ασκηση τη χρειαζομαι για διαγωνισμα...SOS!!!!

μαριαννα · #1

Έστω f:R->R με $f^3(x)+f(x)+1=x^2 \,\,$ για καθε x που ανηκει στο R. Δειξτε ότι:
α) f(1)=0,
β) δειξτε οτι η f δεν αντιστρεφεται,
γ) $|f(x)|\le |x^2-1|$ για καθε χ που ανηκει στο R,
δ) f συνεχης στο 1,
ε) f '(1)=2.

Edit: διόρθωσα το κώδικα LATEX και άλλα.
Παρακαλώ marianna να γράφεις σε LATEX, όπως ορίζουν οι κανονισμοί του matematica
M.Λ.

#2

Αφού πρόκειται για διαγώνισμα, ένας λόγος παραπάνω να σε παροτρύνουμε να εργαστείς μόνη σου.

Όταν και άμα έρθεις σε αδιέξοδο, θα σου δώσουμε ιδέες πώς να προχωρήσεις. Δείξε μας όμως την εργασία σου μέχρι εδώ. Για την ώρα ας δώσω μερικές ιδέες:

Στο 1) το πρώτο βήμα είνα να θέσεις x = 1 και να λύσεις την εξίσωση ως προς f(x).

Στο 2) βρες δύο διαφορετικές τμές του x, ας πούμε α και β, με f(α) = f(β),

και λοιπά.

liolios19 · #3

Είναι για x=1 $f^3(1)+f(1)+1=1\Rightarrow f(1)(f^2(1)+1)=0\Rightarrow f(1)=0$ . ΄Ομοια f(-1)=0, άρα δεν αντιστρέφεται.
Επίσης $f(x)(f^2(x)+1)=x^2-1\Rightarrow |f(x)||f^2(x)+1|=|x^2-1|\Rightarrow |f(x)|\leq|x^2-1| afoy (f^2(x)+1 \geq 1)$ .
Άρα $|1-x^2|\leq f(x)|\leq |x^2-1| \cdots (kritirio parebolis) \Rightarrow \lim_{x\to 1}f(x)=0 =f(1)$ .
Διαίρεσε μετά με χ-1 και ξανά κριτήριο παρεμβολής και θα πάρεις την παράγωγο.

μαριαννα · #4

καποιο λαθος κανω και δεν μπορω να βρω την παραγωγο......

#5

μαριαννα έγραψε:καποιο λαθος κανω και δεν μπορω να βρω την παραγωγο......

Κάνε χρήση αυτού που γράφει ο liolios19, παραπάνω. Συγκεκριμένα (*),

Άρα $-|1-x^2|\leq |f(x) - f(1)|\leq |x^2-1|$

Διαίρεσε τώρα με το x - 1, και λοιπά.

(*) διόρθωσα ένα μικρό τυπογραφικό σφάλμα του liolios19 (λείπει ένα "-")

#6

Η αρχική σχέση για $x \neq 1$ , γράφεται:

$\displaystyle \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{x+1}{f^2(x)+1}$ και πάρε όριο στο 1 και στα δύο μέλη,

χρησιμοποιώντας τη συνέχεια στο 1.

liolios19 · #7

Σωστό, ευχαριστώ

ασκηση τη χρειαζομαι για διαγωνισμα...SOS!!!!

ασκηση τη χρειαζομαι για διαγωνισμα...SOS!!!!

Re: ασκηση τη χρειαζομαι για διαγωνισμα...SOS!!!!

Re: ασκηση τη χρειαζομαι για διαγωνισμα...SOS!!!!

Re: ασκηση τη χρειαζομαι για διαγωνισμα...SOS!!!!

Re: ασκηση τη χρειαζομαι για διαγωνισμα...SOS!!!!

Re: ασκηση τη χρειαζομαι για διαγωνισμα...SOS!!!!

Re: ασκηση τη χρειαζομαι για διαγωνισμα...SOS!!!!

Μέλη σε σύνδεση