Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 457
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Σάβ Δεκ 12, 2015 8:20 pm

Τα θέματα της Α' Γυμνασίου του διαγωνισμού. Θα ακολουθήσουν τα θέματα της Β' και Γ' τάξης σε επόμενες αναρτήσεις.

Πρόβλημα 1

Το κλάσμα \displaystyle{\dfrac{x}{70}} είναι μεγαλύτερο από το \displaystyle{\dfrac{11}{10}} και μικρότερο από \displaystyle{\dfrac{81}{35}}. Αν οι αριθμοί \displaystyle{x} και \displaystyle{70} είναι πρώτοι μεταξύ τους \left(MK\Delta \displaystyle{\left(x, 70\right)=1\right)}, να βρείτε πόσες είναι οι πιθανές τιμές του \displaystyle{x}.

Πρόβλημα 2

Οι αριθμοί \displaystyle{95, 238} και \displaystyle{260} όταν διαιρεθούν με τον θετικό ακέραιο αριθμό \displaystyle{\beta}, αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και στις τρεις περιπτώσεις. Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του \displaystyle{117} με τον αριθμό \displaystyle{\beta};

Πρόβλημα 3

Στο πιο κάτω σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου \displaystyle{AB\Gamma\Delta} είναι \displaystyle{96 \;cm^2}. Το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{A\Delta Z} είναι \displaystyle{16 \;cm^2} και το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{ABE} είναι \displaystyle{12 \;cm^2}. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου \displaystyle{AEZ}.
pagkiprios_a3.png
pagkiprios_a3.png (14.63 KiB) Προβλήθηκε 1415 φορές
Πρόβλημα 4

Δύο κεριά είναι κατασκευασμένα από διαφορετικά υλικά. Τα κεριά έχουν το ίδιο μήκος και το κάθε κερί όταν ανάψει καίγεται με σταθερό ρυθμό. Το ένα κερί καίγεται πλήρως σε \displaystyle{4} ώρες ενώ το άλλο κερί σε \displaystyle{5} ώρες. Ποια ώρα πρέπει κάποιος να ανάψει ταυτόχρονα τα δύο κεριά, ώστε στις \displaystyle{6} μ.μ. το υπόλοιπο του ενός κεριού να έχει το διπλάσιο μήκος από το υπόλοιπο του άλλου;


Σωτήρης Λοϊζιάς
ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Σάβ Δεκ 12, 2015 9:00 pm

Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α' Γυμνασίου του διαγωνισμού. Θα ακολουθήσουν τα θέματα της Β' και Γ' τάξης σε επόμενες αναρτήσεις.

Πρόβλημα 4
Δύο κεριά είναι κατασκευασμένα από διαφορετικά υλικά. Τα κεριά έχουν το ίδιο μήκος και το κάθε κερί όταν ανάψει καίγεται με σταθερό ρυθμό. Το ένα κερί καίγεται πλήρως σε \displaystyle{4} ώρες ενώ το άλλο κερί σε \displaystyle{5} ώρες. Ποια ώρα πρέπει κάποιος να ανάψει ταυτόχρονα τα δύο κεριά, ώστε στις \displaystyle{6} μ.μ. το υπόλοιπο του ενός κεριού να έχει το διπλάσιο μήκος από το υπόλοιπο του άλλου;
Αν a το μήκος των κεριών και x ο ζητούμενος χρόνος ώστε το ένα (αυτό που χρειάζεται 5 ώρες να καεί) να έχει διπλάσιο μήκος του άλλου τότε το ένα θα έχει καεί κατά \dfrac{ax}{5} κατά το άλλο κατά τα \dfrac{ax}{4} και θα έχουν απομείνει a-\dfrac{ax}{5} και a-\dfrac{ax}{4} αντίστοιχα.

Οπότε a-\dfrac{ax}{5}=2(a-\dfrac{ax}{4})\Rightarrow \boxed{x=\dfrac{10}{3}}, δηλαδή 3 ώρες και 20 λεπτά.

Άρα πρέπει να αναφθούν ταυτόχρονα στις 2:40 μμ.


Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 457
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Κυρ Δεκ 13, 2015 8:16 pm

Β' Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

Κοινό με το πρόβλημα 2 της Α' Γυμνασίου.

Πρόβλημα 2

Να δείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{A=\left(\sqrt{2}-\sqrt{10}\right)\cdot\left(3+\sqrt{5}\right)\cdot\sqrt{3-\sqrt{5}}} είναι ακέραιος.

Πρόβλημα 3

Αν \displaystyle{f\left(x\right)=x^3-\lambda x+1, \lambda\in\mathbb{R}}, να υπολογιστεί η τιμή του \displaystyle{\lambda}, ώστε το πολυώνυμο \displaystyle{\phi\left(x\right)=f\left(x+1\right)+2f\left(x-2\right)-f\left(x\right)} να διαιρείται με το \displaystyle{x-1}.

Πρόβλημα 4

Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο \displaystyle{AB\Gamma\Delta} \displaystyle{\left(\angle{B}=\angle{\Gamma}=90^{\circ}\right)}. Η διαγώνιος \displaystyle{A\Gamma} είναι κάθετη στην \displaystyle{A\Delta} στο σημείο \displaystyle{A}. Αν \displaystyle{\left(B\Gamma\right)=6\;cm} και \displaystyle{\left(A\Gamma\right)=10\;cm}, να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο του τραπεζίου \displaystyle{AB\Gamma\Delta}.


Σωτήρης Λοϊζιάς
papamixalis
Δημοσιεύσεις: 200
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 13, 2015 3:38 pm

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papamixalis » Κυρ Δεκ 13, 2015 8:40 pm

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 1

Το κλάσμα \displaystyle{\dfrac{x}{70}} είναι μεγαλύτερο από το \displaystyle{\dfrac{11}{10}} και μικρότερο από \displaystyle{\dfrac{81}{35}}. Αν οι αριθμοί \displaystyle{x} και \displaystyle{70} είναι πρώτοι μεταξύ τους \left(MK\Delta \displaystyle{\left(x, 70\right)=1\right)}, να βρείτε πόσες είναι οι πιθανές τιμές του \displaystyle{x}.
Καλησπέρα
\dfrac{11}{10}<\dfrac{x}{70}<\dfrac{81}{35} \Leftrightarrow 77<x<162

Τώρα αν δεν μου ξέφυγε κάποιο νούμερο, οι πιθανές τιμές του x είναι 29

EDIT:Μου ξέφυγαν 3 αριθμοί τελικά.Ευχαριστώ πολύ τον κύριο Ευθύμη.

Φιλικά
Μιχάλης
τελευταία επεξεργασία από papamixalis σε Κυρ Δεκ 13, 2015 10:58 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Κυρ Δεκ 13, 2015 9:46 pm

papamixalis έγραψε:
Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 1

Το κλάσμα \displaystyle{\dfrac{x}{70}} είναι μεγαλύτερο από το \displaystyle{\dfrac{11}{10}} και μικρότερο από \displaystyle{\dfrac{81}{35}}. Αν οι αριθμοί \displaystyle{x} και \displaystyle{70} είναι πρώτοι μεταξύ τους \left(MK\Delta \displaystyle{\left(x, 70\right)=1\right)}, να βρείτε πόσες είναι οι πιθανές τιμές του \displaystyle{x}.
Καλησπέρα
\dfrac{11}{10}<\dfrac{x}{70}<\dfrac{81}{35} \Leftrightarrow 77<x<162

Τώρα αν δεν μου ξέφυγε κάποιο νούμερο, οι πιθανές τιμές του x είναι 26

Φιλικά
Μιχάλης
Γεια σου Μιχάλη, σου διέφυγαν μερικοί (λίγοι)...


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Δευ Δεκ 14, 2015 3:59 pm

Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α' Γυμνασίου του διαγωνισμού. Θα ακολουθήσουν τα θέματα της Β' και Γ' τάξης σε επόμενες αναρτήσεις.

Πρόβλημα 1

Το κλάσμα \displaystyle{\dfrac{x}{70}} είναι μεγαλύτερο από το \displaystyle{\dfrac{11}{10}} και μικρότερο από \displaystyle{\dfrac{81}{35}}. Αν οι αριθμοί \displaystyle{x} και \displaystyle{70} είναι πρώτοι μεταξύ τους \left(MK\Delta \displaystyle{\left(x, 70\right)=1\right)}, να βρείτε πόσες είναι οι πιθανές τιμές του \displaystyle{x}.
Βρήκαμε ότι \boxed{77<x<162} και ότι οι πιθανές τιμές είναι 29
Μεταξύ 77 και 162 είναι οι τιμές 78,79,...,161, σύνολο \boxed{161-77=84} τιμές.
Επειδή 70=2*5*7 από τις 84 τιμές θέλουμε όσες δεν είναι πολλαπλάσιες του 2 ή του 5 ή του 7.

Ένας τρόπος, πρακτικός, είναι να τις ελέγξουμε μία – μία και να αποκλείουμε τα πολλαπλάσια των 2,5,7

Επειδή όμως ζητείται μόνο το πλήθος των σχετικά πρώτων προς το 70 αριθμών με λίγη συνδυαστική μπορούμε να το “μοντελοποιήσουμε”.

Από το 84 αφαιρούμε το πλήθος των αριθμών που είναι πολλαπλάσιοι των 2, \ 5 και 7
Πολλαπλάσιοι του 2 είναι 84/2=42 αριθμοί
Πολλαπλάσιοι του 5 είναι 84/5=16.8, άρα 16 αριθμοί
Πολλαπλάσιοι του 7 είναι 84/7=12 αριθμοί
Σύνολο αφαιρετέων \boxed{42+16+12=70} αριθμοί.

Όμως επειδή τα πολλαπλάσια των 2*5=10,\ 2*7=14,\ 5*7=35 τα αφαιρέσουμε δύο φορές (π.χ τα πολλαπλάσια του 10 τα αφαιρέσαμε και σαν πολλαπλάσια του 2 και σαν πολλαπλάσια του 5, αντίστοιχα και για 14,35 πρέπει να τα προσθέσουμε και έχουμε πολλαπλάσια του:
10 είναι \ 84/10=8.4, άρα 8 αριθμοί.
14 είναι \ 84/14=6 αριθμοί
35 είναι \ 84/35=2.4 , άρα 2 αριθμοί.
Σύνολο προσθετέων \boxed{8+6+2=16} αριθμοί.

Αλλά επειδή τα πολλαπλάσια του 2*5*7=70 τα προσθέσαμε δύο φορές (μία φορά σαν πολλαπλάσια του 10 και μία φορά σαν πολλαπλάσια του 35 πρέπει να τα αφαιρέσουμε.
Πολλαπλάσια του 70 έχουμε \boxed{84/70=1.2=1} (ο 140)

Τελικά το πλήθος των σχετικά πρώτων προς τον 70 (από τους 84 αριθμούς) είναι:

\boxed{\boxed{84-70+16-1=29}} αριθμοί.


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Δευ Δεκ 14, 2015 7:05 pm

Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α' Γυμνασίου του διαγωνισμού. Θα ακολουθήσουν τα θέματα της Β' και Γ' τάξης σε επόμενες αναρτήσεις.

Πρόβλημα 3

Στο πιο κάτω σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου \displaystyle{AB\Gamma\Delta} είναι \displaystyle{96 \;cm^2}. Το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{A\Delta Z} είναι \displaystyle{16 \;cm^2} και το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{ABE} είναι \displaystyle{12 \;cm^2}. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου \displaystyle{AEZ}.
Παγκύπριος διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμ.) Πρ 3.png
Παγκύπριος διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμ.) Πρ 3.png (13.32 KiB) Προβλήθηκε 1177 φορές
(ABEE')=24\ cm^2 οπότε \dfrac{(ABEE')}{(ABCD)}=\dfrac{24}{96}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow BE=\dfrac{b}{4}\wedge EC=\dfrac{3b}{4}

(AZ'ZD)=32\ cm^2 οπότε \dfrac{(AZ'ZD)}{(ABCD)}=\dfrac{32}{96}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow DZ=\dfrac{a}{3}\wedge ZC=\dfrac{2a}{3}

(ECZ)=\dfrac{1}{2}\dfrac{2a}{3}\cdot \dfrac{3b}{4}=\dfrac{ab}{4}=\dfrac{96}{4}=24\ cm^2, οπότε \boxed{(AEZ)=96-(16+12+24)=44\ cm^2}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10181
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 14, 2015 8:22 pm

Soteris έγραψε:Β' Γυμνασίου

Πρόβλημα 4

Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο \displaystyle{AB\Gamma\Delta} \displaystyle{\left(\angle{B}=\angle{\Gamma}=90^{\circ}\right)}. Η διαγώνιος \displaystyle{A\Gamma} είναι κάθετη στην \displaystyle{A\Delta} στο σημείο \displaystyle{A}. Αν \displaystyle{\left(B\Gamma\right)=6\;cm} και \displaystyle{\left(A\Gamma\right)=10\;cm}, να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο του τραπεζίου \displaystyle{AB\Gamma\Delta}.
Παγκύπριο 2015 (Γυμνάσιο).png
Παγκύπριο 2015 (Γυμνάσιο).png (7.38 KiB) Προβλήθηκε 1157 φορές
Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο ABC: \displaystyle{A{B^2} = {10^2} - {6^2} = 64 \Leftrightarrow } \boxed{AB=8 cm}

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC, είναι: \displaystyle{\varepsilon \varphi \omega  = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}}, ενώ στο ορθογώνιο τρίγωνο ADC, είναι:

\displaystyle{\varepsilon \varphi \omega  = \frac{{AD}}{{10}}}. Άρα: \displaystyle{\frac{{AD}}{{10}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow 4AD = 30 \Leftrightarrow } \boxed{AD = \frac{{15}}{2}cm}

Από Πυθαγόρειο τώρα στο ADC: \displaystyle{D{C^2} = 100 + \frac{{225}}{4} = \frac{{625}}{4} = {\left( {\frac{{25}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow } \boxed{DC = \frac{{25}}{{2}}cm}

Η περίμετρος λοιπόν είναι: \displaystyle{P = 8 + 6 + \frac{{25}}{2} + \frac{{15}}{2} \Leftrightarrow } \boxed{P=34cm} και το εμβαδόν:

\displaystyle{E = \frac{{AB + CD}}{2}BC = \frac{{8 + 12,5}}{2}6c{m^2} \Leftrightarrow } \boxed{E=61, 5cm^2}


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Δευ Δεκ 14, 2015 8:32 pm

Soteris έγραψε:Β' Γυμνασίου

Πρόβλημα 2

Να δείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{A=\left(\sqrt{2}-\sqrt{10}\right)\cdot\left(3+\sqrt{5}\right)\cdot\sqrt{3-\sqrt{5}}} είναι ακέραιος.
A=(\sqrt{2}-\sqrt{10})\cdot (3+\sqrt{5})\cdot\sqrt{3-\sqrt{5}}=-(\sqrt{10}-\sqrt{2})\cdot (3+\sqrt{5})\cdot \sqrt{3-\sqrt{5}}\Rightarrow

A=-\sqrt{(\sqrt{10}-\sqrt{2})^2\cdot (3+\sqrt{5})^2\cdot (3-\sqrt{5})}=-\sqrt{(12-4\sqrt{5})\cdot (14+6\sqrt{5})\cdot (3-\sqrt{5})}\Rightarrow

A=-\sqrt{16(3+\sqrt{5})\cdot (3-\sqrt{5})}=-4\sqrt{(3+\sqrt{5})\cdot (3-\sqrt{5})}\Rightarrow \boxed{A=-4\sqrt{9-5}=-8}


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Δευ Δεκ 14, 2015 9:21 pm

Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α' Γυμνασίου του διαγωνισμού. Θα ακολουθήσουν τα θέματα της Β' και Γ' τάξης σε επόμενες αναρτήσεις.

Πρόβλημα 2

Οι αριθμοί \displaystyle{95, 238} και \displaystyle{260} όταν διαιρεθούν με τον θετικό ακέραιο αριθμό \displaystyle{\beta}, αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και στις τρεις περιπτώσεις. Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του \displaystyle{117} με τον αριθμό \displaystyle{\beta};
Αφού οι αριθμοί 238 και 260 διαιρούμενοι με τον ίδιο αριθμό \beta αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο, η διαφορά τους 260-238=22 θα αφήνει υπόλοιπο 0, όμως 22=2\cdot 11
\beta=2 αποκλείεται αφού διαιρεί τους 238,260, άρα \beta=11 και ελέγχοντας τους αριθμούς έχουμε:
95=8\cdot11+7,\ 238=21\cdot11+7 και 260=23\cdot11+7

Οπότε 117=10\cdot11+7, δηλαδή το ίδιο υπόλοιπο (7) με τους τρεις αριθμούς.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7796
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Δεκ 14, 2015 10:35 pm

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 3

Στο πιο κάτω σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου \displaystyle{AB\Gamma\Delta} είναι \displaystyle{96 \;cm^2}. Το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{A\Delta Z} είναι \displaystyle{16 \;cm^2} και το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{ABE} είναι \displaystyle{12 \;cm^2}. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου \displaystyle{AEZ}.
Καλησπέρα σε όλους.

Καλησπέρα Ευθύμη ( δεν λέω κάτι διαφορετικό , απλώς λίγο πιο πρακτικά)
Α Γυμνασίου παγκύπριες.png
Α Γυμνασίου παγκύπριες.png (17.42 KiB) Προβλήθηκε 1100 φορές
Δεν γνωρίζω τι διδάσκονται στο Δημοτικό και τι στην Α Γυμνασίου οι μαθητές στην Κύπρο.

Ας δούμε μια λύση μάλλον πρακτική αλλά ίσως και με υπέρβαση, άρα με επιφύλαξη.

Το εμβαδόν του τετραπλεύρου AZCE είναι 96 - 16 - 12 = 68(c{m^2}). Αν φέρουμε τη διαγώνιο AC,

το εμβαδόν του καθενός από τα ορθογώνια τρίγωνα που χωρίζεται είναι \dfrac{{96}}{2} = 48(c{m^2}).

Το εμβαδόν του τριγώνου AZC θα είναι 48 - 16 = 32(c{m^2}) δηλαδή διπλάσιο από το εμβαδόν του τριγώνου ADZ κι αφού αυτά τα τρίγωνα έχουν κοινό ύψος το AD ,

αναγκαστικά το ZC είναι τα \dfrac{2}{3} της μιας διάστασης του ορθογωνίου .Ομοίως βρίσκουμε ότι EC είναι τα \dfrac{3}{4} της άλλης διάστασης του ορθογωνίου

Τώρα το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου EZC θα είναι \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4} του ολικού εμβαδού του ορθογωνίου δηλαδή 24(c{m^2}) και άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι :

68 - 24 = 44(c{m^2}) .

Ν.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10181
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 14, 2015 10:58 pm

Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α' Γυμνασίου του διαγωνισμού. Θα ακολουθήσουν τα θέματα της Β' και Γ' τάξης σε επόμενες αναρτήσεις.

Πρόβλημα 3

Στο πιο κάτω σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου \displaystyle{AB\Gamma\Delta} είναι \displaystyle{96 \;cm^2}. Το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{A\Delta Z} είναι \displaystyle{16 \;cm^2} και το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{ABE} είναι \displaystyle{12 \;cm^2}. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου \displaystyle{AEZ}.
Καλησπέρα Ευθύμη και Νίκο, καλησπέρα σε όλους.

Κι εγώ κάπως διαφορετικά, απ' ότι ο Ευθύμης και ο Νίκος.
Παγκύπριο 2015 (Γυμνάσιο).II.png
Παγκύπριο 2015 (Γυμνάσιο).II.png (9.45 KiB) Προβλήθηκε 1083 φορές
Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι ab=96 και \displaystyle{ay = 24,bx = 32 \Rightarrow abxy = 24 \cdot 32 \Leftrightarrow 96xy = 768 \Leftrightarrow } \boxed{xy=8}

\displaystyle{(EZC) = \frac{1}{2}(a - x)(b - y) = \frac{1}{2}(ab - ay - bx + xy) = \frac{1}{2}(96 - 24 - 32 + 8) = 24c{m^2}}

Άρα: \displaystyle{(AEZ) = 96 - 16 - 12 - 24 \Leftrightarrow } \boxed{(AEZ)=44cm^2}


Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 457
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Δευ Δεκ 14, 2015 11:47 pm

Doloros έγραψε:
Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 3

Στο πιο κάτω σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου \displaystyle{AB\Gamma\Delta} είναι \displaystyle{96 \;cm^2}. Το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{A\Delta Z} είναι \displaystyle{16 \;cm^2} και το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{ABE} είναι \displaystyle{12 \;cm^2}. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου \displaystyle{AEZ}.
Καλησπέρα σε όλους.

Καλησπέρα Ευθύμη ( δεν λέω κάτι διαφορετικό , απλώς λίγο πιο πρακτικά)
Α Γυμνασίου παγκύπριες.png
Δεν γνωρίζω τι διδάσκονται στο Δημοτικό και τι στην Α Γυμνασίου οι μαθητές στην Κύπρο.

Ας δούμε μια λύση μάλλον πρακτική αλλά ίσως και με υπέρβαση, άρα με επιφύλαξη.


Το εμβαδόν του τετραπλεύρου AZCE είναι 96 - 16 - 12 = 68(c{m^2}). Αν φέρουμε τη διαγώνιο AC,

το εμβαδόν του καθενός από τα ορθογώνια τρίγωνα που χωρίζεται είναι \dfrac{{96}}{2} = 48(c{m^2}).

Το εμβαδόν του τριγώνου AZC θα είναι 48 - 16 = 32(c{m^2}) δηλαδή διπλάσιο από το εμβαδόν του τριγώνου ADZ κι αφού αυτά τα τρίγωνα έχουν κοινό ύψος το AD ,

αναγκαστικά το ZC είναι τα \dfrac{2}{3} της μιας διάστασης του ορθογωνίου .Ομοίως βρίσκουμε ότι EC είναι τα \dfrac{3}{4} της άλλης διάστασης του ορθογωνίου

Τώρα το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου EZC θα είναι \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4} του ολικού εμβαδού του ορθογωνίου δηλαδή 24(c{m^2}) και άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι :

68 - 24 = 44(c{m^2}) .

Ν.
Καμμιά υπέρβαση.. :coolspeak:


Σωτήρης Λοϊζιάς
Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 457
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Δευ Δεκ 14, 2015 11:54 pm

ealexiou έγραψε:
Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α' Γυμνασίου του διαγωνισμού. Θα ακολουθήσουν τα θέματα της Β' και Γ' τάξης σε επόμενες αναρτήσεις.

Πρόβλημα 2

Οι αριθμοί \displaystyle{95, 238} και \displaystyle{260} όταν διαιρεθούν με τον θετικό ακέραιο αριθμό \displaystyle{\beta}, αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και στις τρεις περιπτώσεις. Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του \displaystyle{117} με τον αριθμό \displaystyle{\beta};
Αφού οι αριθμοί 238 και 260 διαιρούμενοι με τον ίδιο αριθμό \beta αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο, η διαφορά τους 260-238=22 θα αφήνει υπόλοιπο 0, όμως 22=2\cdot 11
\beta=2 αποκλείεται αφού διαιρεί τους 238,260, άρα \beta=11 και ελέγχοντας τους αριθμούς έχουμε:
95=8\cdot11+7,\ 238=21\cdot11+7 και 260=23\cdot11+7

Οπότε 117=10\cdot11+7, δηλαδή το ίδιο υπόλοιπο (7) με τους τρεις αριθμούς.
Ευθύμη, σε χαιρετώ. Να προσθέσω την περίπτωση \displaystyle{\beta=1, \upsilon=0}.


Σωτήρης Λοϊζιάς
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3304
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τρί Δεκ 15, 2015 7:58 am

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 3

Στο πιο κάτω σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου \displaystyle{AB\Gamma\Delta} είναι \displaystyle{96 \;cm^2}. Το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{A\Delta Z} είναι \displaystyle{16 \;cm^2} και το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{ABE} είναι \displaystyle{12 \;cm^2}. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου \displaystyle{AEZ}.
Καλημέρα σας…μια από τα ίδια!
Πρόβλημα-3.png
Πρόβλημα-3.png (19.4 KiB) Προβλήθηκε 1016 φορές
Από \dfrac{{3xy}}{2}\mathop  = \limits^{({\rm A}{\rm B}{\rm E})} 12 \Leftrightarrow xy = 8\,c{m^2},οπότε (\Gamma {\rm E}{\rm Z}) = \dfrac{{6xy}}{2} = 24\,c{m^2}, συνεπώς ({\rm A}{\rm E}{\rm Z}) = 44\,c{m^2}


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 457
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Τρί Δεκ 15, 2015 8:36 am

Γ' Γυμνασίου

Πρόβλημα 1

Αν \displaystyle{a, b, c} πραγματικοί αριθμοί με \displaystyle{a+2b+3c=0}, να δείξετε ότι:

(α) \displaystyle{a^2+4b^2+9c^2=2\left(9c^2-2ab\right)}

(β) \displaystyle{a^4+16b^4+81c^4=2\left(9c^2-2ab\right)^2}

(γ) \displaystyle{\left(a^2+4b^2+9c^2\right)^2=2\left(a^4+16b^4+81c^4\right)}

Πρόβλημα 2

Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{ABC} και έστω \displaystyle{D, E} τυχαία σημεία στις πλευρές \displaystyle{AB, AC}, αντίστοιχα. Οι διχοτόμοι των γωνιών \displaystyle{\angle{ABE}} και \displaystyle{\angle{ACD}} τέμνονται στο σημείο \displaystyle{Z}. Να δείξετε ότι: \displaystyle{\angle{BDC}+\angle{BEC}=2\cdot\angle{BZC}}

Πρόβλημα 3

(α) Αν \displaystyle{f\left(x\right)=x^3-\lambda x+1,\;\lambda\in\mathbb{R}}, να υπολογιστεί η τιμή του \displaystyle{\lambda}, ώστε το πολυώνυμο \displaystyle{\phi\left(x\right)=f\left(x+1\right)+2f\left(x-2\right)-f\left(x\right)} να διαιρείται με το \displaystyle{x-1}.

(β) Να λυθεί η εξίσωση: \displaystyle{x^3-7x+6=0}

Πρόβλημα 4

Αν \displaystyle{x, y, z} ακέραιοι αριθμοί, να λυθεί η εξίσωση: \displaystyle{x^2+y^2-16z=30}


Σωτήρης Λοϊζιάς
ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Τρί Δεκ 15, 2015 9:11 am

Soteris έγραψε:Γ' Γυμνασίου

Πρόβλημα 3

(β) Να λυθεί η εξίσωση: \displaystyle{x^3-7x+6=0}
Καλημέρα Σωτήρη

x^3-7x+6=0\Rightarrow x^3-7x+7-1=0\Rightarrow (x^3-1)-7(x-1)=0\Rightarrow

(x-1)(x^2+x+1)-7(x-1)=0\Rightarrow (x-1)(x^2+x-6)=0\Rightarrow (x-1)(x-2)(x+3)=0 \Rightarrow

x-1=0\Rightarrow \boxed{x=1} ή x-2=0\Rightarrow\boxed{ x=2} ή x+3=0\Rightarrow \boxed{x=-3}


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Τρί Δεκ 15, 2015 10:04 am

Soteris έγραψε:Γ' Γυμνασίου

Πρόβλημα 2

Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{ABC} και έστω \displaystyle{D, E} τυχαία σημεία στις πλευρές \displaystyle{AB, AC}, αντίστοιχα. Οι διχοτόμοι των γωνιών \displaystyle{\angle{ABE}} και \displaystyle{\angle{ACD}} τέμνονται στο σημείο \displaystyle{Z}. Να δείξετε ότι: \displaystyle{\angle{BDC}+\angle{BEC}=2\cdot\angle{BZC}}
Παγκύπριος διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμ.) Πρ 2.png
Παγκύπριος διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμ.) Πρ 2.png (13.92 KiB) Προβλήθηκε 987 φορές
Είναι \angle BDC+\angle BEC= \angle A+2x+\angle A+2y= 2\cdot (\angle A+x+y)=2\cdot [(\angle A+x)+y]= 2\cdot (\angle BHC+y)=2\cdot \angle BZC και το ζητούμενο εδείχθη.


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Τρί Δεκ 15, 2015 1:19 pm

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 4

Αν \displaystyle{x, y, z} ακέραιοι αριθμοί, να λυθεί η εξίσωση: \displaystyle{x^2+y^2-16z=30}
Σωτήρη είμαι περίεργος να δω πώς θα τα πάνε σε αυτό το θέμα οι μαθητές.
Τα υπόλοιπα της διαίρεσης με το 8 ενός τετραγώνου είναι 0,1,4.
Οπότε τα πιθανά υπόλοιπα του αριστερού μέλους είναι 0,1,2,5 ενώ του δεξιού το υπόλοιπο είναι 6 οπότε δεν έχουμε λύσεις.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10181
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 15, 2015 2:24 pm

Soteris έγραψε:Γ' Γυμνασίου

Πρόβλημα 3

(α) Αν \displaystyle{f\left(x\right)=x^3-\lambda x+1,\;\lambda\in\mathbb{R}}, να υπολογιστεί η τιμή του \displaystyle{\lambda}, ώστε το πολυώνυμο \displaystyle{\phi\left(x\right)=f\left(x+1\right)+2f\left(x-2\right)-f\left(x\right)} να διαιρείται με το \displaystyle{x-1}.
Καλημέρα.

\displaystyle{\phi (x) = (x - 1)\pi (x) \Rightarrow \phi (1) = 0 \Leftrightarrow f(2) + 2f( - 1) - f(1) = 0 \Leftrightarrow }

\displaystyle{9 - 2\lambda  + 2\lambda  - 2 + \lambda  = 0 \Leftrightarrow } \boxed{\lambda=-7}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Κω.Κωνσταντινίδης και 1 επισκέπτης