Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2016

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 2016

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Σάβ Φεβ 27, 2016 9:19 pm

Πρόβλημα 1

Κάποιος τοποθετεί στο αυτοκίνητό του τέσσερα καινούργια ελαστικά και αγοράζει και μια καινούργια ρεζέρβα. Τα πέντε ελαστικά είναι τα ίδια. Γνωρίζουμε ότι τα πισινά ελαστικά του αυτοκινήτου φθείρονται έπειτα από \displaystyle{42000 km} ενώ τα μπροστινά ελαστικά φθείρονται έπειτα από \displaystyle{58000 km}.

(α) Να βρείτε τη μέγιστη απόσταση που μπορεί να διανύσει το αυτοκίνητο με τα πέντε αυτά ελαστικά.

(β) Να προτείνετε έναν τρόπο χρήσης των ελαστικών, ώστε το αυτοκίνητο να διανύσει τη μέγιστη δυνατή απόσταση χρησιμοποιώντας και τα πέντε ελαστικά.

Πρόβλημα 2

Δίνεται η συνάρτηση:

\displaystyle{f\left(x \right)=\dfrac{x^3}{3x^2-3x+1}}

Να υπολογίσετε το άθροισμα

\displaystyle{T=\sum_0^{2015} f\left(x_k\right)},

όπου \displaystyle{x_k=\dfrac{k}{2015}}, για \displaystyle{k=0 ,1, 2, \ldots, 2015}.

Πρόβλημα 3

Από την κορυφή \displaystyle{A} σκαληνού τριγώνου \displaystyle{\vartriangle{ABC}} φέρουμε την ευθεία \displaystyle{\left(\epsilon\right)\parallel BC}, την ευθεία \displaystyle{\left(\upsilon\right)\perp BC} και τη διχοτόμο \displaystyle{\left(\delta\right)} της γωνίας \displaystyle{\angle{BAC}}. Από το μέσο \displaystyle{M} της πλευράς \displaystyle{BC} φέρουμε κάθετη στη \displaystyle{\left(\delta\right)}, που τέμνει τη \displaystyle{\left(\delta\right)} στο σημείο \displaystyle{H}, την \displaystyle{\left(\upsilon\right)} στο σημείο \displaystyle{E} και την \displaystyle{\left(\epsilon\right)} στο σημείο \displaystyle{Z}. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{BM^2=MH\cdot ZE}.

Πρόβλημα 4

Έστω \displaystyle{a} ένας θετικός ακέραιος. Για όλους τους θετικούς ακεραίους \displaystyle{\nu} ορίζουμε:

\displaystyle{a_\nu=1+a+a^2+\ldots+a^{\nu-1}}

Έστω \displaystyle{\sigma, \tau} δύο διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοί, που ικανοποιούν την ακόλουθη ιδιότητα:

«Αν \displaystyle{p} είναι ένας πρώτος διαιρέτης του \displaystyle{\sigma-\tau}, τότε ο \displaystyle{p} διαιρεί και τον \displaystyle{a-1}»

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{\dfrac{a_\sigma-a_\tau}{\sigma-\tau}} είναι ακέραιος.


Σωτήρης Λοϊζιάς
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10681
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 201

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Φεβ 28, 2016 8:03 am

Πρόβλημα 3

Από την κορυφή \displaystyle{A} σκαληνού τριγώνου \displaystyle{\vartriangle{ABC}} φέρουμε την ευθεία \displaystyle{\left(\epsilon\right)\parallel BC}, την ευθεία \displaystyle{\left(\upsilon\right)\perp BC}

και τη διχοτόμο \displaystyle{\left(\delta\right)} της γωνίας \displaystyle{\angle{BAC}}. Από το μέσο \displaystyle{M} της πλευράς \displaystyle{BC} φέρουμε κάθετη στη \displaystyle{\left(\delta\right)} , που

τέμνει τη \displaystyle{\left(\delta\right)} στο σημείο \displaystyle{H}, την \displaystyle{\left(\upsilon\right)} στο σημείο \displaystyle{E} και την \displaystyle{\left(\epsilon\right)} στο σημείο \displaystyle{Z}. Ν. δ.ο. \displaystyle{BM^2=MH\cdot ZE} .

Είναι η άσκηση "Μετρική 1" που ανήρτησε ο Γιώργος Βισβίκης εδώ !


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8181
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 201

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Φεβ 28, 2016 10:47 am

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 4

Έστω \displaystyle{a} ένας θετικός ακέραιος. Για όλους τους θετικούς ακεραίους \displaystyle{\nu} ορίζουμε:

\displaystyle{a_\nu=1+a+a^2+\ldots+a^{\nu-1}}

Έστω \displaystyle{\sigma, \tau} δύο διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοί, που ικανοποιούν την ακόλουθη ιδιότητα:

«Αν \displaystyle{p} είναι ένας πρώτος διαιρέτης του \displaystyle{\sigma-\tau}, τότε ο \displaystyle{p} διαιρεί και τον \displaystyle{a-1}»

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{\dfrac{a_\sigma-a_\tau}{\sigma-\tau}} είναι ακέραιος.
Χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι \sigma > \tau.

Έστω p περιττός πρώτος ώστε p|(\sigma-\tau). Έστω k,\ell,m οι μεγαλύτεροι εκθέτες ώστε p^k|(\sigma-\tau), p^{\ell}|a-1 και p^m|a^{\sigma-\tau}-1.

Από "Lifting the Exponent" έχουμε ότι k+\ell = m.

Επειδή

\displaystyle{ \frac{a_{\sigma}-a_{\tau}}{\sigma-\tau} = \frac{a^{\tau}(1+a+\cdots + a^{\sigma-\tau-1})}{\sigma-\tau} = \frac{a^{\tau}(a^{\sigma-\tau}-1)}{(\sigma-\tau)(a-1)}}

τότε από τα πιο πάνω έχουμε ότι p^k|(a_{\sigma}-a_{\tau}).

Για p=2 έστω k,\ell,m οι μεγαλύτεροι εκθέτες ώστε 2^k|(\sigma-\tau), 2^{\ell}|a^2-1 και 2^m|a^{\sigma-\tau}-1.

Από "Lifting the Exponent" έχουμε ότι k+\ell = m+1.

Όπως προηγουμένως είναι

\displaystyle{ \frac{a_{\sigma}-a_{\tau}}{\sigma-\tau} = \frac{a^{\tau}(a^{\sigma-\tau}-1)}{(\sigma-\tau)(a-1)} = \frac{a^{\tau}(a^{\sigma-\tau}-1)(a+1)}{(\sigma-\tau)(a^2-1)}}

Επειδή ο a πρέπει να είναι περιττός, 2|a+1 και άρα από τα πιο πάνω η δύναμη του 2 που διαιρεί τον αριθμητή είναι μεγαλύτερη ή ίση από την δύναμη του 2 που διαιρεί τον παρονομαστή.

Άρα για κάθε πρώτο p έχουμε

\displaystyle{ p^k|(\sigma-\tau) \Rightarrow p^k|(a_{\sigma}-a_{\tau}).}

Οπότε ο \displaystyle{\frac{a_{\sigma}-a_{\tau}}{\sigma-\tau}} είναι όντως ακέραιος.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 201

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Φεβ 28, 2016 7:04 pm

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 2

Δίνεται η συνάρτηση:

\displaystyle{f\left(x \right)=\dfrac{x^3}{3x^2-3x+1}}

Να υπολογίσετε το άθροισμα

\displaystyle{T=\sum_0^{2015} f\left(x_k\right)},

όπου \displaystyle{x_k=\dfrac{k}{2015}}, για \displaystyle{k=0 ,1, 2, \ldots, 2015}.
Είναι \displaystyle{f(x)+f(1-x)=1} οπότε

\displaystyle{T=\sum_0^{2015} f\left(x_k\right)=1008}.


Θανάσης Κοντογεώργης
ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 201

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Δευ Φεβ 29, 2016 9:39 am

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

Κάποιος τοποθετεί στο αυτοκίνητό του τέσσερα καινούργια ελαστικά και αγοράζει και μια καινούργια ρεζέρβα. Τα πέντε ελαστικά είναι τα ίδια. Γνωρίζουμε ότι τα πισινά ελαστικά του αυτοκινήτου φθείρονται έπειτα από \displaystyle{42000 km} ενώ τα μπροστινά ελαστικά φθείρονται έπειτα από \displaystyle{58000 km}.

(α) Να βρείτε τη μέγιστη απόσταση που μπορεί να διανύσει το αυτοκίνητο με τα πέντε αυτά ελαστικά.

(β) Να προτείνετε έναν τρόπο χρήσης των ελαστικών, ώστε το αυτοκίνητο να διανύσει τη μέγιστη δυνατή απόσταση χρησιμοποιώντας και τα πέντε ελαστικά.
Για το α)
Εξετάζω αρχικά το μέγιστο της απόστασης που μπορεί να διανύσει το αυτοκίνητο, χωρίς την χρήση της ρεζέρβας.
Αν x τα χιλιόμετρα που θα διανύσει το αυτοκίνητο, χωρίς τη χρήση της ρεζέρβας, μέχρι την αλλαγή θέσης των ελαστικών (τα μπροστινά να τοποθετηθούν πίσω και τα πισινά μπροστά, τότε τα μπροστινά θα έχουν φθαρεί κατά \dfrac{x}{58000} και απομένει διάρκεια χρήσης 1-\dfrac{x}{58000} και τα πισινά κατά \dfrac{x}{42000}, άρα 1- \dfrac{x}{58000}=\dfrac{x}{42000}\Rightarrow x=24360, άρα η μέγιστη απόσταση, L_{4max}, που μπορεί να διανύσει με 4 ελαστικά είναι L_{4max}=2x=2\cdot 24360=48720\ km, οπότε με τα 5 ελαστικά L_{5max}=48720\cdot \dfrac{5}{4}=60900\ km


Στο β) ερώτημα έχω δυσκολία στην έκφραση-σύνταξη της λύσης (ενός τρόπου χρήσης -αλλαγής - των ελαστικών) και το αφήνω, προς το παρόν.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8181
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 201

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Φεβ 29, 2016 11:10 am

Για το (1β) ονομάζουμε τα ελαστικά 1,2,3,4,5. Θα κάνουμε δέκα διαδρομές των 6090 χιλιομέτρων ως εξής:

Στην πρώτη και δεύτερη διαδρομή αφήνουμε το ελαστικό 1 ως ρεζέρβα. Στην πρώτη διαδρομή έχουμε τα ελαστικά 2,3 μπροστά ενώ στην δεύτερη τα έχουμε πίσω.

Σε αυτές τις δύο πρώτες διαδρομές το μεν ελαστικό 1 δεν φθάρηκε καθόλου ενώ κάθε άλλο από τα υπόλοιπα ελαστικά φθάρηκε κατά

\displaystyle{ \left(\frac{6090}{58000} + \frac{6090}{42000}\right) \times 100\% = 25\%}

Στην τρίτη και τέταρτη διαδρομή αφήνω το ελαστικό 2 πίσω και χρησιμοποιώ τα υπόλοιπα ελαστικά παρόμοια με τις πρώτες δύο διαδρομές ώστε να φθαρούν από επιπλέον 25\% έκαστο. Επαναλαμβάνω με τον ίδιο τρόπο και για τις υπόλοιπες διαδρομές. Στο τέλος θα έχουν φθαρεί όλα από 100\%. Άρα θα μπορέσω όντως να κάνω ολόκληρη την διαδρομή των 60900 χιλιομέτρων.

Το πιο πάνω αποδεικνύει και το (α) αφού για να κάνω περισσότερα από τόσα χιλιόμετρα τουλάχιστον ένα ελαστικό θα έπρεπε να φθαρεί περισσότερο του 100\%.


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για EGMO/BMO/IMO, 201

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Δευ Φεβ 29, 2016 4:27 pm

ealexiou έγραψε:Πρόβλημα 1

Για το α)
Εξετάζω αρχικά το μέγιστο της απόστασης που μπορεί να διανύσει το αυτοκίνητο, χωρίς την χρήση της ρεζέρβας.
Αν x τα χιλιόμετρα που θα διανύσει το αυτοκίνητο, χωρίς τη χρήση της ρεζέρβας, μέχρι την αλλαγή θέσης των ελαστικών (τα μπροστινά να τοποθετηθούν πίσω και τα πισινά μπροστά, τότε τα μπροστινά θα έχουν φθαρεί κατά \dfrac{x}{58000} και απομένει διάρκεια χρήσης 1-\dfrac{x}{58000} και τα πισινά κατά \dfrac{x}{42000}, άρα 1- \dfrac{x}{58000}=\dfrac{x}{42000}\Rightarrow x=24360, άρα η μέγιστη απόσταση, L_{4max}, που μπορεί να διανύσει με 4 ελαστικά είναι L_{4max}=2x=2\cdot 24360=48720\ km, οπότε με τα 5 ελαστικά L_{5max}=48720\cdot \dfrac{5}{4}=60900\ km
Στο β) ερώτημα έχω δυσκολία στην έκφραση-σύνταξη της λύσης (ενός τρόπου χρήσης -αλλαγής - των ελαστικών) και το αφήνω, προς το παρόν.


Για το β)
Η προσέγγιση μου (Ίδια με του Δημήτρη όσον αφορά τον αριθμό των διαδρομών και το μήκος κάθε διαδρομής, με διαφορά στη χρήση των ελαστικών) ήταν:
Ας είναι A,B,C,D και E τα ελαστικά Επειδή η μέγιστη διαδρομή ενός ελαστικού (μπρος – πίσω) βρήκαμε ότι είναι 48720 \ km, (24360\ km μπροστά, 24360\ km πίσω) χρησιμοποιώ ένα ελαστικό συνεχώς μέχρι να φθαρεί, έστω το E για 24360\ km μπροστά και άλλα τόσα πίσω και από τα άλλα τέσσερα (A,B,C,D) αφήνω εναλλάξ ένα ως ρεζέρβα. Πόσες διαδρομές όμως και για πόσα χιλιόμετρα η κάθε μία;
Η “οικονομικότερη” σε αλλαγές ελαστικών είναι προφανώς η αναλογία 4E προς 3(A,B,C,D) με το E μπροστά και όμοια για πίσω, δηλαδή 8E προς 6(A,B,C,D), άρα μήκος κάθε διαδρομής \dfrac{48720}{8}=6090\ Km
Έτσι στα 48760 \ km διαδρομής του αυτοκινήτου εξαντλήσαμε την επάρκεια του E και το αποσύρουμε και κάναμε χρήση των A,B,C,D για 6\cdot6090=36540\ km, (18270\ km μπροστά και άλλα τόσα πίσω) και έχουν επάρκεια για άλλα 48720-36540=12180\ km, άρα άλλες 2 διαδρομές εναλλάσσοντας τα ελαστικά, 6090\ km μπροστά και 6090\ km πίσω.
Άρα συνολική διαδρομή αυτοκινήτου 48720+12180=60900\ km, πιάσαμε το L_{5max}

Παραστατικά οι διαδρομές είναι:
1η και 2η διαδρομή: 6090\ km για κάθε ζεύγος (E,A) και (E,B) μπροστά και 12160\ km τα (C,D) πίσω.
3η και 4η διαδρομή: 12160\ km (A,B) μπροστά και 6090\ km για κάθε ζεύγος (E,C) και (E,D) πίσω.
Αλλαγή θέσης (A,B) από μπροστά πίσω και (C,D) από πίσω μπροστά.
5η και 6η διαδρομή: 6090\ km για κάθε ζεύγος (E,C) και (E,D) μπροστά και 12160\ km το (A,B) πίσω.
7η και 8η διαδρομή: 12160\ km (C,D) μπροστά και 6090\ km για κάθε ζεύγος (E,A) και (E,B) πίσω.
9η διαδρομή: 6090\ km με (C,D) μπροστά και (A,B) πίσω και
10η διαδρομή: 6090\ km με A,B μπροστά και (C,D) πίσω.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες