Vojtech Jarnik 2013/3 Category II

#1

Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο P(x)

με ακέραιους συντελεστές ώστε $P(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25}) = 5+\sqrt[3]{5}$ .

#2

viewtopic.php?p=214528#p214528

#3

Με κάπως διαφορετική εκτέλεση.

Θέτω $\alpha = \sqrt[3]{5}$ και $\omega = \alpha + \alpha^2$ . Επειδή $\omega \in \mathbb{Q}(\alpha)$ και ο $\alpha$ έχει βαθμό

, τότε ο βαθμός του $\omega$ διαιρεί το

. Δεν είναι δύσκολο να δειχθεί ότι ο βαθμός του $\omega$ δεν είναι

αλλά μπορούμε πιο γρήγορα να παρατηρήσουμε ότι αν ο βαθμός ήταν

, τότε το $5+\alpha = P(\omega)$ θα ήταν ρητός, άτοπο.

Άρα υπάρχουν μοναδικά $a,b,c \in \mathbb{Q}$ ώστε $P(\omega) = a + b\omega + c\omega^2$ .

Επειδή οι $\alpha,\alpha^2$ είναι αλγεβρικοί ακέραιοι (ρίζες μονικών πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές) το ίδιο ισχύει και για τον $\omega$ . [Οι αλγεβρικοί ακέραιοι είναι δακτύλιος.] Οπότε οι a,b,c

που βρήκαμε πιο πάνω είναι ακέραιοι.

Αλλά $\omega^2 = \alpha^2 + 2\alpha^3 + \alpha^4 = \alpha^2 + 5\alpha + 10$ . Οπότε $\omega^2-\omega = 4\alpha+10$ . Άρα $\displaystyle{\alpha +5= \frac{\omega^2-\omega+10}{4}.}$

Δηλαδή a=5/2,b=-1/4,c=1/4

, άτοπο.

Αρχιμήδης 6 · #4

Έστω το πολυώνυμο έχει βαθμό

τότε προφανώς

$P(5^{\dfrac{1}{3}}+5^{\dfrac{2}{3}})=C_{2n}(5^{\dfrac{1}{3}})^{2n}+C_{2n-1}(5^{\dfrac{1}{3}})^{2n-1}+...+C_15^{\dfrac{1}{3}}+C_0$

$C_{2n}\neq{0}$ , C_i

ακέραιοι.

Αφού

$P(5^{\dfrac{1}{3}}+5^{\dfrac{2}{3}})=5+5^{\dfrac{1}{3}$ τότε

C_0=5

άρα

$C_{2n}(5^{\dfrac{1}{3}})^{2n}+C_{2n-1}(5^{\dfrac{1}{3}})^{2n-1}+...+C_15^{\dfrac{1}{3}}=5^{\dfrac{1}{3}}$

οπότε

$C_{2n}(5^{\dfrac{1}{3}})^{2n-1}+C_{2n-2}(5^{\dfrac{1}{3}})^{2n-2}+...+C_25^{\dfrac{1}{3}}+C_1=1$

Αδύνατον γιατί C_1

ακέραιος.

*Διόρθωσα ένα τυπογραφικό λάθος στο τέλος.
*Αν κάτι θέλει απόδειξη η είναι λάθος ενημερώστε.

#5

Δημήτρη, τα C_i

δεν είναι μοναδικά. Δεν είμαι σίγουρος λοιπόν πως καταλήγεις σε άτοπο. Δεν θα μπορούσε π.χ. να είναι C_0=5,C_1 = -4

και

;

Αρχιμήδης 6 · #6

Ναι Δημήτρη... Σφάλμα!

Πάντος είναι ενδιαφέρον που έχει λύση στους ρητούς και όχι στους ακέραιους.

Φαντάζομαι οτι θα ισχύει το παρακάτω

$P(5^{\dfrac{1}{3}}+(5^{\dfrac{1}{3}})^2)=c_0+c_15^{\dfrac{1}{3}}$

$c_0c_1\neq0$ θα έχει λύσεις

αν και μόνο αν 4|c_1

Σωστά;

Vojtech Jarnik 2013/3 Category II

Vojtech Jarnik 2013/3 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2013/3 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2013/3 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2013/3 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2013/3 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2013/3 Category II

Μέλη σε σύνδεση