Μικρές αλλά ίσες

KARKAR · #1

: Μικρές αλλά ίσες.png (20.5 KiB) Προβλήθηκε 842 φορές

Δύο κύκλοι τέμνονται στα A,B

. Τμήμα

έχει τα άκρα του στους δύο κύκλους ,

διέρχεται από το

και έχει μέσο το σημείο

. Οι διχοτόμοι των $\widehat{ABS},\widehat{ABP}$ ,

τέμνουν τους δύο κύκλους στα L,N

αντίστοιχα . Δείξτε ότι : $\widehat{BLM}=\widehat{BNM}$ .

raf616 · #2

Καλησπέρα κ. Θανάση! Πολύ όμορφη άσκηση!

Έστω T, U

τα μέσα των AP, AS

αντιστοίχως.

Αρκεί $\angle NMP = \angle NLB$ . Όμως $\angle NMP = \angle NMT + \angle TMP = \angle NMT + \angle ASB= \angle NMT + \angle ALB$ .

Αρκεί επομένως $\angle NLA = \angle NMT$ . Θα δείξω ότι τα τρίγωνα ALN, NTM

είναι όμοια από όπου το ζητούμενο προκύπτει.

Όμως $\angle NTM = 90^{o} + 180^{o} - \angle SAP = 270^{o} - \angle SAP$ και $\angle LAN = 360^{o} - (\angle LBS + \angle NBP) - \angle SAP = 270^{o} - \angle SAP$ και έτσι τελικά

$\angle NTM = \angle LAN$ . Αρκεί επομένως $\dfrac{LA}{AN} = \dfrac{TM}{NT} \iff \dfrac{NA}{NT} = \dfrac{TM}{LA} = \dfrac{UA}{LA}$ .

Η τελευταία όμως προκύπτει αφού τα ALU, ANT

είναι όμοια αφού είναι ορθογώνια και $\angle ANT = \angle \dfrac{ANP}{2} = \dfrac{180 - \angle SLA}{2} = \angle UAL$ .

Έτσι, το ζητούμενο προκύπτει.

KARKAR · #3

: Μικρές αλλά ίσες.png (36.47 KiB) Προβλήθηκε 744 φορές

...Και σχήμα

Μικρές αλλά ίσες

Μικρές αλλά ίσες

Re: Μικρές αλλά ίσες

Re: Μικρές αλλά ίσες

Μέλη σε σύνδεση