Βρείτε την f...

M.S.Vovos · #1

Θεωρούμε τη παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow (0,+\infty )$ , με , για την οποία ισχύει:

$\displaystyle f'(f(x))f'(x)+\frac{f'(x)}{f(x)}+f(e^{x})+x=f(f(x))+lnf(x)+e^{x}f'(e^{x})+1$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης .

Φιλικά,
Μάριος

lowbaper92 · #2

Η σχέση γράφεται:

$\displaystyle{\left[f\left(f\left(x \right) \right)+lnf\left(x \right)-f\left(e^{x} \right)-x \right]'=f\left(f\left(x \right) \right)+lnf\left(x \right)-f\left(e^{x} \right)-x\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow f\left(f\left(x \right) \right)+lnf\left(x \right)-f\left(e^{x} \right)-x=ce^{x}\mathop \Leftrightarrow \limits^{c=0}}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow f\left(f\left(x \right) \right)+lnf\left(x \right)=f\left(e^{x} \right)+lne^{x}\; \left(1 \right)}$

Θεωρούμε $h\left(x \right)=f\left(x \right)+lnx$ , η οποία με τον ορισμό προκύπτει γνησίως αύξουσα και 1-1.

Άρα η $\left(1 \right)$ γράφεται $\displaystyle{h\left(f\left(x \right) \right)=h\left(e^{x} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{h:"1-1"}f\left(x \right)=e^{x}\; ,x\in \mathbb{R}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Να σημειώσω ότι και εδώ δεν χρειάζεται να υποθέσουμε
ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

Δικαιολόγηση (εκτός φακέλου)

Από την (1) παραπάνω προκύπτει ότι είναι 1-1.
Αρα είναι γνησίως μονότονη.
Αν ήταν γνησίως φθίνουσα θα είχε πεπερασμένο όριο στο άπειρο.
Παίρνοντας όριο στο άπειρο στην (1) έχουμε άτοπο.
Αρα είναι γνησίως αύξουσα.

Βρείτε την f...

Βρείτε την f...

Re: Βρείτε την f...

Re: Βρείτε την f...

Μέλη σε σύνδεση