SEEMOUS 2015/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
emouroukos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1417
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

SEEMOUS 2015/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Κυρ Μαρ 08, 2015 10:48 pm

3) Για κάθε ακέραιο n>2, έστω A,B,C,D\in\mathcal{M} _n (\mathbb{R} ) πίνακες για τους οποίους ισχύει AC-BD=I_n και AD+BC=O_n.

Να αποδειχθεί ότι:

α) CA-DB=I_n και DA+CB=O_n,

β) \det(AC)\geq 0 και (-1)^n \det(BD)\geq 0.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.

Λέξεις Κλειδιά:
Antonis_Z
Δημοσιεύσεις: 524
Εγγραφή: Δευ Σεπ 05, 2011 12:07 am

Re: SEEMOUS 2015/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Antonis_Z » Τρί Μαρ 10, 2015 6:00 pm

Μια σκιαγράφηση λύσης(διαφορετικής απ'την επίσημη) για το-ομολογουμένως-δύσκολο 3β(το έλυσε πλήρως μόνο ένα άτομο στο διαγωνισμό).

Ας ονομάσουμε με τη σειρά τις 4 σχέσεις που έχουμε (1),(2),(3),(4).
C\cdot (1)\implies CAC-CBD=C
(3)\cdot C\implies CAC-DBC=C
Άρα CBD=DBC\implies ACBD=ADBC.
Επίσης,D\cdot (1)\implies DAC-DBD=D
και (3)\cdot D\implies CAD-DBD=D
άρα DAC=CAD\implies ADAC=ACAD.
Τώρα AC\cdot (1)\implies (AC)^2-ACBD=AC και AD\cdot (2)\implies (AD)^2+ADBC=O_n.
Με πρόσθεση των 2 τελευταίων (AC)^2+(AD)^2=AC (λόγω των προηγούμενων σχέσεων).
Τέλος πάλι λόγω των προηγούμενων σχέσεων έχουμε AC=(AC+iAD)(AC-iAD)\implies \det(AC)=|\det(AC+iAD)|^2\geq 0.
Για την απόδειξη της 2ης ανισότητας παρατηρήστε ότι είναι ισοδύναμη με την 1η...
Ουσιαστικά πρόκειται για την ιδέα της λύσης του Κωνσταντίνου Τσίνα απ'το διαγωνισμό.


Αντώνης Ζητρίδης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8468
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2015/3

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιούλ 25, 2017 5:08 pm

Βάζω μια απάντηση για το (α) που ήταν πιο απλό ώστε να κλείσει αυτό το θέμα:

Οι συνθήκες δίνουν \begin{pmatrix} A & B \\ -B & A\end{pmatrix}\begin{pmatrix} C & D \\ -D & C\end{pmatrix} = I. Άρα είναι και \begin{pmatrix} C & D \\ -D & C\end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & B \\ -B & A\end{pmatrix} = I. Αυτό δίνει τις άλλες δύο συνθήκες.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες