Να εκλαϊκεύσουμε

Christos.N · #1

Μπορούμε να "εκλαϊκεύσουμε" τι εκφράζει ο ορισμός $\displaystyle{\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,dx = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)} \,dx}$ ;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Christos.N έγραψε:Μπορούμε να "εκλαϊκεύσουμε" τι εκφράζει ο ορισμός $\displaystyle{\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,dx = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)} \,dx}$ ;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
προσωπικά αναφερόμουν στο έργο δύναμης , αλλά δεν έχω βρει τμήμα που έχει καλή σχέση με την φυσική

Χρήστο καλησπέρα.
Νομίζω ότι ένας καλός τρόπος είναι να αναφερθούμε σε μια δυναμική αναπαράσταση της δημιουργίας των δύο αυτών ολοκληρωμάτων
με τη βοήθεια κάποιου λογισμικού, για παράδειγμα του Geogebra.

Ας σκεφτούμε στο ακόλουθο σχήμα:

: Εκλαϊκευση 1.png (9.73 KiB) Προβλήθηκε 1839 φορές

Το κόκκινο χωρίο είναι το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης $\displaystyle{f}$ από το ένα μέχρι το ενδιάμεσο $\displaystyle{m}$ και το γαλάζιο είναι
το ολοκλήρωμα από το πέντε μέχρι το ενδιάμεσο $\displaystyle{m}$ .
Η φορά σχηματισμού είναι αντίθετη, πράγμα που φαίνεται όμορφα στο δυναμικό αρχείο που επισυνάπτω, άρα εκεί εδράζεται νομίζω
μια "εκλαϊκευμένη" εντύπωση του ερωτήματός σου.
Στο συνημμένο αρχείο μπορείτε να επερξαστείτε τις δυνατότητες που έχω αποθηκεύσει ώστε να αιτιολογήσετε καλύτερα στους μαθητές
την άποψη αυτή.

Εκλαΐκευση 1.ggb: (11.63 KiB) Μεταφορτώθηκε 58 φορές

Κώστας Δόρτσιος

Grosrouvre · #3

Christos.N έγραψε:Μπορούμε να "εκλαϊκεύσουμε" τι εκφράζει ο ορισμός $\displaystyle{\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,dx = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)} \,dx}$ ;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
προσωπικά αναφερόμουν στο έργο δύναμης , αλλά δεν έχω βρει τμήμα που έχει καλή σχέση με την φυσική

Αρκετά ενδιαφέρον ερώτημα, στο οποίο προσωπικά ακόμη δεν έχω απλοϊκή απάντηση - ερμηνεία.

Υποθέτω ότι η λογική με το έργο δύναμης αναφερόταν σε κλειστή τροχιά. Νομίζω, ότι αυτό δεν μπορεί να γενικευθεί, καθώς μόνον για συντηρητικές δυνάμεις το έργο τους είναι σίγουρα μηδενικό σε κλειστή διαδρομή.

Υπάρχει δηλαδή μία βαθμωτή συνάρτηση, η κλίση της οποίας να είναι αυτή η δύναμη. Κάτι σαν να λέμε ότι η

έχει παράγουσα.

Πάντως δυστυχώς, στην πλειοψηφία των μαθητών, δεν έχει μεταφερθεί ούτε καν η σύνδεση του εσωτερικού γινομένου με το έργο δύναμης...

Α.Αποστόλου · #4

Christos.N έγραψε:Μπορούμε να "εκλαϊκεύσουμε" τι εκφράζει ο ορισμός $\displaystyle{\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,dx = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)} \,dx}$ ;

Ωραίο ερώτημα...που δεν καταλαβαίνουμε τίποτα
γιατί τα μαθηματικά να είναι καλά (και δύσκολα) και ας πάει η φυσική ερμηνεία να κάνει παρέα με τους νεκρούς του κάτω κόσμου.

Για τον ορισμό τα παραδείγματα είναι αρκετά που μπορεί (ίσως και όχι) να γίνει κατανοητή η απαίτηση για αντίθετο πρόσημο στον ορισμό.

Ειδικά τώρα για το έργο δύναμης νομίζω ότι δεν είναι το πλέον απλό παράδειγμα για εισαγωγή, καθότι απαιτούμε -πέραν της αναμενόμενης συνέχειας-
η δύναμη να είναι συντηρητική και με σταθερή διεύθυνση.

Ίσως ευκολότερα γίνει αντιληπτή η έννοια του προσανατολισμού του ολοκληρώματος,
καθώς τα ολοκληρώματα

$\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,dx$ και $\int\limits_b^a {f\left( x \right)} \,dx}$
διαγράφουν το διάστημα μεταξύ των

και

με αντίθετη φορά (αναφέρθηκε βέβαια ήδη από τον κ.Δόρτσιο).
Το παραγόμενο αποτέλεσμα εκφράζει το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της
συνάρτησης και του άξονα x'x

(επεξεργασία, για να καλύψω και την περίπτωση που διαβάζουν μαθητές: και των ευθειών x=a,b

).
Αντίθετη φορά, σημαίνει αντίθετο πρόσημο εξ'ου και η ανάγκη να "κοτσάρει" ο ορισμός ένα αρνητικό πρόσημο.

Ως παράδειγμα να ακολουθήσει ένα διάγραμμα ταχύτητας u(t)

- χρόνου

ενός κινητού,
όπου η απόσταση που διανύει το κινητό για $\Delta t = t_2 -t_1$ είναι το ολοκλήρωμα
$\int\limits_{t_1}^{t_2} {u\left( t \right)} \,dt =S$

Στην συνέχεια να ολοκληρώσουμε στο $- \Delta t$
για να πάρουμε $\int\limits_{t_2}^{t_1} {u\left( t \right)} \,dt = -S$

και έτσι να γίνει αντιληπτό ότι ενώ η απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι βαθμωτό μέγεθος (θετικό φυσικά) το πρόσημο εκφράζει την θετική/αρνητική φορά.
(εννοείται πως και σε αυτή την περίπτωση το διάνυσμα της ταχύτητας έχει σταθερή διεύθυνση ως προς την κίνηση)

Να εκλαϊκεύσουμε

Να εκλαϊκεύσουμε

Re: Να εκλαϊκεύσουμε

Re: Να εκλαϊκεύσουμε

Re: Να εκλαϊκεύσουμε

Μέλη σε σύνδεση