Ανισοτική σχέση

#1

Αν

είναι πραγματικοί αριθμοί μεγαλύτεροι του 1 να αποδείξετε ότι
xy+yz+zx<2xyz+1

Για τους μαθητές της Α Λυκείου μέχρι 10/1/2010

lefteris mastoris · #2

Χρονια πολλα και καλη χρονια σε ολους!Θα δωσω την βασικη ιδεα μονο..Λογω συμμετριας μπορουμε να υποθεσουμε χωρις βλαβη της γενικοτητας οτι o

ειναι μικροτερος η ισος απο τους αλλους 2.Μετα ευκολα,ακομα και με παραγοντοποιηση δειχνουμε πως $f(x,y,z)\geq f(x,y,y)>0$ οπου f(x,y,z)=2xyz-xy-yz-zx+1

και τελειωσαμε....

ΛΕΥΤΕΡΗΣ ΜΑΣΤΟΡΗΣ

#3

lefteris mastoris έγραψε: <...> χωρις βλαβη της γενικοτητας οτι o ειναι μικροτερος η ισος απο τους αλλους 2. Μετα ευκολα,ακομα και με παραγοντοποιηση δειχνουμε πως <...> οπου

Λευτέρη για ξαναδές το. Κάτι δεν μου πάει καλά.

Π.χ. για δοκίμασε τις τιμές x = 100, y = z = 1/10 και έλεγξε αν ισχύει f(x,y,y) > 0.

M.Λ.

lefteris mastoris · #4

Nαι αλλα νομιζω οτι οι αριθμοι μας ειναι μεγαλυτεροι απο την μοναδα απο την υποθεση....

Θα το ξαναδω...

#5

lefteris mastoris έγραψε:Nαι αλλα νομιζω οτι οι αριθμοι μας ειναι μεγαλυτεροι απο την μοναδα απο την υποθεση.... Θα το ξαναδω...

Λευτέρη,

έχεις δίκιο. Δεν είχα δει τον περιορισμό x, y, z > 1.

M.

#6

Ή πιο απλά θέτουμε x=1+k,y=1+m,z=1+t

, όπου

είναι θετικοί και προκύπτει ισοδύναμη ανισότητα που αποδεικνύεται εύκολα.

parmenides51 · #7

s.kap έγραψε:Αν είναι πραγματικοί αριθμοί μεγαλύτεροι του να αποδείξετε ότι

Για τους μαθητές της Α Λυκείου μέχρι 10/1/2010

lefteris mastoris έγραψε:Χρονιά πολλά και καλή χρονιά σε όλους!Θα δώσω την βασική ιδέα μόνο..Λόγω συμμετρίας μπορούμε να υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας οτι o είναι μικρότερος η ίσος από τους άλλους .Μέτα εύκολα,ακόμα και με παραγοντοποίηση δείχνουμε πως $f(x,y,z)\geq f(x,y,y)>0$ οπου και τελειώσαμε.... ΛΕΥΤΕΡΗΣ ΜΑΣΤΟΡΗΣ

Θα ήταν εύκολο να γράψει κάποιος αναλυτικά την παραπάνω λύση;

#8

parmenides51 έγραψε:
s.kap έγραψε:Αν είναι πραγματικοί αριθμοί μεγαλύτεροι του να αποδείξετε ότι

Για τους μαθητές της Α Λυκείου μέχρι 10/1/2010

lefteris mastoris έγραψε:Χρονιά πολλά και καλή χρονιά σε όλους!Θα δώσω την βασική ιδέα μόνο..Λόγω συμμετρίας μπορούμε να υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας οτι o είναι μικρότερος η ίσος από τους άλλους .Μέτα εύκολα,ακόμα και με παραγοντοποίηση δείχνουμε πως $f(x,y,z)\geq f(x,y,y)>0$ οπου και τελειώσαμε.... ΛΕΥΤΕΡΗΣ ΜΑΣΤΟΡΗΣ
Θα ήταν εύκολο να γράψει κάποιος αναλυτικά την παραπάνω λύση;

.

Tώρα, $z-y\ge 0$ και, αφού οι αριθμοί είναι $\ge 1$ , είναι $2xy-x-y\ge 2x-x-y=x-y\ge0$ .

Για την δεύτερη, είναι

$f(x,y,y)= 2xy^2-2xy-y^2+1= (2xy-y-1)(y-1)\ge (2x-y-1)(y-1)=$

$=[(x-y)+(x-1)](y-1)\ge0$ .

M.

#9

parmenides51 έγραψε:
s.kap έγραψε:Αν είναι πραγματικοί αριθμοί μεγαλύτεροι του να αποδείξετε ότι

Για τους μαθητές της Α Λυκείου μέχρι 10/1/2010

lefteris mastoris έγραψε:Χρονιά πολλά και καλή χρονιά σε όλους!Θα δώσω την βασική ιδέα μόνο..Λόγω συμμετρίας μπορούμε να υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας οτι o είναι μικρότερος η ίσος από τους άλλους .Μέτα εύκολα,ακόμα και με παραγοντοποίηση δείχνουμε πως $f(x,y,z)\geq f(x,y,y)>0$ οπου και τελειώσαμε.... ΛΕΥΤΕΡΗΣ ΜΑΣΤΟΡΗΣ
Θα ήταν εύκολο να γράψει κάποιος αναλυτικά την παραπάνω λύση;

Επειδή η ανισότητα είναι συμμετρική, δηλαδή f(x,y,z)=f(x,z,y)=f(y,z,x)=f(y,x,z)=f(z,x,y)=f(z,y,x),

μπορούμε να υποθέσουμε $y=\min \{x,y,z\}.$
(θα μπορούσαμε και $x\geq y\geq z$ .)

Παρατηρούμε ότι $f(x,y,z)- f(x,y,y)=(z-y)(x(y-1)+y(x-1))\geq 0$ και f(x,y,y)=(y-1)((xy-1)+y(x-1))>0.

Συνεπώς, $f(x,y,z)\geq f(x,y,y)>0.$

Η μέθοδος λέγεται mixing variable. Περισσότερα στα:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 23#p993423
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 38#p616238
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... hp?t=23892
http://awesomemath.org/wp-content/uploa ... mixing.pdf
http://awesomemath.org/wp-content/uploa ... mixing.pdf

parmenides51 · #10

Σας ευχαριστώ θερμά για τις απαντήσεις.
Για τις παραπομπές

parmenides51 · #11

Κι ένα άρθρο σχετικό με την παραπάνω μέθοδο εδώ

Inequalities: Mixing Variables by Adrian Tang
(2010 winter camp - Canada IMO Training)

Θα ήταν καλύτερα όταν παραπέμπουμε σε site εκτός

να αναγράφουμε και τα στοιχεία του αρχείου που παραπέμπουμε για την περίπτωση είτε που αλλάξει διεύθυνση είτε που διαγραφεί έτσι ώστε να μπορεί να βρεθεί από τον ενδιαφερόμενο με αναζήτηση στο google, το να δίνουμε απλά ένα link το οποίο ανά πάσα στιγμή μπορεί να πεθάνει δεν αρκεί

edit
προστέθηκε στην version 6

Ανισοτική σχέση

Ανισοτική σχέση

Re: Ανισοτική σχέση

Re: Ανισοτική σχέση

Re: Ανισοτική σχέση

Re: Ανισοτική σχέση

Re: Ανισοτική σχέση

Re: Ανισοτική σχέση

Re: Ανισοτική σχέση

Re: Ανισοτική σχέση

Re: Ανισοτική σχέση

Re: Ανισοτική σχέση

Μέλη σε σύνδεση