Σύνολο με ιδιότητα

#1

Πόσους το πολύ αριθμούς μπορούμε να επιλέξουμε από το σύνολο $\{1,2,...,2015\}$ έτσι ώστε να μην υπάρχουν δύο από αυτούς με διαφορά πρώτο αριθμό;

#2

Λήμμα: Έστω σύνολο

από

συνεχόμενους αριθμούς και έστω

υποσύνολο του

ώστε η διαφορά κάθε δύο αριθμών του

να μην είναι πρώτος. Τότε $|B| \leqslant 2$ .

Απόδειξη λήμματος: Έστω

ο μικρότερος αριθμός του

. Τότε $x+2,x+3,x+5,x+7 \notin B$ άρα οι υπόλοιποι αριθμοί που πιθανό να ανήκουν στο

είναι οι

. Το πολύ ένας από αυτούς όμως μπορεί να ανήκει στο

αφού οι ανά δύο διαφορές τους είναι πρώτοι.

Πόρισμα: Μπορούμε να διαλέξουμε το πολύ 504

αριθμούς από το $\{1,2,\ldots,2015\}$ με την ζητούμενη ιδιότητα.

Απόδειξη πορίσματος: Άμεση αφού $504 = 2\lceil 2015/8\rceil$ .

Κατασκευή: Μπορούμε να διαλέξουμε 504

αριθμούς με την ζητούμενη ιδιότητα παίρνοντας όλους τους αριθμούς της μορφής $1 \bmod 4$ .

Σύνολο με ιδιότητα

Σύνολο με ιδιότητα

Re: Σύνολο με ιδιότητα

Μέλη σε σύνδεση