Putnam 2015/A3

#1

Να υπολογιστεί το

$\displaystyle{ \log_2{\left(\prod_{a=1}^{2015} \prod_{b=1}^{2015} \left(1 + e^{2\pi i ab/2015} \right)\right)}}$

#2

Έγινε διόρθωση στην εκφώνηση αφού με το - στην θέση του + δεν έβγαζε νόημα.

Tolaso J Kos · #3

A τώρα είδα ότι διορθώθηκε το typo στο πρόσημο. Όταν είδα χθες το θέμα νόμισα πως η πηγή μου είναι λάθος. Μία λύση με θεωρία αριθμών την οποία διαβάζω αυτή τη περίοδο.

Demetres έγραψε:Να υπολογιστεί το

$\displaystyle{ \log_2{\left(\prod_{a=1}^{2015} \prod_{b=1}^{2015} \left(1 + e^{2\pi i ab/2015} \right)\right)}}$

$\displaystyle{\begin{aligned} \log_2 \prod_{a=1}^{2015} \prod_{b=1}^{2015} \left( 1 + e^{\frac{2\pi i a b}{2015}} \right) &= \log_2 \prod_{a=1}^{2015} 2^{\gcd(a,2015)} \\ &= \sum_{a=1}^{2015} \gcd(a,2015) \\ &= \sum_{d \mid 2015} \frac{2015}{d} \phi(d) \\ &= (5+\phi(5))(13+\phi(13))(31+\phi(31)) \\ &= 9 \cdot 25 \cdot 61 \\ &= 13725 \end{aligned}}$

διότι αν $\omega$ μία

-ιοστή ρίζα της μονάδος τότε ισχύει ότι $\prod \limits_{n=1}^{m} (1 + \omega^n) = 2$ με

περιττό (το θεωρώ γνωστό. Δε ξέρω αν στον διαγωνισμό θέλαν απόδειξη του γεγονότος αυτού.)

Ωραίο θεματάκι.

Edit:Διορθώθηκαν οι δείκτες που μου ξεφύγαν.

#4

Tolaso J Kos έγραψε: $\displaystyle{\begin{aligned} \log_2 \prod_{a=1}^{2015} \prod_{b=1}^{2015} \left( 1 + e^{\frac{2\pi i a b}{2015}} \right) &= \log_2 \prod_{a=1}^{2015} 2^{\gcd(a,2015)} \\ &= \sum_{a=1}^{2015} \gcd(a,2015) \\ &= \sum_{d \mid 2015} \frac{2015}{d} \phi(d) \\ &= (5+\phi(5))(13+\phi(13))(31+\phi(31)) \\ &= 9 \cdot 25 \cdot 61 \\ &= 13725 \end{aligned}}$

διότι αν $\omega$ μία -ιοστή ρίζα της μονάδος τότε ισχύει ότι $\prod \limits_{n=1}^{m} (1 + \omega^n) = 2$ με περιττό (το θεωρώ γνωστό. Δε ξέρω αν στον διαγωνισμό θέλαν απόδειξη του γεγονότος αυτού.)

Όταν παίρνουμε έτοιμες λύσεις από κάπου, καλό είναι να το δηλώνουμε με σαφήνεια. Βλέπε εδώ.

Tolaso J Kos · #5

κ. Μιχάλη, από τονAOPSείναι η λύση. Ξέχασα να γράψω τη πηγή από τη βιασύνη μου. Απλά μου άρεσε η λύση και είπα να τη μοιραστώ.

#6

Καλό είναι να μην τρέχουμε να ποστάρουμε λύσεις άλλων για τον απλούστατο λόγο ότι έτσι
στερούμε την χαρά να ασχοληθούν με το πρόβλημα τα μέλη του φόρουμ.

Για την συγκεκριμένη άσκηση είχα και εγώ λύση αλλά δεν την έγραψα επειδή είναι μακροσκελής. Σκεπτόμουν όμως κάθε τόσο βελτίωσή της, στα ενδιάμεσα της δουλειάς μου.

#7

Το δις εξαμαρτείν...
http://www.artofproblemsolving.com/comm ... _problem_6
http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=59&t=50528

Επίσης γράφεις στην αρχή:

Tolaso J Kos έγραψε:Μία λύση με θεωρία αριθμών την οποία διαβάζω αυτή τη περίοδο. [/i]

και μετά

Tolaso J Kos έγραψε: Ξέχασα να γράψω τη πηγή από τη βιασύνη μου. Απλά μου άρεσε η λύση και είπα να τη μοιραστώ.

Putnam 2015/A3

Putnam 2015/A3

Re: Putnam 2015/A3

Re: Putnam 2015/A3

Re: Putnam 2015/A3

Re: Putnam 2015/A3

Re: Putnam 2015/A3

Re: Putnam 2015/A3

Μέλη σε σύνδεση