Euler 2015/4

#1

Υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to [0,\infty)$ με την ιδιότητα για κάθε $a \in \mathbb{R}$ να ισχύει ότι $\displaystyle{ \lim_{x \to a} f(x) = \infty}$ ;

Σημείωση: Δεν γίνεται καμία υπόθεση για την συνέχεια της

.

Nick1990 · #2

Μετά από πολύ καιρό:

Δεν υπάρχει.

Διαφορετικά, αν

είναι τέτοια συνάρτηση, ορίζουμε $A_n = f^{-1}([n, n+1)), n \in \mathbb{N}$ .

Η ένωση των παραπάνω συνόλων είναι το $\mathbb{R}$ , άρα ένα τουλάχιστον είναι υπεραριθμήσιμο, έστω το A_m

. Η τομή του A_m

με κάποιο από τα διαστήματα $[-k, k], k \in \mathbb{N}$ είναι άπειρη, άρα υπάρχει ακολουθία $\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ εντός του A_m

που συγκλίνει σε κάποιο $y \in \mathbb{R}$ . Όμως τότε $m \leq f(y_n) < m+1$ για όλα τα

, το οποίο είναι άτοπο.

Euler 2015/4

Euler 2015/4

Re: Euler 2015/4

Μέλη σε σύνδεση