Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

Soteris · #1

Τα θέματα της Α' Γυμνασίου του διαγωνισμού. Θα ακολουθήσουν τα θέματα της Β' και Γ' τάξης σε επόμενες αναρτήσεις.

Πρόβλημα 1

Το κλάσμα $\displaystyle{\dfrac{x}{70}}$ είναι μεγαλύτερο από το $\displaystyle{\dfrac{11}{10}}$ και μικρότερο από $\displaystyle{\dfrac{81}{35}}$ . Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{70}$ είναι πρώτοι μεταξύ τους $\left(MK\Delta \displaystyle{\left(x, 70\right)=1\right)}$ , να βρείτε πόσες είναι οι πιθανές τιμές του $\displaystyle{x}$ .

Πρόβλημα 2

Οι αριθμοί $\displaystyle{95, 238}$ και $\displaystyle{260}$ όταν διαιρεθούν με τον θετικό ακέραιο αριθμό $\displaystyle{\beta}$ , αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και στις τρεις περιπτώσεις. Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του $\displaystyle{117}$ με τον αριθμό $\displaystyle{\beta}$ ;

Πρόβλημα 3

Στο πιο κάτω σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ είναι $\displaystyle{96 \;cm^2}$ . Το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{A\Delta Z}$ είναι $\displaystyle{16 \;cm^2}$ και το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{ABE}$ είναι $\displaystyle{12 \;cm^2}$ . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου $\displaystyle{AEZ}$ .

: pagkiprios_a3.png (14.63 KiB) Προβλήθηκε 1415 φορές

Πρόβλημα 4

Δύο κεριά είναι κατασκευασμένα από διαφορετικά υλικά. Τα κεριά έχουν το ίδιο μήκος και το κάθε κερί όταν ανάψει καίγεται με σταθερό ρυθμό. Το ένα κερί καίγεται πλήρως σε $\displaystyle{4}$ ώρες ενώ το άλλο κερί σε $\displaystyle{5}$ ώρες. Ποια ώρα πρέπει κάποιος να ανάψει ταυτόχρονα τα δύο κεριά, ώστε στις $\displaystyle{6}$ μ.μ. το υπόλοιπο του ενός κεριού να έχει το διπλάσιο μήκος από το υπόλοιπο του άλλου;

ealexiou · #2

Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α' Γυμνασίου του διαγωνισμού. Θα ακολουθήσουν τα θέματα της Β' και Γ' τάξης σε επόμενες αναρτήσεις.

Πρόβλημα 4
Δύο κεριά είναι κατασκευασμένα από διαφορετικά υλικά. Τα κεριά έχουν το ίδιο μήκος και το κάθε κερί όταν ανάψει καίγεται με σταθερό ρυθμό. Το ένα κερί καίγεται πλήρως σε $\displaystyle{4}$ ώρες ενώ το άλλο κερί σε $\displaystyle{5}$ ώρες. Ποια ώρα πρέπει κάποιος να ανάψει ταυτόχρονα τα δύο κεριά, ώστε στις $\displaystyle{6}$ μ.μ. το υπόλοιπο του ενός κεριού να έχει το διπλάσιο μήκος από το υπόλοιπο του άλλου;

Αν

το μήκος των κεριών και

ο ζητούμενος χρόνος ώστε το ένα (αυτό που χρειάζεται

ώρες να καεί) να έχει διπλάσιο μήκος του άλλου τότε το ένα θα έχει καεί κατά $\dfrac{ax}{5}$ κατά το άλλο κατά τα $\dfrac{ax}{4}$ και θα έχουν απομείνει $a-\dfrac{ax}{5}$ και $a-\dfrac{ax}{4}$ αντίστοιχα.

Οπότε $a-\dfrac{ax}{5}=2(a-\dfrac{ax}{4})\Rightarrow$ $\boxed{x=\dfrac{10}{3}}$ , δηλαδή

ώρες και

λεπτά.

Άρα πρέπει να αναφθούν ταυτόχρονα στις 2:40

μμ.

Soteris · #3

Β' Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

Κοινό με το πρόβλημα 2 της Α' Γυμνασίου.

Πρόβλημα 2

Να δείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{A=\left(\sqrt{2}-\sqrt{10}\right)\cdot\left(3+\sqrt{5}\right)\cdot\sqrt{3-\sqrt{5}}}$ είναι ακέραιος.

Πρόβλημα 3

Αν $\displaystyle{f\left(x\right)=x^3-\lambda x+1, \lambda\in\mathbb{R}}$ , να υπολογιστεί η τιμή του $\displaystyle{\lambda}$ , ώστε το πολυώνυμο $\displaystyle{\phi\left(x\right)=f\left(x+1\right)+2f\left(x-2\right)-f\left(x\right)}$ να διαιρείται με το $\displaystyle{x-1}$ .

Πρόβλημα 4

Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ $\displaystyle{\left(\angle{B}=\angle{\Gamma}=90^{\circ}\right)}$ . Η διαγώνιος $\displaystyle{A\Gamma}$ είναι κάθετη στην $\displaystyle{A\Delta}$ στο σημείο $\displaystyle{A}$ . Αν $\displaystyle{\left(B\Gamma\right)=6\;cm}$ και $\displaystyle{\left(A\Gamma\right)=10\;cm}$ , να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο του τραπεζίου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ .

papamixalis · #4

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 1

Το κλάσμα $\displaystyle{\dfrac{x}{70}}$ είναι μεγαλύτερο από το $\displaystyle{\dfrac{11}{10}}$ και μικρότερο από $\displaystyle{\dfrac{81}{35}}$ . Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{70}$ είναι πρώτοι μεταξύ τους $\left(MK\Delta \displaystyle{\left(x, 70\right)=1\right)}$ , να βρείτε πόσες είναι οι πιθανές τιμές του $\displaystyle{x}$ .

Καλησπέρα
$\dfrac{11}{10}<\dfrac{x}{70}<\dfrac{81}{35} \Leftrightarrow 77<x<162$

Τώρα αν δεν μου ξέφυγε κάποιο νούμερο, οι πιθανές τιμές του

είναι

EDIT:Μου ξέφυγαν

αριθμοί τελικά.Ευχαριστώ πολύ τον κύριο Ευθύμη.

Φιλικά
Μιχάλης

ealexiou · #5

papamixalis έγραψε:
Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 1

Το κλάσμα $\displaystyle{\dfrac{x}{70}}$ είναι μεγαλύτερο από το $\displaystyle{\dfrac{11}{10}}$ και μικρότερο από $\displaystyle{\dfrac{81}{35}}$ . Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{70}$ είναι πρώτοι μεταξύ τους $\left(MK\Delta \displaystyle{\left(x, 70\right)=1\right)}$ , να βρείτε πόσες είναι οι πιθανές τιμές του $\displaystyle{x}$ .

Καλησπέρα
$\dfrac{11}{10}<\dfrac{x}{70}<\dfrac{81}{35} \Leftrightarrow 77<x<162$

Τώρα αν δεν μου ξέφυγε κάποιο νούμερο, οι πιθανές τιμές του είναι

Φιλικά
Μιχάλης

Γεια σου Μιχάλη, σου διέφυγαν μερικοί (λίγοι)...

ealexiou · #6

Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α' Γυμνασίου του διαγωνισμού. Θα ακολουθήσουν τα θέματα της Β' και Γ' τάξης σε επόμενες αναρτήσεις.

Πρόβλημα 1

Το κλάσμα $\displaystyle{\dfrac{x}{70}}$ είναι μεγαλύτερο από το $\displaystyle{\dfrac{11}{10}}$ και μικρότερο από $\displaystyle{\dfrac{81}{35}}$ . Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{70}$ είναι πρώτοι μεταξύ τους $\left(MK\Delta \displaystyle{\left(x, 70\right)=1\right)}$ , να βρείτε πόσες είναι οι πιθανές τιμές του $\displaystyle{x}$ .

Βρήκαμε ότι $\boxed{77<x<162}$ και ότι οι πιθανές τιμές είναι

Μεταξύ

και

είναι οι τιμές 78,79,...,161

, σύνολο $\boxed{161-77=84}$ τιμές.
Επειδή 70=2*5*7

από τις

τιμές θέλουμε όσες δεν είναι πολλαπλάσιες του

ή του

.

Ένας τρόπος, πρακτικός, είναι να τις ελέγξουμε μία – μία και να αποκλείουμε τα πολλαπλάσια των 2,5,7

Επειδή όμως ζητείται μόνο το πλήθος των σχετικά πρώτων προς το

αριθμών με λίγη συνδυαστική μπορούμε να το “μοντελοποιήσουμε”.

Από το

αφαιρούμε το πλήθος των αριθμών που είναι πολλαπλάσιοι των $2, \ 5$ και

Πολλαπλάσιοι του

είναι

αριθμοί
Πολλαπλάσιοι του

είναι

, άρα

αριθμοί
Πολλαπλάσιοι του

είναι

αριθμοί
Σύνολο αφαιρετέων $\boxed{42+16+12=70}$ αριθμοί.

Όμως επειδή τα πολλαπλάσια των $2*5=10,\ 2*7=14,\ 5*7=35$ τα αφαιρέσουμε δύο φορές (π.χ τα πολλαπλάσια του

τα αφαιρέσαμε και σαν πολλαπλάσια του

και σαν πολλαπλάσια του

, αντίστοιχα και για 14,35

πρέπει να τα προσθέσουμε και έχουμε πολλαπλάσια του:

είναι $\ 84/10=8.4$ , άρα

αριθμοί.

είναι $\ 84/14=6$ αριθμοί

είναι $\ 84/35=2.4$ , άρα

αριθμοί.
Σύνολο προσθετέων $\boxed{8+6+2=16}$ αριθμοί.

Αλλά επειδή τα πολλαπλάσια του 2*5*7=70

τα προσθέσαμε δύο φορές (μία φορά σαν πολλαπλάσια του

και μία φορά σαν πολλαπλάσια του

πρέπει να τα αφαιρέσουμε.
Πολλαπλάσια του

έχουμε $\boxed{84/70=1.2=1}$ (ο 140

)

Τελικά το πλήθος των σχετικά πρώτων προς τον

(από τους

αριθμούς) είναι:

$\boxed{\boxed{84-70+16-1=29}}$ αριθμοί.

ealexiou · #7

Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α' Γυμνασίου του διαγωνισμού. Θα ακολουθήσουν τα θέματα της Β' και Γ' τάξης σε επόμενες αναρτήσεις.

Πρόβλημα 3

Στο πιο κάτω σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ είναι $\displaystyle{96 \;cm^2}$ . Το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{A\Delta Z}$ είναι $\displaystyle{16 \;cm^2}$ και το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{ABE}$ είναι $\displaystyle{12 \;cm^2}$ . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου $\displaystyle{AEZ}$ .

: Παγκύπριος διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμ.) Πρ 3.png (13.32 KiB) Προβλήθηκε 1177 φορές

$(ABEE')=24\ cm^2$ οπότε $\dfrac{(ABEE')}{(ABCD)}=\dfrac{24}{96}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow BE=\dfrac{b}{4}\wedge EC=\dfrac{3b}{4}$

$(AZ'ZD)=32\ cm^2$ οπότε $\dfrac{(AZ'ZD)}{(ABCD)}=\dfrac{32}{96}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow DZ=\dfrac{a}{3}\wedge ZC=\dfrac{2a}{3}$

$(ECZ)=\dfrac{1}{2}\dfrac{2a}{3}\cdot \dfrac{3b}{4}=\dfrac{ab}{4}=\dfrac{96}{4}=24\ cm^2$ , οπότε $\boxed{(AEZ)=96-(16+12+24)=44\ cm^2}$

#8

Soteris έγραψε:Β' Γυμνασίου

Πρόβλημα 4

Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ $\displaystyle{\left(\angle{B}=\angle{\Gamma}=90^{\circ}\right)}$ . Η διαγώνιος $\displaystyle{A\Gamma}$ είναι κάθετη στην $\displaystyle{A\Delta}$ στο σημείο $\displaystyle{A}$ . Αν $\displaystyle{\left(B\Gamma\right)=6\;cm}$ και $\displaystyle{\left(A\Gamma\right)=10\;cm}$ , να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο του τραπεζίου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ .

: Παγκύπριο 2015 (Γυμνάσιο).png (7.38 KiB) Προβλήθηκε 1157 φορές

Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο ABC

: $\displaystyle{A{B^2} = {10^2} - {6^2} = 64 \Leftrightarrow }$ $\boxed{AB=8 cm}$

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, είναι: $\displaystyle{\varepsilon \varphi \omega = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}}$ , ενώ στο ορθογώνιο τρίγωνο ADC

, είναι:

$\displaystyle{\varepsilon \varphi \omega = \frac{{AD}}{{10}}}$ . Άρα: $\displaystyle{\frac{{AD}}{{10}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow 4AD = 30 \Leftrightarrow }$ $\boxed{AD = \frac{{15}}{2}cm}$

Από Πυθαγόρειο τώρα στο ADC

: $\displaystyle{D{C^2} = 100 + \frac{{225}}{4} = \frac{{625}}{4} = {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{DC = \frac{{25}}{{2}}cm}$

Η περίμετρος λοιπόν είναι: $\displaystyle{P = 8 + 6 + \frac{{25}}{2} + \frac{{15}}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{P=34cm}$ και το εμβαδόν:

$\displaystyle{E = \frac{{AB + CD}}{2}BC = \frac{{8 + 12,5}}{2}6c{m^2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{E=61, 5cm^2}$

ealexiou · #9

Soteris έγραψε:Β' Γυμνασίου

Πρόβλημα 2

Να δείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{A=\left(\sqrt{2}-\sqrt{10}\right)\cdot\left(3+\sqrt{5}\right)\cdot\sqrt{3-\sqrt{5}}}$ είναι ακέραιος.

$A=(\sqrt{2}-\sqrt{10})\cdot (3+\sqrt{5})\cdot\sqrt{3-\sqrt{5}}=-(\sqrt{10}-\sqrt{2})\cdot (3+\sqrt{5})\cdot \sqrt{3-\sqrt{5}}\Rightarrow$

$A=-\sqrt{(\sqrt{10}-\sqrt{2})^2\cdot (3+\sqrt{5})^2\cdot (3-\sqrt{5})}=-\sqrt{(12-4\sqrt{5})\cdot (14+6\sqrt{5})\cdot (3-\sqrt{5})}\Rightarrow$

$A=-\sqrt{16(3+\sqrt{5})\cdot (3-\sqrt{5})}=-4\sqrt{(3+\sqrt{5})\cdot (3-\sqrt{5})}\Rightarrow$ $\boxed{A=-4\sqrt{9-5}=-8}$

ealexiou · #10

Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α' Γυμνασίου του διαγωνισμού. Θα ακολουθήσουν τα θέματα της Β' και Γ' τάξης σε επόμενες αναρτήσεις.

Πρόβλημα 2

Οι αριθμοί $\displaystyle{95, 238}$ και $\displaystyle{260}$ όταν διαιρεθούν με τον θετικό ακέραιο αριθμό $\displaystyle{\beta}$ , αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και στις τρεις περιπτώσεις. Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του $\displaystyle{117}$ με τον αριθμό $\displaystyle{\beta}$ ;

Αφού οι αριθμοί 238

και

διαιρούμενοι με τον ίδιο αριθμό $\beta$ αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο, η διαφορά τους 260-238=22

θα αφήνει υπόλοιπο

, όμως $22=2\cdot 11$
$\beta=2$ αποκλείεται αφού διαιρεί τους 238,260

, άρα $\beta=11$ και ελέγχοντας τους αριθμούς έχουμε:
$95=8\cdot11+7,\ 238=21\cdot11+7$ και $260=23\cdot11+7$

Οπότε $117=10\cdot11+7$ , δηλαδή το ίδιο υπόλοιπο (

) με τους τρεις αριθμούς.

#11

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 3

Στο πιο κάτω σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ είναι $\displaystyle{96 \;cm^2}$ . Το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{A\Delta Z}$ είναι $\displaystyle{16 \;cm^2}$ και το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{ABE}$ είναι $\displaystyle{12 \;cm^2}$ . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου $\displaystyle{AEZ}$ .

Καλησπέρα σε όλους.

Καλησπέρα Ευθύμη ( δεν λέω κάτι διαφορετικό , απλώς λίγο πιο πρακτικά)

: Α Γυμνασίου παγκύπριες.png (17.42 KiB) Προβλήθηκε 1100 φορές

Δεν γνωρίζω τι διδάσκονται στο Δημοτικό και τι στην Α Γυμνασίου οι μαθητές στην Κύπρο.

Ας δούμε μια λύση μάλλον πρακτική αλλά ίσως και με υπέρβαση, άρα με επιφύλαξη.

Το εμβαδόν του τετραπλεύρου AZCE

είναι $96 - 16 - 12 = 68(c{m^2})$ . Αν φέρουμε τη διαγώνιο

,

το εμβαδόν του καθενός από τα ορθογώνια τρίγωνα που χωρίζεται είναι $\dfrac{{96}}{2} = 48(c{m^2})$ .

Το εμβαδόν του τριγώνου AZC

θα είναι $48 - 16 = 32(c{m^2})$ δηλαδή διπλάσιο από το εμβαδόν του τριγώνου ADZ

κι αφού αυτά τα τρίγωνα έχουν κοινό ύψος το

,

αναγκαστικά το

είναι τα $\dfrac{2}{3}$ της μιας διάστασης του ορθογωνίου .Ομοίως βρίσκουμε ότι

είναι τα $\dfrac{3}{4}$ της άλλης διάστασης του ορθογωνίου

Τώρα το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου EZC

θα είναι $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$ του ολικού εμβαδού του ορθογωνίου δηλαδή $24(c{m^2})$ και άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι :

$68 - 24 = 44(c{m^2})$ .

Ν.

#12

Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α' Γυμνασίου του διαγωνισμού. Θα ακολουθήσουν τα θέματα της Β' και Γ' τάξης σε επόμενες αναρτήσεις.

Πρόβλημα 3

Στο πιο κάτω σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ είναι $\displaystyle{96 \;cm^2}$ . Το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{A\Delta Z}$ είναι $\displaystyle{16 \;cm^2}$ και το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{ABE}$ είναι $\displaystyle{12 \;cm^2}$ . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου $\displaystyle{AEZ}$ .

Καλησπέρα Ευθύμη και Νίκο, καλησπέρα σε όλους.

Κι εγώ κάπως διαφορετικά, απ' ότι ο Ευθύμης και ο Νίκος.

: Παγκύπριο 2015 (Γυμνάσιο).II.png (9.45 KiB) Προβλήθηκε 1083 φορές

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι ab=96

και $\displaystyle{ay = 24,bx = 32 \Rightarrow abxy = 24 \cdot 32 \Leftrightarrow 96xy = 768 \Leftrightarrow }$ $\boxed{xy=8}$

$\displaystyle{(EZC) = \frac{1}{2}(a - x)(b - y) = \frac{1}{2}(ab - ay - bx + xy) = \frac{1}{2}(96 - 24 - 32 + 8) = 24c{m^2}}$

Άρα: $\displaystyle{(AEZ) = 96 - 16 - 12 - 24 \Leftrightarrow }$ $\boxed{(AEZ)=44cm^2}$

Soteris · #13

Doloros έγραψε:
Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 3

Στο πιο κάτω σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ είναι $\displaystyle{96 \;cm^2}$ . Το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{A\Delta Z}$ είναι $\displaystyle{16 \;cm^2}$ και το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{ABE}$ είναι $\displaystyle{12 \;cm^2}$ . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου $\displaystyle{AEZ}$ .

Καλησπέρα σε όλους.

Καλησπέρα Ευθύμη ( δεν λέω κάτι διαφορετικό , απλώς λίγο πιο πρακτικά)

Α Γυμνασίου παγκύπριες.png
Δεν γνωρίζω τι διδάσκονται στο Δημοτικό και τι στην Α Γυμνασίου οι μαθητές στην Κύπρο.

Ας δούμε μια λύση μάλλον πρακτική αλλά ίσως και με υπέρβαση, άρα με επιφύλαξη.

Το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι $96 - 16 - 12 = 68(c{m^2})$ . Αν φέρουμε τη διαγώνιο ,

το εμβαδόν του καθενός από τα ορθογώνια τρίγωνα που χωρίζεται είναι $\dfrac{{96}}{2} = 48(c{m^2})$ .

Το εμβαδόν του τριγώνου θα είναι $48 - 16 = 32(c{m^2})$ δηλαδή διπλάσιο από το εμβαδόν του τριγώνου κι αφού αυτά τα τρίγωνα έχουν κοινό ύψος το ,

αναγκαστικά το είναι τα $\dfrac{2}{3}$ της μιας διάστασης του ορθογωνίου .Ομοίως βρίσκουμε ότι είναι τα $\dfrac{3}{4}$ της άλλης διάστασης του ορθογωνίου

Τώρα το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου θα είναι $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$ του ολικού εμβαδού του ορθογωνίου δηλαδή $24(c{m^2})$ και άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι :

$68 - 24 = 44(c{m^2})$ .

Ν.

Καμμιά υπέρβαση..

Soteris · #14

ealexiou έγραψε:
Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α' Γυμνασίου του διαγωνισμού. Θα ακολουθήσουν τα θέματα της Β' και Γ' τάξης σε επόμενες αναρτήσεις.

Πρόβλημα 2

Οι αριθμοί $\displaystyle{95, 238}$ και $\displaystyle{260}$ όταν διαιρεθούν με τον θετικό ακέραιο αριθμό $\displaystyle{\beta}$ , αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και στις τρεις περιπτώσεις. Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του $\displaystyle{117}$ με τον αριθμό $\displaystyle{\beta}$ ;
Αφού οι αριθμοί και διαιρούμενοι με τον ίδιο αριθμό $\beta$ αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο, η διαφορά τους θα αφήνει υπόλοιπο , όμως $22=2\cdot 11$
$\beta=2$ αποκλείεται αφού διαιρεί τους , άρα $\beta=11$ και ελέγχοντας τους αριθμούς έχουμε:
$95=8\cdot11+7,\ 238=21\cdot11+7$ και $260=23\cdot11+7$

Οπότε $117=10\cdot11+7$ , δηλαδή το ίδιο υπόλοιπο () με τους τρεις αριθμούς.

Ευθύμη, σε χαιρετώ. Να προσθέσω την περίπτωση $\displaystyle{\beta=1, \upsilon=0}$ .

Ιστοσελίδα · #15

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 3

Στο πιο κάτω σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ είναι $\displaystyle{96 \;cm^2}$ . Το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{A\Delta Z}$ είναι $\displaystyle{16 \;cm^2}$ και το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{ABE}$ είναι $\displaystyle{12 \;cm^2}$ . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου $\displaystyle{AEZ}$ .

Καλημέρα σας…μια από τα ίδια!

: Πρόβλημα-3.png (19.4 KiB) Προβλήθηκε 1016 φορές

Από $\dfrac{{3xy}}{2}\mathop = \limits^{({\rm A}{\rm B}{\rm E})} 12 \Leftrightarrow xy = 8\,c{m^2}$ ,οπότε $(\Gamma {\rm E}{\rm Z}) = \dfrac{{6xy}}{2} = 24\,c{m^2}$ , συνεπώς $({\rm A}{\rm E}{\rm Z}) = 44\,c{m^2}$

Soteris · #16

Γ' Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

Αν $\displaystyle{a, b, c}$ πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{a+2b+3c=0}$ , να δείξετε ότι:

(α) $\displaystyle{a^2+4b^2+9c^2=2\left(9c^2-2ab\right)}$

(β) $\displaystyle{a^4+16b^4+81c^4=2\left(9c^2-2ab\right)^2}$

(γ) $\displaystyle{\left(a^2+4b^2+9c^2\right)^2=2\left(a^4+16b^4+81c^4\right)}$

Πρόβλημα 2

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και έστω $\displaystyle{D, E}$ τυχαία σημεία στις πλευρές $\displaystyle{AB, AC}$ , αντίστοιχα. Οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\angle{ABE}}$ και $\displaystyle{\angle{ACD}}$ τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{Z}$ . Να δείξετε ότι: $\displaystyle{\angle{BDC}+\angle{BEC}=2\cdot\angle{BZC}}$

Πρόβλημα 3

(α) Αν $\displaystyle{f\left(x\right)=x^3-\lambda x+1,\;\lambda\in\mathbb{R}}$ , να υπολογιστεί η τιμή του $\displaystyle{\lambda}$ , ώστε το πολυώνυμο $\displaystyle{\phi\left(x\right)=f\left(x+1\right)+2f\left(x-2\right)-f\left(x\right)}$ να διαιρείται με το $\displaystyle{x-1}$ .

(β) Να λυθεί η εξίσωση: $\displaystyle{x^3-7x+6=0}$

Πρόβλημα 4

Αν $\displaystyle{x, y, z}$ ακέραιοι αριθμοί, να λυθεί η εξίσωση: $\displaystyle{x^2+y^2-16z=30}$

ealexiou · #17

Soteris έγραψε:Γ' Γυμνασίου

Πρόβλημα 3

(β) Να λυθεί η εξίσωση: $\displaystyle{x^3-7x+6=0}$

Καλημέρα Σωτήρη

$x^3-7x+6=0\Rightarrow x^3-7x+7-1=0\Rightarrow$ $(x^3-1)-7(x-1)=0\Rightarrow$

$(x-1)(x^2+x+1)-7(x-1)=0\Rightarrow$ $(x-1)(x^2+x-6)=0\Rightarrow$ $(x-1)(x-2)(x+3)=0 \Rightarrow$

$x-1=0\Rightarrow \boxed{x=1}$ ή $x-2=0\Rightarrow\boxed{ x=2}$ ή $x+3=0\Rightarrow \boxed{x=-3}$

ealexiou · #18

Soteris έγραψε:Γ' Γυμνασίου

Πρόβλημα 2

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και έστω $\displaystyle{D, E}$ τυχαία σημεία στις πλευρές $\displaystyle{AB, AC}$ , αντίστοιχα. Οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\angle{ABE}}$ και $\displaystyle{\angle{ACD}}$ τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{Z}$ . Να δείξετε ότι: $\displaystyle{\angle{BDC}+\angle{BEC}=2\cdot\angle{BZC}}$

: Παγκύπριος διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμ.) Πρ 2.png (13.92 KiB) Προβλήθηκε 987 φορές

Είναι $\angle BDC+\angle BEC=$ $\angle A+2x+\angle A+2y=$ $2\cdot (\angle A+x+y)=2\cdot [(\angle A+x)+y]=$ $2\cdot (\angle BHC+y)=2\cdot \angle BZC$ και το ζητούμενο εδείχθη.

#19

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 4

Αν $\displaystyle{x, y, z}$ ακέραιοι αριθμοί, να λυθεί η εξίσωση: $\displaystyle{x^2+y^2-16z=30}$

Σωτήρη είμαι περίεργος να δω πώς θα τα πάνε σε αυτό το θέμα οι μαθητές.
Τα υπόλοιπα της διαίρεσης με το

ενός τετραγώνου είναι 0,1,4.

Οπότε τα πιθανά υπόλοιπα του αριστερού μέλους είναι 0,1,2,5

ενώ του δεξιού το υπόλοιπο είναι

οπότε δεν έχουμε λύσεις.

#20

Soteris έγραψε:Γ' Γυμνασίου

Πρόβλημα 3

(α) Αν $\displaystyle{f\left(x\right)=x^3-\lambda x+1,\;\lambda\in\mathbb{R}}$ , να υπολογιστεί η τιμή του $\displaystyle{\lambda}$ , ώστε το πολυώνυμο $\displaystyle{\phi\left(x\right)=f\left(x+1\right)+2f\left(x-2\right)-f\left(x\right)}$ να διαιρείται με το $\displaystyle{x-1}$ .

Καλημέρα.

$\displaystyle{\phi (x) = (x - 1)\pi (x) \Rightarrow \phi (1) = 0 \Leftrightarrow f(2) + 2f( - 1) - f(1) = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{9 - 2\lambda + 2\lambda - 2 + \lambda = 0 \Leftrightarrow }$ $\boxed{\lambda=-7}$

Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

Μέλη σε σύνδεση