Επαναληπτική(για να μην ξεχνιόμαστε)
Συντονιστής: polysot
Επαναληπτική(για να μην ξεχνιόμαστε)
Έστω η συνάρτηση f(x) = με .
i) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
ii) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της f.
iii) Να λύσετε την ανισότητα .
iv) Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα , τέτοιο ώστε .
Χρήστος
Μέχρι 3/01/2010
i) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
ii) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της f.
iii) Να λύσετε την ανισότητα .
iv) Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα , τέτοιο ώστε .
Χρήστος
Μέχρι 3/01/2010
Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
-
- Δημοσιεύσεις: 243
- Εγγραφή: Τρί Ιουν 23, 2009 10:51 pm
Re: Επαναληπτική(για να μην ξεχνιόμαστε)
Είναι πολύ βράδυ και έτσι μπορεί να έχω κάνει κάποιο απρόσεχτο λάθος......
.
Άρα η γνησίως αύξουσα σε όλο το
Επομένως το σύνολο τιμών τησ συνάρτησης θα είναι
Αλλά εύκολα υπολογίζουμε ότι:
και
Επομένως
.΄
Επομένως .
Επομένως
Αφού η γν.αύξουσα συνάρτηση η
Θεωρούμε την .
Η συνεχής στο και (γιατί f γν.αύξουσα.Άρα και η .)
Παρόμοια παίρνουμε ..Επομένως από θεώρημα bolzano παίρνουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον 1 τέτοιο ωστε ,το οποίο μάλιστα είναι μοναδικό γιατί έαν υπήρχε και άλλο(έστω x_2) θα έπρεπε γιατί η f '1-1'......άρα το μοναδικό...
Y.Γ.
Καλή και δημιουργιή χρονιά σε όλους.
Δημήτρης
.
Άρα η γνησίως αύξουσα σε όλο το
Επομένως το σύνολο τιμών τησ συνάρτησης θα είναι
Αλλά εύκολα υπολογίζουμε ότι:
και
Επομένως
.΄
Επομένως .
Επομένως
Αφού η γν.αύξουσα συνάρτηση η
Θεωρούμε την .
Η συνεχής στο και (γιατί f γν.αύξουσα.Άρα και η .)
Παρόμοια παίρνουμε ..Επομένως από θεώρημα bolzano παίρνουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον 1 τέτοιο ωστε ,το οποίο μάλιστα είναι μοναδικό γιατί έαν υπήρχε και άλλο(έστω x_2) θα έπρεπε γιατί η f '1-1'......άρα το μοναδικό...
Y.Γ.
Καλή και δημιουργιή χρονιά σε όλους.
Δημήτρης
Re: Επαναληπτική(για να μην ξεχνιόμαστε)
Πολύ ωραία Δημήτρη, σε ευχαριστώ
Για το iv) υπάρχει και άλλος τρόπος με Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών
Για το iv) υπάρχει και άλλος τρόπος με Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών
Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες