Direct

Αρχιμήδης 6 · #1

Είναι γνωστό ότι η εξίσωση a^4-b^4=ec^2

(*) για

έχει μόνο τετριμμένες λύσεις. Το ίδιο και η x^2+1=y^3

1) Για την διοφαντική εξίσωση

$\boxed{x^4+y^4-6x^2y^2=z^2}$

θα κάνω χρήση της ταυτότητας

(x^4+y^4-6x^2y^2)^2+(4x^3y-4xy^3)^2=(x^2+y^2)^4

συνεπώς εύκολα μέσο της (*) βρίσκω όλες τις λύσεις.

2) Για την διοφαντική $\boxed{x^4+4y^4-12x^2y^2=z^2}$

θα κάνω χρήση της ταυτότητας

(x^4+4y^4-12x^2y^2)^2+2(8xy^3-4x^3y)^2=(x^2+2y^2)^4

Συνεπώς θα έχω εξίσωση της μορφής a^4-b^4=2c^2

3) Για την διοφαντική $\boxed{x^4-6x^2y^2-3y^4=1}$ θα κάνω χρήση της ταυτότητας

(x^4+6x^2y^2-3y^4)^3-(x^4-6x^2y^2-3y^4)^3=[6xy(x^4+3y^4)]^2

συνεπώς θα λύσω εξίσωση της μορφής x^2+1=y^3

που έχει λύση την (x,y)=(0,1)

άρα μένει να λύσω το παρακάτω σύστημα

x^4+6x^2y^2-3y^4=1

Τελικά μοναδική λύση της (3) η $(x,y)=(\pm{1},0)$

Αρχιμήδης 6 · #2

Υ.Γ

Στο παραπάνω post έδειξα την συγγένεια της εξίσωσης x^4-6x^2y^2-3y^4=1

(*) με την x^2+1=y^3

(**) με την ταυτότητα 3) .

Πράγματι στην επίλυση της (**) εδώ viewtopic.php?f=63&t=42080 εμφανίζεται κάπου στην μέση της λύσης μου η εξίσωση (*)

Direct

Direct

Re: Direct

Μέλη σε σύνδεση