Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Rempeskes · #41

Tolaso J Kos έγραψε:Λάμπρο αν μου επιτρέπεις μία δύσκολη αλλά διαχρονική.

Άσκηση 15

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ μία παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει και $f(-x) f'(x)=x , \;\; \forall x \in \mathbb{R}$ . Να δείξετε ότι $f(x)>0, \;\; \forall x \in \mathbb{R}$ και ότι η παρουσιάζει ελάχιστο το οποίο να προσδιορίσετε.

Για $x=0\Rightarrow f(0)=1>0$

Έστω ότι $\exists x_o \in \mathbb{R}^{*}: f(x_o)=0$ , τότε 0=x_o

ΑΤΟΠΟ.

Οπότε $f(x)\neq 0$ , $\forall x \in \mathbb{R}$ και εφόσον

συνεχής στο $\mathbb{R}$ ως παραγωγίσιμη, θα έχει σταθερό πρόσημο σε αυτό.

Συνεπώς, $f(0)>0 \Rightarrow f(x)>0$ , $\forall x \in \mathbb{R}$

Άρα $f(-x)\cdot f'(x)>0, \forall x>0 \Rightarrow f'(x)>0, \forall x>0$

και $f(-x)\cdot f'(x)<0, \forall x<0 \Rightarrow f'(x)<0, \forall x<0$

και φυσικά για x=0

, ισχύει ότι f'(0)=0

Οπότε η

γνησίως αύξουσα στο $\left[0,+\infty \right)$

και γνησίως φθίνουσα στο $\left(-\infty,0 \right]$

Παρουσιάζει συνεπώς ελάχιστο στην θέση x=0

, το

maiksoul · #42

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 14 (μία προσωπική κατασκευή)

Εστω συνάρτηση $f:[0, + \infty) \rightarrow R$ γνησίως αύξουσα και κοίλη στο $[0, + \infty)$ , με .

Εστω επίσης η συνάρτηση $g(x)= \frac{x}{ \sqrt{f(x)}}$ , με $A_{g}= { x \in A_{f} / f(x) \neq 0}$ και $g(A_{g})=(0,+ \infty)$ .

Γ) Να δείξετε ότι $\int_{1}^{2} (2x^{7}-x^{2})f(x)dx > \int_{1}^{2} (2x^{5}-1)f(x^{2})dx > \int_{2}^{4} f(x^{2}) dx$

Για το ερώτημα Γ μια απάντηση.

Η συνεχής h(x)=x^2f(x)-f(x^2)

για

δεν έχει ρίζες και άρα διατηρεί πρόσημο.

Από ΘΜΤ ισχύει:
$\displaystyle{ f'(t) = \frac{{f(2) - f(0)}}{{2 - 0}} = \frac{{f(2)}}{2}\,\,\,\,(1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,t \in (0,2)\, }$

$\displaystyle{ f'(k) = \frac{{f(4) - f(2)}}{{4 - 2}} = \frac{{f(4) - f(2)}}{2}\,\,\,\,(2)\,\,\,\,k \in (2,4)\, }$

Η

είναι κοίλη επομένως έχουμε διαδοχικά:
$\displaystyle{ t < k\mathop \Rightarrow \limits^{f' \downarrow } f'(t) > f'(k)\mathop \Rightarrow \limits_{(2)}^{(1)} \frac{{f(2)}}{2} > \frac{{f(4) - f(2)}}{2} \Rightarrow 2f(2) > f(4) \Rightarrow 2f(2) - f(4) > 0\,\,\,(3) }$
Είναι: h(2)=4f(2)-f(4)=2f(2)+2f(2)-f(4)>0

επομένως είναι:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} h(x) \ge 0 \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x^2 f(x) \ge f(x^2 )\,\,\,\,\,\,\forall x \ge 1\,\,\,\,\,(4) \\ \,\, \\ \end{array} }$

με την ισότητα μόνο για x=1

Ακόμη για $\displaystyle{ \,x \ge 1\,\, \Rightarrow x^5 \ge 1 \Rightarrow \,\,\,\,\,2\,x^5 - 1\,\, \ge 1\,\,\, }$

Όπως και $x^2\geq1\Rightarrow 2x^7-x^2\geq 2x^5-1\;\;\;\;\;\;(5)$

Από τις (4),(5) παίρνουμε: $(2x^7-x^2)f(x)\geq( 2x^5-1)f(x^2)$ επομένως ολοκληρώνοντας:

$\displaystyle{ \,\,\,\int\limits_1^2 {{\rm (2x}^{\rm 7} - x^2 )f(x)dx > \int\limits_1^2 {(2x^5 - 1)f(x^2 )dx} } }$
Για την δεξιά ανισότητα έχουμε :

$\displaystyle{ (4) \Rightarrow x^4 f(x^2 ) \ge f(x^4 ) \Rightarrow \,\,\,2\,x^5 f(x^2 ) \ge \,\,2\,x\,f(x^4 )\,\, }$ οπότε

$\displaystyle{ \,\int\limits_1^2 {2\,x^5 f(x^2 )} \,dx > \,\int\limits_1^2 {2\,x\,f(x^4 )} \,dx\,\mathop = \limits_{\scriptstyle u(1) = 1 \hfill \atop \scriptstyle u(2) = 4 \hfill}^{\scriptstyle u = x^2 \hfill \atop \scriptstyle du = 2xdx \hfill} \int\limits_1^4 {2uf(u^2 )du = } \int\limits_1^4 {\,2\,x\,f(\,x^2 )dx} \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \int\limits_1^2 {2\,x^5 f(x^2 )} \,dx > \int\limits_1^4 {\,2\,x\,f(\,x^2 )dx} }$

maiksoul · #43

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 14 (μία προσωπική κατασκευή)

Εστω συνάρτηση $f:[0, + \infty) \rightarrow R$ γνησίως αύξουσα και κοίλη στο $[0, + \infty)$ , με .

Εστω επίσης η συνάρτηση $g(x)= \frac{x}{ \sqrt{f(x)}}$ , με $A_{g}= { x \in A_{f} / f(x) \neq 0}$ και $g(A_{g})=(0,+ \infty)$ .

Δ) Να δείξετε ότι $lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}} = + \infty$

Ε) Αν επιπλέον ισχύει $2f(x^{2})f'(x)=f(x)$ , για κάθε , να δείξετε ότι η δεν είναι παραγωγίσιμη στο .

Για το Δ
Είναι $g(A_g)=(0,+ \infty)$ , από την μονοτονία της

παίρνουμε: $\displaystyle{ \,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = 0\,\,\,\,(1) }$

Έχουμε από τον τύπο της

$\displaystyle{ g^2 (x) = \frac{{x^2 }}{{f(x)}} \Leftrightarrow \frac{{f(x)}}{{x^2 }} = \frac{1}{{g^2 (x)}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) }$

$\displaystyle{ (2) \Rightarrow \,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{{x^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{g^2 (x)}}\mathop = \limits^{(1)} + \infty }$
Για το Ε
Ας υποθέσουμε ότι η

είναι παραγωγίσιμη στο x=0

, θα ναι : $\displaystyle{ \,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{x} = f'(0)\,\,\,\,\,\,(1) }$
Επίσης $\displaystyle{ \,\forall \,x\,\, > 0\,\,\,\mathop \Rightarrow \limits^{f' \downarrow } \,\,f'(x) < f'(0)\,\,\,\,\,(2) }$

Αν $t(x)=\frac{f(x)}{x}$ κοντά στο

τότε: $\displaystyle{ \,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} t(x) = f'(0\,)\,\,\,(3) }$ και $f(x)=xt(x)\Rightarrow f(x^2)=x^2t(x^2)\;\;\;\;\;(4)$

Η επιπλέον δοθείσα, σχέση γράφεται:

$\displaystyle{ \frac{{f(x^2 )}}{{x^2 }}f'(x) = \frac{1}{2}\frac{{f(x)}}{{x^2 }}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(4)} \,\,\,\,\,\,t(\,x^2 )\,\,f'(\,x\,) = \frac{1}{2}\frac{{\,f(\,x\,)}}{{\,x^2 }}\,\,\,\,\,\,\,(5)\,\, }$
επομένως η

έχει όριο.

Έχουμε $\displaystyle{ (2) \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f'(x) \le f'(0)\,\,\,\,(6) }$
Όμως $\displaystyle{ (5) \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f'(x) = \frac{1}{{2f'(0)}}( + \infty ) = + \infty }$

$\displaystyle{ (6) \Rightarrow + \infty \le f'\,(\,0\,)\, }$ ΑΤΟΠΟ
Επομένως η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0

Λάμπρος Μπαλός · #44

maiksoul έγραψε:
Λάμπρος Μπαλός έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 14 (μία προσωπική κατασκευή)

Εστω συνάρτηση $f:[0, + \infty) \rightarrow R$ γνησίως αύξουσα και κοίλη στο $[0, + \infty)$ , με .

Εστω επίσης η συνάρτηση $g(x)= \frac{x}{ \sqrt{f(x)}}$ , με $A_{g}= { x \in A_{f} / f(x) \neq 0}$ και $g(A_{g})=(0,+ \infty)$ .

Δ) Να δείξετε ότι $lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}} = + \infty$

Ε) Αν επιπλέον ισχύει $2f(x^{2})f'(x)=f(x)$ , για κάθε , να δείξετε ότι η δεν είναι παραγωγίσιμη στο .
Για το Δ
Είναι $g(A_g)=(0,+ \infty)$ , από την μονοτονία της παίρνουμε: $\displaystyle{ \,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = 0\,\,\,\,(1) }$

Έχουμε από τον τύπο της

$\displaystyle{ g^2 (x) = \frac{{x^2 }}{{f(x)}} \Leftrightarrow \frac{{f(x)}}{{x^2 }} = \frac{1}{{g^2 (x)}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) }$

$\displaystyle{ (2) \Rightarrow \,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{{x^2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{g^2 (x)}}\mathop = \limits^{(1)} + \infty }$
Για το Ε
Ας υποθέσουμε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο , θα ναι : $\displaystyle{ \,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{x} = f'(0)\,\,\,\,\,\,(1) }$
Επίσης $\displaystyle{ \,\forall \,x\,\, > 0\,\,\,\mathop \Rightarrow \limits^{f' \downarrow } \,\,f'(x) < f'(0)\,\,\,\,\,(2) }$

Αν $t(x)=\frac{f(x)}{x}$ κοντά στο τότε: $\displaystyle{ \,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} t(x) = f'(0\,)\,\,\,(3) }$ και $f(x)=xt(x)\Rightarrow f(x^2)=x^2t(x^2)\;\;\;\;\;(4)$

Η επιπλέον δοθείσα, σχέση γράφεται:

$\displaystyle{ \frac{{f(x^2 )}}{{x^2 }}f'(x) = \frac{1}{2}\frac{{f(x)}}{{x^2 }}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(4)} \,\,\,\,\,\,t(\,x^2 )\,\,f'(\,x\,) = \frac{1}{2}\frac{{\,f(\,x\,)}}{{\,x^2 }}\,\,\,\,\,\,\,(5)\,\, }$
επομένως η έχει όριο.

Έχουμε $\displaystyle{ (2) \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f'(x) \le f'(0)\,\,\,\,(6) }$
Όμως $\displaystyle{ (5) \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f'(x) = \frac{1}{{2f'(0)}}( + \infty ) = + \infty }$

$\displaystyle{ (6) \Rightarrow + \infty \le f'\,(\,0\,)\, }$ ΑΤΟΠΟ
Επομένως η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0

Ευχαριστώ πολύ.
Λίγο διαφορετικά το Ε

Αν η

παραγωγίσιμη στο

, τότε $lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}= m \in R^{+}$

Το $lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{2f(x^{2})} = lim \frac{\frac{f(x)}{x^{2}}}{2 \frac{f(x^{2})}{x^{2}}}= \frac{+\infty}{2m}= + \infty$

Αρα υπάρχει το limf'(x)

Από κανόνα DLH $m = lim \frac{f(x)}{x} = limf'(x)= + \infty$ άτοπο.

Αρα η

δεν είναι παραγωγίσιμη στο

.

Rempeskes · #45

Αν μου επιτρέπετε, να προσθέσω πως την άσκηση που παρέθεσε ο Tolaso J Kos μπορούμε να την κάνουμε πραγματικά δύσκολη (και ταυτοχρόνως πολύ όμορφη όμως), προσπαθώντας να βρούμε τον τύπο της

.

Λάμπρος Μπαλός · #46

Rempeskes έγραψε:Αν μου επιτρέπετε, να προσθέσω πως την άσκηση που παρέθεσε ο Tolaso J Kos μπορούμε να την κάνουμε πραγματικά δύσκολη (και ταυτοχρόνως πολύ όμορφη όμως), προσπαθώντας να βρούμε τον τύπο της .

(1)

Η (1) για x=-x

(2)

(1)-(2) $\Rightarrow f'(x)f(-x)+f(x)(f(-x))'=2x \iff f(x)f(-x)=x^{2}+c$ . Για x=0

το

.

$f(x)f(-x)=x^{2}+1 \Rightarrow f(x)f(-x)f'(x)=(x^{2}+1)f'(x) \iff f(x)x=(x^{2}+1)f'(x) \iff$

$\iff (lnf(x))'=(\frac{ln(x^{2}+1)}{2})' \iff lnf(x)= \frac{ln(x{2}+1)}{2} +c$ . Για x=0

το

Αρα $f(x) = \sqrt{x^{2}+1}$ που επαληθεύει.

Tolaso J Kos · #47

Άσκηση 16 (από περιοδικό)

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ η οποία ορίζεται ως εξής: $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} x\log^2 \left | x \right | & , & x \neq 0 \\ 0& , & x =0 \end{matrix}\right.}$ . Να δείξετε ότι είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ και να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου $\Omega$ που περικλείεται της $\mathcal{C}_f$ , του άξονα x'x

και των ευθειών $x=0, \; x=\frac{1}{e}$ .

Είχε και άλλα ερωτήματα (όπως κυρτότητα, σύνολο τιμών κτλ) αλλά δε τα προσθέτω αφού είναι αρκετά γνωστά ως "μεθοδολογίες" και αρκετά χρονοβόρα στο γράψιμο.

Λάμπρος Μπαλός · #48

ΑΣΚΗΣΗ 17 (ΕΜΕ 2014)

Εστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R \rightarrow R$ , η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις

• f(1)+f(-1)=0

(1) και

• $f'(x)= \sqrt{16+f^{2}(x)}$ (2) , $\forall x \in R$ .

Α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $(f'(x)+f(x))e^{-x}$ είναι σταθερή στο

.

Β) Να αποδείξετε ότι $\int_{-1}^{1} f(x)dx=0$

Γ) Αν επιπλέον ισχύει f(0)=0

, να αποδείξετε ότι $f(x)=2(e^{x}-e^{-x})$ , $x \in R$ .

Δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της

και να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της

, την οποία και να βρείτε.

Ε) Να αποδείξετε ότι $\int_{0}^{3} ln \frac{x+ \sqrt{x^{2}+16}}{4} dx = 3ln2-1$ .

Rempeskes · #49

Πολύ ωραία άσκηση Λάμπρο.

Υπάρχει άραγε άλλος τρόπος για το δεύτερο ερώτημα δίχως να παρατηρήσουμε ότι η

είναι ${C}^{ \infty }$ ;;

Ισχυρίζομαι πως όχι.

Εκτός αν εγώ δεν βλέπω κάτι...

Tolaso J Kos · #50

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 17 (ΕΜΕ 2014)

Εστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R \rightarrow R$ , η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις

• (1) και

• $f'(x)= \sqrt{16+f^{2}(x)}$ (2) , $\forall x \in R$ .

Α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $(f'(x)+f(x))e^{-x}$ είναι σταθερή στο .

Β) Να αποδείξετε ότι $\int_{-1}^{1} f(x)dx=0$

Γ) Αν επιπλέον ισχύει , να αποδείξετε ότι $f(x)=2(e^{x}-e^{-x})$ , $x \in R$ .

Δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της και να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της , την οποία και να βρείτε.

Ε) Να αποδείξετε ότι $\int_{0}^{3} ln \frac{x+ \sqrt{x^{2}+16}}{4} dx = 3ln2-1$ .

Λάμπρο μεταφέρω τη λύση μου από το άλλο θέμα και εδώ.

Α)
$\displaystyle{\begin{aligned} g'(x) &=\left [ \left ( f'(x)+f(x) \right )e^{-x} \right ]' \\ &= \left [ \left ( \sqrt{16+f^2(x)}+f(x) \right )e^{-x} \right ]'\\ &=\left ( \frac{f'(x)f(x)}{\sqrt{16+f^2(x)}}+f'(x) \right )e^{-x}- \left ( \sqrt{16+f^2(x)}+f(x) \right )e^{-x}\\ &\overset{f'(x)= \sqrt{16+f^2(x)}}{=\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\!} \cancel{\left ( f(x)+f'(x) \right )e^{-x}} - \cancel{\left ( f'(x)+f(x) \right )e^{-x}} \\ &=0 \end{aligned}}$

Άρα η

είναι όντως σταθερή στο $\mathbb{R}$ .

Β)

Εφαρμόζουμε παράγοντες και έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{-1}^{1}f(x)\, {\rm d}x &= \left [ x f(x) \right ]_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1}x f'(x)\, {\rm d}x\\ &=\cancelto{0}{ f(1) + f(-1)}- \int_{-1}^{1}x \sqrt{16 +f^2(x)}\, {\rm d}x\\ &=0 \end{aligned}}$

και το δεύτερο ολοκλήρωμα κάνει

λόγω της περιττότητας της υπό ολοκλήρωσης συνάρτησης.

Γ) Από το ερώτημα Α) έχουμε:

$\displaystyle{\left ( f'(x)+f(x) \right )e^{-x} = c \overset{f(0)=0\Rightarrow c =4}{=\! =\! =\! =\! \Longrightarrow} \left ( f'(x)+ f(x) \right )e^{-x}=4 \Rightarrow f '(x) + f(x) =4e^x}$

Οπότε κατά τα κλασσικά (πολλαπλασιασμό με e^x

και στα δύο μέλη ) βγάζουμε ότι: $\displaystyle{f(x)=2(e^x -e^{-x}), x \in \mathbb{R}}$ .

Δ) Το σύνολο τιμών είναι το $\mathbb{R}$ (απλό) οπότε για την εύρεση της αντίστροφης έχουμε διαδοδικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} y=f(x) &\Leftrightarrow y= 2\left ( e^x -e^{-x} \right ) \\ &\Leftrightarrow \frac{y}{2}= e^x -e^{-x} \\ &\Leftrightarrow \frac{ye^x}{2}=e^{2x}-1 \\ &\Leftrightarrow e^{2x}-\frac{1}{2}y e^x +1 =0 \;\; (\text{\gr τριώνυμο ως προς } e^x) \\ &\Leftrightarrow e^x = \frac{y+\sqrt{y^2+16}}{4} \\ &\Leftrightarrow x = \ln \left ( \frac{y+\sqrt{y^2+16}}{4} \right ) \end{aligned}}$

άρα $\displaystyle{f^{-1}(x)= \ln \left ( \frac{x+ \sqrt{x^2+16}}{4} \right ), \; x \in \mathbb{R}}$ .

Ε) Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{3}\ln \frac{x+\sqrt{16+x^2}}{4} \, {\rm d}x&= \int_0^3 f^{-1}(x)\, {\rm d}x\\ &\! \! \!\!\!\!\!\!\!\! \overset{u=f^{-1}(x)}{=\! =\! =\! =\! =\!}\int_{0}^{\ln 2}xf'(x)\, {\rm d}x \\ &= \left [ x f(x) \right ]_0^{\ln 2} - \int_{0}^{\ln 2}f(x)\, {\rm d}x\\ &= \ln 2f(\ln 2) - 2\int_{0}^{\ln 2} \left ( e^x - e^{-x} \right )\, {\rm d}x \\ &= 3\ln 2-1 \end{aligned} }$

και τέλος.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #51

Ασκηση 17 το Β
Ο Τ'όλης έγραψε
''και το δεύτερο ολοκλήρωμα κάνει 0 λόγω της περιττότητας της υπό ολοκλήρωσης συνάρτησης.''
Από που προκύπτει ότι η συνάρτηση είναι περιττή;
Το Γ που μας το δίνει είναι μετά.

Rempeskes · #52

Αυτό ήθελα να ρωτήσω και εγώ.

Κανείς δεν μας εξασφαλίζει ότι f^2(x)=f^2(-x)

.

Τα αντιπαραδείγματα, πολλά.

Λάμπρος Μπαλός · #53

Γεια σου Απόστολε.
Υπέροχα.
Μόνο στο ολοκλήρωμα, δεν προκύπτει περιττότητα.

Μια μικρή υπόδειξη.. f''(x)=f(x)

Θεοδωρος Παγωνης · #54

Β. Επειδή η

είναι παραγωγίσιμη, θα είναι και η $\sqrt{16+{{f}^{2}}(x)}={f}'(x)$ .
Οπότε παραγωγίζοντας έχουμε ${{f}'}'(x)=\frac{2f(x){f}'(x)}{2\sqrt{16+{{f}^{2}}(x)}}\Rightarrow {{f}'}'(x)=\frac{f(x){f}'(x)}{{f}'(x)}\Rightarrow {{f}'}'(x)=f(x)$
Άρα $\int\limits_{-1}^{1}{f(x)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{{f}''(x)dx}=\left[ {f}'(x) \right]_{-1}^{1}={f}'(1)-{f}'(-1)=\sqrt{16+{{f}^{2}}(1)}-\sqrt{16+{{f}^{2}}(-1)}$
$\displaystyle{=\sqrt{16+{{f}^{2}}(1)}-\sqrt{16+{{\left( -f(1) \right)}^{2}}}=\sqrt{16+{{f}^{2}}(1)}-\sqrt{16+{{f}^{2}}(1)}=0}$

Tolaso J Kos · #55

Τι απροσεξία. Αλλά και το καλοκαίρι είχα κάνει το ίδιο λάθος και κανείς δε το επισήμανε. Δε πειράζει. Είχα βέβαια στο μυαλό μου τη συνάρτηση και εντστικτωδώς είπα ότι η f^2

είναι άρτια. Λοιπόν, στον ίδιο σύνδεσμο που παραπέμπω υπάρχει η λύση του Μάριου όπου αποδεικνύει ότι f(x)=f''(x)

. Την αντιγράφω όπως είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{-1}^{1}f(x)\, {\rm d}x &=\int_{-1}^{1}f''(x)\, {\rm d}x \\ &= \left [ f'(x) \right ]_{-1}^{1}\\ &= f'(1) - f'(-1)\\ &= \sqrt{16+f^2(1)} - \sqrt{16+f^2(-1)} \;\;\; (\text{\gr συζυγείς}) \\ &=\frac{f^2(1)-f^2(-1)}{\sqrt{16+f^2(1)}+ \sqrt{16+f^2(-1)}} \\ &=0 \end{aligned}}$

αφού f(1)+f(-1)=0

.

Με πρόλαβε ο Θόδωρας. Δε πειράζει.

Συγνώμη για την απροσεξία μου.

Christos.N · #56

Άσκηση 18

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\left( {0, + \infty } \right) \to R}$ με $\displaystyle{f\left( 1 \right) = 0}$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{h \to 1} \frac{{f\left( {\frac{x}{h}} \right) - f\left( x \right)}}{{h - 1}} = \frac{1}{x} + x - 2}$ .

1) Να δείξετε ότι $\displaystyle{f\left( x \right) = 2\ln x - x + \frac{1}{x},x>0}$

2) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της.

3) Αν $\displaystyle{0 < a < b}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\ln a - \ln b > \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{2ab}}}$ .

4) ΝΑ δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f\left( x \right) + f\left( {{x^2}} \right) = f\left( {{x^5}} \right) + f\left( {{x^{10}}} \right)}$ έχει μοναδική ρίζα στο $\displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)}$ .

Μαθηματικά Γ' τάξης Γενικού Λυκείου , Εκδόσεις Κανδύλας

Tolaso J Kos · #57

Άσκηση 19

Δίδεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ η οποία είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ και $f(x) \neq 0, \;\; \forall x \in \mathbb{R}$ . Αν ισχύει ότι f(2008)=1

και

καθώς επίσης και η σχέση

$\displaystyle{\frac{f\left ( f(x) \right )}{f\left ( f(x)+2 \right )}= \frac{f\left ( f(x)+3 \right )}{f\left ( f(x)+1 \right )} , \;\; \forall x \in \mathbb{R}}$

τότε

Να δείξετε ότι .
Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\rho \in [2, 3]$ τέτοιο ώστε $f^2(\rho)=f(2)f(3)$ .
Να δείξετε ότι η δεν είναι .
Αν η γνησίως αύξουσα στο και $x_1, \; x_2 \in [2008, 2009]$ τότε να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_0 \in [2008, 2009]$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{3f(x_0)=f(x_1)+2f(x_2)}$ .

Λάμπρος Μπαλός · #58

ΑΣΚΗΣΗ 20 ΕΜΕ 2012

Εστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: R \rightarrow R$ με συνεχή παράγωγο, που ικανοποιεί τις σχέσεις :

• $(f'(x))^{2}-2f'(x)+ \frac{1}{x^{2}+1}=0$ , για κάθε $x \in R$ (1)

• f'(-1)<1<f'(1)

(2)

• f(0)=1

(3)

Α) Να αποδείξετε ότι $f(x)=x+ \sqrt{x^{2}+1}$ , $x \in R$

Β) Να αποδείξετε ότι f(x)>0

για κάθε $x \in R$

Γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση

ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα

Δ) Αν h(x)=lnf(x)

, $x \in R$ , τότε :

... i) Να αποδείξετε ότι $h'(x)= \frac{1}{ \sqrt{x^{2}+1}}$ , $x \in R$

... ii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη $C_{f}$ , τον άξονα x'x

και τις ευθείες με εξισώσεις x=0

και

... iii) Να αποδείξετε ότι $h(x) > \frac{f(x)-x-1}{x}$ , για κάθε $x \in (0,+ \infty)$

KARKAR · #59

Άσκηση 21
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{lnx}{x-1} & , x>1 \\ 1& , x=1 \end{matrix}\right.$

Δείξτε ότι : $\dfrac{2e+1}{2e}<\displaystyle \int_{1}^{e}{f(x)dx}<\dfrac{e}{2}$

Rempeskes · #60

KARKAR έγραψε:Άσκηση 21
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{lnx}{x-1} & , x>1 \\ 1& , x=1 \end{matrix}\right.$

Δείξτε ότι : $\dfrac{2e+1}{2e}<\displaystyle \int_{1}^{e}{f(x)dx}<\dfrac{e}{2}$

Η

συνεχής $\forall x>1$ ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων (λογαριθμική και πολυωνυμική).

Εύκολα με DLH

, δείχνουμε ότι $\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=f(1)=1$

Οπότε η

συνεχής στο $\left[1,+\infty \right)$

Επίσης, η

παραγωγίσιμη $\forall x>1$ με,

$f'(x)=\frac{x-1-xlnx}{(x-1)^2}$ , για κάθε x>1

Επίσης,

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=-\frac{1}{2} \in \mathbb{R}}$

Eπομένως η

παραγωγίσιμη στο $\left[1,+\infty \right)$

H

παραγωγίσιμη για κάθε x>1

με $\displaystyle{f''(x)=\frac{-3x^2 +2x^2 lnx+4x-1}{(x-1)^3 x^2}}$

Έστω h(x)=-3x^2 +2x^2 lnx+4x-1

για

άρα εύκολα δείχνουμε ότι h(x)>0

για κάθε

(μέσω της μονοτονίας)

Άρα f''(x)>0

, $\forall x>1$

και με λίγο κόπο εφόσον φτάσαμε μέχρι εδώ (αν και δεν μας χρειάζεται),δείχνουμε οτι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{f'(x)-f'(1)}{x-1}=\frac{2}{3}=f''(1) \in \mathbb{R}}$

Άρα (επιτέλους

) δείξαμε ότι η

κυρτή στο $\left[1,+\infty \right)$

H εφαπτομένη της

στο

βρίσκουμε ότι είναι η,

$\displaystyle{y=-\frac{1}{e(e-1)^2}x+\frac{1}{(e-1)^2}+\frac{1}{e-1}}$

Εφόσον η

κυρτή στο

θα πρέπει,

$\displaystyle{f(x)-y\geq 0 \Rightarrow \int_{1}^{e}f(x)dx>\int_{1}^{e}ydx=...=\frac{2e+1}{2e} \tau \mu}$ (διότι η ισότητα ισχύει μόνο για x=e

)

Συνεχίζουμε.

Έστω $A\left(1,f(1) \right) ,B\left(e,f(e) \right)$

Τότε, η $\displaystyle{AB:\psi -1=\frac{f(e)-f(1)}{e-1}(x-1) \Rightarrow \psi =\frac{2-e}{(e-1)^2}(x-1)+1}$

Στο $\left[1,e \right]$ ισχύει ότι ,

$\displaystyle{\psi \geq f(x) \Rightarrow \int_{1}^{e}\psi dx >\int_{1}^{e}f(x)dx \Rightarrow \int_{1}^{e}f(x)dx <\frac{e}{2} \tau \mu}$

(διότι η ισότητα ισχύει μόνο για x=1

και

)

Άρα έχουμε καταλήξει στο ότι,

$\displaystyle{\boxed{ \int_{1}^{e}f(x)dx>\frac{2e+1}{2e} \tau \mu}}$ και $\displaystyle{\boxed{\int_{1}^{e}f(x)dx <\frac{e}{2} \tau \mu}}$ από τα οποία προκύπτει το ζητούμενο.

Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση