Άσκηση στο ορισμένο ολοκλήρωμα

AntonisMath75 · #1

Έστω μια συνάρτηση $f:\ [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ με $f'(x)=\sqrt {1+f^2(x)}$ για κάθε $x\in [0,1]$ .
Αν f(0) + f(1) = 0

να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $I=\int_{0}^{1}{f(x)dx}$ .

Ευχαριστώ εκ των προτέρων,

Αντώνης

Rempeskes · #2

AntonisMath75 έγραψε:Έστω μια συνάρτηση $f:\ [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ με $f'(x)=\sqrt {1+f^2(x)}$ για κάθε $x\in [0,1]$ .
Αν να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $I=\int_{0}^{1}{f(x)dx}$ .

Ευχαριστώ εκ των προτέρων,

Αντώνης

$\displaystyle f'(x)=\sqrt{1+f^2(x)}\Rightarrow \frac{f(x)f'(x)}{\sqrt{1+f^2(x)}}=f(x)\Rightarrow \int_{0}^{1}{\frac{f(x)f'(x)}{\sqrt{1+f^2(x)}}}dx=\int_{0}^{1}f(x)dx \Rightarrow \sqrt{1+f^2(1)}-\sqrt{1+f^2(0)}=\int_{0}^{1}f(x)dx \Rightarrow \boxed{\int_{0}^{1}f(x)dx=0}$

margavare · #3

AntonisMath75 · #4

Χίλια ευχαριστώ για τις άμεσες απαντήσεις σας.
Με καλύψατε πλήρως.

Ανδρέας Πούλος · #5

Το ερώτημα που θέτω είναι το εξής:
Υπάρχει συνάρτηση με αυτές τις ιδιότητες;
Ισχυρίζομαι ότι αυτό δεν συμβαίνει.

Ανδρέας Πούλος

#6

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Το ερώτημα που θέτω είναι το εξής:
Υπάρχει συνάρτηση με αυτές τις ιδιότητες;
Ισχυρίζομαι ότι αυτό δεν συμβαίνει.

Ανδρέας Πούλος

...Καλησπέρα σου Ανδρέα...

αν δεν έχω κανει λάθος στις πράξεις υπάρχουν άπειρες...

της μορφής $f(x)=\frac{c({{e}^{x}}-{{e}^{1-x}})}{2},\,\,\,c\in {{R}^{*}}$ ...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Rempeskes · #7

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
Ανδρέας Πούλος έγραψε:Το ερώτημα που θέτω είναι το εξής:
Υπάρχει συνάρτηση με αυτές τις ιδιότητες;
Ισχυρίζομαι ότι αυτό δεν συμβαίνει.

Ανδρέας Πούλος
...Καλησπέρα σου Ανδρέα...

αν δεν έχω κανει λάθος στις πράξεις υπάρχουν άπειρες...

της μορφής $f(x)=\frac{c({{e}^{x}}-{{e}^{1-x}})}{2},\,\,\,c\in {{R}^{*}}$ ...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Καλησπέρα.

Έχω την εντύπωση ότι δεν ικανοποιεί τις δοθείσες συνθήκες.

Παράδειγμα, για c=1

$\frac{1}{2}({e}^{1-x} +e^x)-\sqrt{1+ \left( \frac{e^x -{e}^{1-x}}{2}\right)^2}>0$ $\forall x\in \left[0,1 \right]$

hsiodos · #8

AlexandrosG · #9

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
Ανδρέας Πούλος έγραψε:Το ερώτημα που θέτω είναι το εξής:
Υπάρχει συνάρτηση με αυτές τις ιδιότητες;
Ισχυρίζομαι ότι αυτό δεν συμβαίνει.

Ανδρέας Πούλος
...Καλησπέρα σου Ανδρέα...

αν δεν έχω κανει λάθος στις πράξεις υπάρχουν άπειρες...

της μορφής $f(x)=\frac{c({{e}^{x}}-{{e}^{1-x}})}{2},\,\,\,c\in {{R}^{*}}$ ...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Καλησπέρα.

Νομίζω ότι αυτή με $c=e^{-1/2}$ είναι η μοναδική λύση.

Ένας τρόπος για να βρούμε τις λύσεις είναι ο εξής: παραγωγίζουμε την αρχική σχέση και παίρνουμε $\displaystyle{f''(x)=\frac{f(x)f'(x)}{\sqrt{1+f^2(x)}}=f(x)}$ διότι $f'(x)=\sqrt{1+f^2(x)}$ . Συνεπώς έχουμε διαφορική εξίσωση της μορφής y''=y

η οποία ως γνωστόν (όχι όμως στα πλαίσια της Γ Λυκείου, δεν είμαι σίγουρος, πάνε χρόνια από όταν έδωσα Πανελλήνιες

) έχει λύσεις $y=Ae^x+Be^{-x}$ . Τους συντελεστές τους βρίσκουμε με αντικατάσταση στη σχέση και στις αρχικές συνθήκες.

Ανδρέας Πούλος · #10

Αγαπητοί φίλοι.
Ο ισχυρισμός μου προφανώς δεν ισχύει.
Είχα εφαρμόσει άμεσα την τεχνική του Αλέξανδρου, βρήκα $f(x)=Ae^{x} -Ae^{-x+1}$ ,
αλλά έκανα λάθος πράξεις πάνω στη συνθήκη f(0) + f(1) = 0

και βρήκα

.
Εξ ου και ο ισχυρισμός ότι η συνάρτηση δεν υπάρχει

Δεν πειράζει. Ενδιαφέρον έχει το θέμα, αν η άσκηση κατασκευάστηκε με τη συνάρτηση γνωστή ή από άλλη αφετηρία.
Θα με ενδιέφερε η απάντηση.

Ανδρέας Πούλος

Άσκηση στο ορισμένο ολοκλήρωμα

Άσκηση στο ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Άσκηση στο ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Άσκηση στο ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Άσκηση στο ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Άσκηση στο ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Άσκηση στο ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Άσκηση στο ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Άσκηση στο ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Άσκηση στο ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Άσκηση στο ορισμένο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση