπλήρωσα μια παράλειψη: Ο αριθμός $\displaystyle{a^n}$ , όταν $\displaystyle{n}$ άρτιος (διάφορος του μηδενός) ,είναι επίσης άρτιος , όταν όμως $\displaystyle{n\neq 0}$ , ενώ αν

$\displaystyle{n=0}$ τότε ο $\displaystyle{a^n}$ είναι περιττός, αφού ισούται με $\displaystyle{1}$ )

papamixalis · #79

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 35: Είναι γνωστό, ότι κάθε άρτιος ακέραιος αριθμός είναι πολλαπλάσιο του , άρα μπορούμε να γράψουμε ότι

$\displaystyle{a=2.k}$ , όπου $\displaystyle{k}$ είναι ακέραιος αριθμός. Επίσης γνωρίζουμε ότι κάθε περιττός ακέραιος $\displaystyle{b}$ , είναι ο επόμενος ενός άρτιου. Άρα μπορούμε να γράψουμε

ότι $\displaystyle{b=2m +1}$ , όπου $\displaystyle{m}$ είναι ακέραιος αριθμός. Φυσικά, ισχύουν και τα αντίστροφα. Δηλαδή αν ένας ακέραιος αριθμός μπορεί να γραφτεί με την μορφή

$\displaystyle{2.k}$ , με $\displaystyle{k}$ ακέραιο, τότε ο αριθμός αυτός θα είνα άρτιος. Όμοια, αν μπορεί να γραφτεί με την μορφή $\displaystyle{2.k +1}$ , τότε θα είναι περιττός.

Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω, να αποδείξετε ότι:

(α) Αν $\displaystyle{a , b}$ είναι άρτιοι, τότε και ο $\displaystyle{a+b}$ θα είναι άρτιος και ο $\displaystyle{a.b}$ επίσης άρτιος

(β) Αν $\displaystyle{a , b}$ είναι περιττοί, τότε ο $\displaystyle{a+b}$ θα είναι άρτιος, ενώ ο $\displaystyle{a.b}$ περιττός

(γ) Αν $\displaystyle{a}$ άρτιος και $\displaystyle{b}$ περιττός, τότε ο $\displaystyle{a+b}$ θα είναι περιττός, ενώ ο $\displaystyle{a.b}$ άρτιος

(Από τα παραπάνω, εύκολα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι: Το άθροισμα οσονδήποτε άρτιων αριθμών, είναι άρτιος. Σκεφτείτε αν το ίδιο συμβαίνει και με το άθροισμα

οσονδήποτε περιττών αριθμών. Μπορείτε να εξάγετε κάποιο συμπέρασμα; Επίσης συμπεραίνουμε ότι το γινόμενο οσονδήποτε άρτιων είναι άρτιος και το γινόμενο

οσονδήποτε περιττών είναι περιττός. Τέλος άμεσα προκύπτει ότι αν $\displaystyle{a}$ άρτιος , τότε $\displaystyle{a^n}$ είναι επίσης άρτιος για κάθε $\displaystyle{n}$ φυσικό αριθμό, ενώ αν

$\displaystyle{a}$ περιττός, τότε $\displaystyle{a^n}$ είνναι επίσης περιττός, για κάθε $\displaystyle{n}$ φυσικό αριθμό.)

(

Καλησπέρα
a)Αφού a,b

άρτιοι μπορούν να γραφούν
a=2k

άρτιος.

άρτιος.

b) a=2k+1

άρτιος.

Παρατηρούμε ότι 2(2km)

και

είναι άρτιοι.Άρα αν τους προσθέσουμε την μονάδα δίνουν περιττό.

c) a=2k

περιττός.

άρτιος.

Φιλικά
Μιχάλης

#80

ΑΣΚΗΣΗ 36: Θεωρούμε τους πενταψήφιους αριθμούς $\displaystyle{PR5T}$ και $\displaystyle{47Y6}$ . Αν $\displaystyle{PR5T - 47Y6 = 1998}$ , να βρεθεί ο αριθμός $\displaystyle{PR5T}$

(Πηγή: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ για Δημοτικό και Γυμνάσιο, των Σ. Λουρίδα και Κ. Σάλαρη)

Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Μέλη σε σύνδεση