Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)
Τα θέματα της Α' Γυμνασίου του διαγωνισμού. Θα ακολουθήσουν τα θέματα της Β' και Γ' τάξης σε επόμενες αναρτήσεις.
Πρόβλημα 1
Το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το και μικρότερο από . Αν οι αριθμοί και είναι πρώτοι μεταξύ τους , να βρείτε πόσες είναι οι πιθανές τιμές του .
Πρόβλημα 2
Οι αριθμοί και όταν διαιρεθούν με τον θετικό ακέραιο αριθμό , αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και στις τρεις περιπτώσεις. Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον αριθμό ;
Πρόβλημα 3
Στο πιο κάτω σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι . Το εμβαδόν του τριγώνου είναι και το εμβαδόν του τριγώνου είναι . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου .
Πρόβλημα 4
Δύο κεριά είναι κατασκευασμένα από διαφορετικά υλικά. Τα κεριά έχουν το ίδιο μήκος και το κάθε κερί όταν ανάψει καίγεται με σταθερό ρυθμό. Το ένα κερί καίγεται πλήρως σε ώρες ενώ το άλλο κερί σε ώρες. Ποια ώρα πρέπει κάποιος να ανάψει ταυτόχρονα τα δύο κεριά, ώστε στις μ.μ. το υπόλοιπο του ενός κεριού να έχει το διπλάσιο μήκος από το υπόλοιπο του άλλου;
Πρόβλημα 1
Το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το και μικρότερο από . Αν οι αριθμοί και είναι πρώτοι μεταξύ τους , να βρείτε πόσες είναι οι πιθανές τιμές του .
Πρόβλημα 2
Οι αριθμοί και όταν διαιρεθούν με τον θετικό ακέραιο αριθμό , αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και στις τρεις περιπτώσεις. Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον αριθμό ;
Πρόβλημα 3
Στο πιο κάτω σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι . Το εμβαδόν του τριγώνου είναι και το εμβαδόν του τριγώνου είναι . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου .
Πρόβλημα 4
Δύο κεριά είναι κατασκευασμένα από διαφορετικά υλικά. Τα κεριά έχουν το ίδιο μήκος και το κάθε κερί όταν ανάψει καίγεται με σταθερό ρυθμό. Το ένα κερί καίγεται πλήρως σε ώρες ενώ το άλλο κερί σε ώρες. Ποια ώρα πρέπει κάποιος να ανάψει ταυτόχρονα τα δύο κεριά, ώστε στις μ.μ. το υπόλοιπο του ενός κεριού να έχει το διπλάσιο μήκος από το υπόλοιπο του άλλου;
Σωτήρης Λοϊζιάς
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)
Αν το μήκος των κεριών και ο ζητούμενος χρόνος ώστε το ένα (αυτό που χρειάζεται ώρες να καεί) να έχει διπλάσιο μήκος του άλλου τότε το ένα θα έχει καεί κατά κατά το άλλο κατά τα και θα έχουν απομείνει και αντίστοιχα.Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α' Γυμνασίου του διαγωνισμού. Θα ακολουθήσουν τα θέματα της Β' και Γ' τάξης σε επόμενες αναρτήσεις.
Πρόβλημα 4
Δύο κεριά είναι κατασκευασμένα από διαφορετικά υλικά. Τα κεριά έχουν το ίδιο μήκος και το κάθε κερί όταν ανάψει καίγεται με σταθερό ρυθμό. Το ένα κερί καίγεται πλήρως σε ώρες ενώ το άλλο κερί σε ώρες. Ποια ώρα πρέπει κάποιος να ανάψει ταυτόχρονα τα δύο κεριά, ώστε στις μ.μ. το υπόλοιπο του ενός κεριού να έχει το διπλάσιο μήκος από το υπόλοιπο του άλλου;
Οπότε , δηλαδή ώρες και λεπτά.
Άρα πρέπει να αναφθούν ταυτόχρονα στις μμ.
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)
Β' Γυμνασίου
Πρόβλημα 1
Κοινό με το πρόβλημα 2 της Α' Γυμνασίου.
Πρόβλημα 2
Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι ακέραιος.
Πρόβλημα 3
Αν , να υπολογιστεί η τιμή του , ώστε το πολυώνυμο να διαιρείται με το .
Πρόβλημα 4
Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο . Η διαγώνιος είναι κάθετη στην στο σημείο . Αν και , να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο του τραπεζίου .
Πρόβλημα 1
Κοινό με το πρόβλημα 2 της Α' Γυμνασίου.
Πρόβλημα 2
Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι ακέραιος.
Πρόβλημα 3
Αν , να υπολογιστεί η τιμή του , ώστε το πολυώνυμο να διαιρείται με το .
Πρόβλημα 4
Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο . Η διαγώνιος είναι κάθετη στην στο σημείο . Αν και , να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο του τραπεζίου .
Σωτήρης Λοϊζιάς
-
- Δημοσιεύσεις: 200
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 13, 2015 3:38 pm
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)
ΚαλησπέραSoteris έγραψε:
Πρόβλημα 1
Το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το και μικρότερο από . Αν οι αριθμοί και είναι πρώτοι μεταξύ τους , να βρείτε πόσες είναι οι πιθανές τιμές του .
Τώρα αν δεν μου ξέφυγε κάποιο νούμερο, οι πιθανές τιμές του είναι
EDIT:Μου ξέφυγαν αριθμοί τελικά.Ευχαριστώ πολύ τον κύριο Ευθύμη.
Φιλικά
Μιχάλης
τελευταία επεξεργασία από papamixalis σε Κυρ Δεκ 13, 2015 10:58 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)
Γεια σου Μιχάλη, σου διέφυγαν μερικοί (λίγοι)...papamixalis έγραψε:ΚαλησπέραSoteris έγραψε:
Πρόβλημα 1
Το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το και μικρότερο από . Αν οι αριθμοί και είναι πρώτοι μεταξύ τους , να βρείτε πόσες είναι οι πιθανές τιμές του .
Τώρα αν δεν μου ξέφυγε κάποιο νούμερο, οι πιθανές τιμές του είναι
Φιλικά
Μιχάλης
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)
Βρήκαμε ότι και ότι οι πιθανές τιμές είναιSoteris έγραψε:Τα θέματα της Α' Γυμνασίου του διαγωνισμού. Θα ακολουθήσουν τα θέματα της Β' και Γ' τάξης σε επόμενες αναρτήσεις.
Πρόβλημα 1
Το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το και μικρότερο από . Αν οι αριθμοί και είναι πρώτοι μεταξύ τους , να βρείτε πόσες είναι οι πιθανές τιμές του .
Μεταξύ και είναι οι τιμές , σύνολο τιμές.
Επειδή από τις τιμές θέλουμε όσες δεν είναι πολλαπλάσιες του ή του ή του .
Ένας τρόπος, πρακτικός, είναι να τις ελέγξουμε μία – μία και να αποκλείουμε τα πολλαπλάσια των
Επειδή όμως ζητείται μόνο το πλήθος των σχετικά πρώτων προς το αριθμών με λίγη συνδυαστική μπορούμε να το “μοντελοποιήσουμε”.
Από το αφαιρούμε το πλήθος των αριθμών που είναι πολλαπλάσιοι των και
Πολλαπλάσιοι του είναι αριθμοί
Πολλαπλάσιοι του είναι , άρα αριθμοί
Πολλαπλάσιοι του είναι αριθμοί
Σύνολο αφαιρετέων αριθμοί.
Όμως επειδή τα πολλαπλάσια των τα αφαιρέσουμε δύο φορές (π.χ τα πολλαπλάσια του τα αφαιρέσαμε και σαν πολλαπλάσια του και σαν πολλαπλάσια του , αντίστοιχα και για πρέπει να τα προσθέσουμε και έχουμε πολλαπλάσια του:
είναι , άρα αριθμοί.
είναι αριθμοί
είναι , άρα αριθμοί.
Σύνολο προσθετέων αριθμοί.
Αλλά επειδή τα πολλαπλάσια του τα προσθέσαμε δύο φορές (μία φορά σαν πολλαπλάσια του και μία φορά σαν πολλαπλάσια του πρέπει να τα αφαιρέσουμε.
Πολλαπλάσια του έχουμε (ο )
Τελικά το πλήθος των σχετικά πρώτων προς τον (από τους αριθμούς) είναι:
αριθμοί.
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)
οπότεSoteris έγραψε:Τα θέματα της Α' Γυμνασίου του διαγωνισμού. Θα ακολουθήσουν τα θέματα της Β' και Γ' τάξης σε επόμενες αναρτήσεις.
Πρόβλημα 3
Στο πιο κάτω σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι . Το εμβαδόν του τριγώνου είναι και το εμβαδόν του τριγώνου είναι . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου .
οπότε
, οπότε
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)
Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο :Soteris έγραψε:Β' Γυμνασίου
Πρόβλημα 4
Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο . Η διαγώνιος είναι κάθετη στην στο σημείο . Αν και , να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο του τραπεζίου .
Στο ορθογώνιο τρίγωνο , είναι: , ενώ στο ορθογώνιο τρίγωνο , είναι:
. Άρα:
Από Πυθαγόρειο τώρα στο :
Η περίμετρος λοιπόν είναι: και το εμβαδόν:
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)
Soteris έγραψε:Β' Γυμνασίου
Πρόβλημα 2
Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι ακέραιος.
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)
Αφού οι αριθμοί και διαιρούμενοι με τον ίδιο αριθμό αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο, η διαφορά τους θα αφήνει υπόλοιπο , όμωςSoteris έγραψε:Τα θέματα της Α' Γυμνασίου του διαγωνισμού. Θα ακολουθήσουν τα θέματα της Β' και Γ' τάξης σε επόμενες αναρτήσεις.
Πρόβλημα 2
Οι αριθμοί και όταν διαιρεθούν με τον θετικό ακέραιο αριθμό , αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και στις τρεις περιπτώσεις. Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον αριθμό ;
αποκλείεται αφού διαιρεί τους , άρα και ελέγχοντας τους αριθμούς έχουμε:
και
Οπότε , δηλαδή το ίδιο υπόλοιπο () με τους τρεις αριθμούς.
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)
Καλησπέρα σε όλους.Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 3
Στο πιο κάτω σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι . Το εμβαδόν του τριγώνου είναι και το εμβαδόν του τριγώνου είναι . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου .
Καλησπέρα Ευθύμη ( δεν λέω κάτι διαφορετικό , απλώς λίγο πιο πρακτικά)
Δεν γνωρίζω τι διδάσκονται στο Δημοτικό και τι στην Α Γυμνασίου οι μαθητές στην Κύπρο.
Ας δούμε μια λύση μάλλον πρακτική αλλά ίσως και με υπέρβαση, άρα με επιφύλαξη.
Το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι . Αν φέρουμε τη διαγώνιο ,
το εμβαδόν του καθενός από τα ορθογώνια τρίγωνα που χωρίζεται είναι .
Το εμβαδόν του τριγώνου θα είναι δηλαδή διπλάσιο από το εμβαδόν του τριγώνου κι αφού αυτά τα τρίγωνα έχουν κοινό ύψος το ,
αναγκαστικά το είναι τα της μιας διάστασης του ορθογωνίου .Ομοίως βρίσκουμε ότι είναι τα της άλλης διάστασης του ορθογωνίου
Τώρα το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου θα είναι του ολικού εμβαδού του ορθογωνίου δηλαδή και άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι :
.
Ν.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)
Καλησπέρα Ευθύμη και Νίκο, καλησπέρα σε όλους.Soteris έγραψε:Τα θέματα της Α' Γυμνασίου του διαγωνισμού. Θα ακολουθήσουν τα θέματα της Β' και Γ' τάξης σε επόμενες αναρτήσεις.
Πρόβλημα 3
Στο πιο κάτω σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι . Το εμβαδόν του τριγώνου είναι και το εμβαδόν του τριγώνου είναι . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου .
Κι εγώ κάπως διαφορετικά, απ' ότι ο Ευθύμης και ο Νίκος.
Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι και
Άρα:
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)
Καμμιά υπέρβαση..Doloros έγραψε:Καλησπέρα σε όλους.Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 3
Στο πιο κάτω σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι . Το εμβαδόν του τριγώνου είναι και το εμβαδόν του τριγώνου είναι . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου .
Καλησπέρα Ευθύμη ( δεν λέω κάτι διαφορετικό , απλώς λίγο πιο πρακτικά)
Δεν γνωρίζω τι διδάσκονται στο Δημοτικό και τι στην Α Γυμνασίου οι μαθητές στην Κύπρο.
Ας δούμε μια λύση μάλλον πρακτική αλλά ίσως και με υπέρβαση, άρα με επιφύλαξη.
Το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι . Αν φέρουμε τη διαγώνιο ,
το εμβαδόν του καθενός από τα ορθογώνια τρίγωνα που χωρίζεται είναι .
Το εμβαδόν του τριγώνου θα είναι δηλαδή διπλάσιο από το εμβαδόν του τριγώνου κι αφού αυτά τα τρίγωνα έχουν κοινό ύψος το ,
αναγκαστικά το είναι τα της μιας διάστασης του ορθογωνίου .Ομοίως βρίσκουμε ότι είναι τα της άλλης διάστασης του ορθογωνίου
Τώρα το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου θα είναι του ολικού εμβαδού του ορθογωνίου δηλαδή και άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι :
.
Ν.
Σωτήρης Λοϊζιάς
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)
Ευθύμη, σε χαιρετώ. Να προσθέσω την περίπτωση .ealexiou έγραψε:Αφού οι αριθμοί και διαιρούμενοι με τον ίδιο αριθμό αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο, η διαφορά τους θα αφήνει υπόλοιπο , όμωςSoteris έγραψε:Τα θέματα της Α' Γυμνασίου του διαγωνισμού. Θα ακολουθήσουν τα θέματα της Β' και Γ' τάξης σε επόμενες αναρτήσεις.
Πρόβλημα 2
Οι αριθμοί και όταν διαιρεθούν με τον θετικό ακέραιο αριθμό , αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και στις τρεις περιπτώσεις. Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον αριθμό ;
αποκλείεται αφού διαιρεί τους , άρα και ελέγχοντας τους αριθμούς έχουμε:
και
Οπότε , δηλαδή το ίδιο υπόλοιπο () με τους τρεις αριθμούς.
Σωτήρης Λοϊζιάς
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3537
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)
Καλημέρα σας…μια από τα ίδια! Από ,οπότε , συνεπώςSoteris έγραψε:
Πρόβλημα 3
Στο πιο κάτω σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι . Το εμβαδόν του τριγώνου είναι και το εμβαδόν του τριγώνου είναι . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τριγώνου .
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)
Γ' Γυμνασίου
Πρόβλημα 1
Αν πραγματικοί αριθμοί με , να δείξετε ότι:
(α)
(β)
(γ)
Πρόβλημα 2
Δίνεται τρίγωνο και έστω τυχαία σημεία στις πλευρές , αντίστοιχα. Οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται στο σημείο . Να δείξετε ότι:
Πρόβλημα 3
(α) Αν , να υπολογιστεί η τιμή του , ώστε το πολυώνυμο να διαιρείται με το .
(β) Να λυθεί η εξίσωση:
Πρόβλημα 4
Αν ακέραιοι αριθμοί, να λυθεί η εξίσωση:
Πρόβλημα 1
Αν πραγματικοί αριθμοί με , να δείξετε ότι:
(α)
(β)
(γ)
Πρόβλημα 2
Δίνεται τρίγωνο και έστω τυχαία σημεία στις πλευρές , αντίστοιχα. Οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται στο σημείο . Να δείξετε ότι:
Πρόβλημα 3
(α) Αν , να υπολογιστεί η τιμή του , ώστε το πολυώνυμο να διαιρείται με το .
(β) Να λυθεί η εξίσωση:
Πρόβλημα 4
Αν ακέραιοι αριθμοί, να λυθεί η εξίσωση:
Σωτήρης Λοϊζιάς
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)
Καλημέρα ΣωτήρηSoteris έγραψε:Γ' Γυμνασίου
Πρόβλημα 3
(β) Να λυθεί η εξίσωση:
ή ή
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)
Είναι και το ζητούμενο εδείχθη.Soteris έγραψε:Γ' Γυμνασίου
Πρόβλημα 2
Δίνεται τρίγωνο και έστω τυχαία σημεία στις πλευρές , αντίστοιχα. Οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται στο σημείο . Να δείξετε ότι:
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)
Σωτήρη είμαι περίεργος να δω πώς θα τα πάνε σε αυτό το θέμα οι μαθητές.Soteris έγραψε: Πρόβλημα 4
Αν ακέραιοι αριθμοί, να λυθεί η εξίσωση:
Τα υπόλοιπα της διαίρεσης με το ενός τετραγώνου είναι
Οπότε τα πιθανά υπόλοιπα του αριστερού μέλους είναι ενώ του δεξιού το υπόλοιπο είναι οπότε δεν έχουμε λύσεις.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Γυμνάσιο)
Καλημέρα.Soteris έγραψε:Γ' Γυμνασίου
Πρόβλημα 3
(α) Αν , να υπολογιστεί η τιμή του , ώστε το πολυώνυμο να διαιρείται με το .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες