Ανισότητα με διανύσματα

Eukleidis · #1

Για τα τρια διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c }$ δείξτε ότι:
$\displaystyle{\left| {\vec c} \right|\left| {\vec a - \vec b} \right| \le \left| {\vec a} \right|\left| {\vec b - \vec c} \right| + \left| {\vec b} \right|\left| {\vec c - \vec a} \right|}$
Την βρήκα σε ένα βιβλίο, δε ξέρω αν ειναι σωστή και δεν την έχω λύσει ακόμα, με έχει παιδέψει αρκετά!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Σωστή είναι .΄
Αλλά είναι τετριμμένη όπως έχει γραφεί.

Eukleidis · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Σωστή είναι .΄
Αλλά είναι τετριμμένη όπως έχει γραφεί.

Ναι τη διόρθωσα ! Ευχαριστώ

#4

Είναι το θεώρημα Πτολεμαίου!

#5

Είναι ουσιαστικά η ανισότητα του Πτολεμαίου. (Προσπάθησε να ελέγξεις γιατί!)

Για την απόδειξη, ξεκίνα από την ισότητα

$\displaystyle{ \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} - \mathbf{c}) + \mathbf{b} \cdot(\mathbf{c} - \mathbf{a}) = \mathbf{c} \cdot (\mathbf{b} - \mathbf{a})}$

Όπου με $\mathbf{a}$ συμβολίζω το $\vec{a}$ κ.τ.λ.

Με πρόλαβε ο Θάνος! Αφήνω για την υπόδειξη.

Επεξεργασία: Η υπόδειξη δεν βοηθάει! Δείτε δυο αναρτήσεις πιο κάτω.

Eukleidis · #6

Σας ευχαριστώ πολύ!

#7

Όπως με ενημέρωση ο Σταύρος Παπαδόπουλος υπάρχει πρόβλημα με την πιο πάνω υπόδειξη. Για να δουλέψει θα ήθελα μετά που θα πάρω μέτρα διανυσμάτων να χρησιμοποιήσω ότι $\|\mathbf{c}\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{a})\| \geqslant \|\mathbf{c}\|\, \|\mathbf{b}-\mathbf{a}\|$ το οποίο εν γένει είναι λανθασμένο.

Δίνω λοιπόν μια διαφορετική υπόδειξη: Για μη μηδενικά διανύσματα δείξτε ότι

$\displaystyle{ \frac{\left\| \mathbf{a} - \mathbf{b} \right\|}{\|\mathbf{a}\|\, \|\mathbf{b}\|} = \left\| \frac{1}{\|\mathbf{a}\|^2}\mathbf{a} - \frac{1}{\|\mathbf{b}\|^2}\mathbf{b} \right\|}$

Ακολούθως χρησιμοποιήστε μια κατάλληλη τριγωνική ανισότητα.

[Χρησιμοποιώ το $\|\mathbf{v}\|$ για να δηλώσω το μέτρο του διανύσματος $\mathbf{v}$ .]

STOPJOHN · #8

Kαλημέρα ,ολοκληρώνωντας τη λύση με την υπόδειξη του Δημήτρη :

Θεωρούμε τα μοναδιαία διανύσματα που είναι προσαρτημένα στις διευθύνσεις των διανυσμάτων που δόθηκαν ,δηλαδή $\vec{a}=\left|\vec{a} \right|.\vec{a_{0}},\vec{b}=\left|\vec{b} \right|.\vec{b_{0}},\vec{c}=\left|\vec{c} \right|.\vec{c_{0}},$

Τότε είναι

$\left|\vec{a} -\vec{b}\right|= \left|\left|\vec{b} \right|\vec{a_{0}}-\left|\vec{a} \right|\vec{b_{0}} \right|$ Η σχέση αυτή είναι ισοδύναμη με την υποδειχθείσα .Συνεπώς θα είναι

$A=\left|\vec{c} \right|\left|\vec{a}-\vec{b} \right|=\left|\vec{w} -\vec{u}\right|,(1), B=\left|\vec{a} \right|\left|\vec{b}-\vec{c} \right|=\left|\vec{u}-\vec{v} \right|,(2), C=\left|\vec{b} \right|\left|\vec{c}-\vec{a} \right|=\left|\vec{v}-\vec{w} \right|,(3)$

Όπου

$\vec{w}=\left|\vec{c} \right|\left|\vec{b} \right|\vec{a_{0}}, \vec{u}=\left|\vec{a} \right|\left|\vec{c} \right|\vec{b_{0}}, \vec{v}=\left|\vec{a} \right|\left|\vec{b} \right|\vec{c_{0}}$

Προφανώς είναι

$B+C\geq A$

δηλαδή η ζητούμενη σχέση

Γιάννης

#9

Demetres έγραψε:Όπως με ενημέρωση ο Σταύρος Παπαδόπουλος υπάρχει πρόβλημα με την πιο πάνω υπόδειξη. Για να δουλέψει θα ήθελα μετά που θα πάρω μέτρα διανυσμάτων να χρησιμοποιήσω ότι $\|\mathbf{c}\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{a})\| \geqslant \|\mathbf{c}\|\, \|\mathbf{b}-\mathbf{a}\|$ το οποίο εν γένει είναι λανθασμένο.

Δίνω λοιπόν μια διαφορετική υπόδειξη: Για μη μηδενικά διανύσματα δείξτε ότι

$\displaystyle{ \frac{\left\| \mathbf{a} - \mathbf{b} \right\|}{\|\mathbf{a}\|\, \|\mathbf{b}\|} = \left\| \frac{1}{\|\mathbf{a}\|^2}\mathbf{a} - \frac{1}{\|\mathbf{b}\|^2}\mathbf{b} \right\|}$

Ακολούθως χρησιμοποιήστε μια κατάλληλη τριγωνική ανισότητα.

[Χρησιμοποιώ το $\|\mathbf{v}\|$ για να δηλώσω το μέτρο του διανύσματος $\mathbf{v}$ .]

Ο μόνος τρόπος που βλέπω για την απόδειξη της αρχικής ανισότητας είναι η παραπάνω υπόδειξη, και ο μόνος τρόπος που βλέπω για την απόδειξη της υπόδειξης είναι καθαρά υπολογιστικός, για τρισδιάστατα (πχ) διανύσματα $\mathbf{a}=<a_1, a_2, a_3>, \mathbf{b}=<b_1, b_2, b_3>$ προκύπτει από την ταυτότητα

(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)((a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2)=

Προχωράμε στην απόδειξη της αρχικής ανισότητας που πρότεινε ο Γιώργος:

Χρησιμοποιώντας την τριγωνική ανισότητα προκύπτει άμεσα η ανισότητα

$\displaystyle\left\| \frac{1}{\|\mathbf{a}\|^2}\mathbf{a} - \frac{1}{\|\mathbf{b}\|^2}\mathbf{b} \right\|}\leq \displaystyle\left\| \frac{1}{\|\mathbf{b}\|^2}\mathbf{b} - \frac{1}{\|\mathbf{c}\|^2}\mathbf{c} \right\|}+\displaystyle\left\| \frac{1}{\|\mathbf{c}\|^2}\mathbf{c} - \frac{1}{\|\mathbf{a}\|^2}\mathbf{a} \right\|},$

από την οποία προκύπτει άμεσα, χρησιμοποιώντας την υπόδειξη-ταυτότητα του Δημήτρη, η ανισότητα

$\displaystyle{ \frac{\left\| \mathbf{a} - \mathbf{b} \right\|}{\|\mathbf{a}\|\, \|\mathbf{b}\|}\leq \displaystyle{ \frac{\left\| \mathbf{b} - \mathbf{c} \right\|}{\|\mathbf{b}\|\, \|\mathbf{c}\|}+\displaystyle{ \frac{\left\| \mathbf{c} - \mathbf{a} \right\|}{\|\mathbf{c}\|\, \|\mathbf{a}\|},$

που είναι ισοδύναμη προς το ζητούμενο.

[Πέρα από το Θεώρημα/Ανισότητα Πτολεμαίου (άμεση εφαρμογή για $\mathbf{c}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$ ), η προταθείσα ανισότητα μας δίνει -- στην παραπάνω ισοδύναμη μορφή της -- μία πολύ ενδιαφέρουσα μετρική στον R^n

, ενώ στον R^3

μας δίνει ένα θεώρημα που δεν θυμάμαι να έχω ξαναδεί: σε κάθε τετράεδρο ABCD

ισχύει η ανισότητα $|CD|\cdot |AB|\leq |BD|\cdot |AC|+|AD|\cdot |BC|$ .]

Γιώργος Μπαλόγλου

#10

gbaloglou έγραψε: και ο μόνος τρόπος που βλέπω για την απόδειξη της υπόδειξης είναι καθαρά υπολογιστικός

Ύψωσε στο τετράγωνο.

Al.Koutsouridis · #11

gbaloglou έγραψε: [Πέρα από το Θεώρημα/Ανισότητα Πτολεμαίου (άμεση εφαρμογή για $\mathbf{c}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$ ), η προταθείσα ανισότητα μας δίνει -- στην παραπάνω ισοδύναμη μορφή της -- μία πολύ ενδιαφέρουσα μετρική στον , ενώ στον μας δίνει ένα θεώρημα που δεν θυμάμαι να έχω ξαναδεί: σε κάθε τετράεδρο ισχύει η ανισότητα $|CD|\cdot |AB|\leq |BD|\cdot |AC|+|AD|\cdot |BC|$ .]

Υπάρχει και στο βιβλίο Recent advances in geometric inequalities, Dragoslav S. Mitrinovic, J. Pecaric, V. Volenec, στο κεφάλαιο με τα τετράεδρα.

mathematica.gr

Ανισότητα με διανύσματα

Ανισότητα με διανύσματα

Re: Ανισότητα με διανύσματα

Re: Ανισότητα με διανύσματα

Re: Ανισότητα με διανύσματα

Re: Ανισότητα με διανύσματα

Re: Ανισότητα με διανύσματα

Re: Ανισότητα με διανύσματα

Re: Ανισότητα με διανύσματα

Re: Ανισότητα με διανύσματα

Re: Ανισότητα με διανύσματα

Re: Ανισότητα με διανύσματα

Μέλη σε σύνδεση