Ανιστρέψιμοι πίνακες
Συντονιστής: Demetres
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5222
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Ανιστρέψιμοι πίνακες
Έστω οι πίνακες και . Αν ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος , τότε να δείξετε ότι και ο πίνακας είναι επίσης αντιστρέψιμος.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Ανιστρέψιμοι πίνακες
Το συμπέρασμα έπεται άμεσα από την ισότητα
Για την απόδειξή της, υπολογίζουμε την ορίζουσα του πίνακα με δύο τρόπους:
Επειδή
θα είναι
Όμοια, επειδή
θα είναι
Για την απόδειξή της, υπολογίζουμε την ορίζουσα του πίνακα με δύο τρόπους:
Επειδή
θα είναι
Όμοια, επειδή
θα είναι
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ανιστρέψιμοι πίνακες
Αφού λύθηκε να προσθέσω ένα επιπλέον ερώτημα
Ποια είναι η σχέση μεταξύ των δύο αντιστρόφων;
Ποια είναι η σχέση μεταξύ των δύο αντιστρόφων;
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ανιστρέψιμοι πίνακες
Το ακόλουθο απαντά στην ερώτηση του Σταύρου και συγχρόνως δίνει άλλη λύση στο αρχικό ερώτημα.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Αφού λύθηκε να προσθέσω ένα επιπλέον ερώτημα
Ποια είναι η σχέση μεταξύ των δύο αντιστρόφων;
Ισχυρίζομαι ότι .
Πράγματι, με χρήση της , έχουμε
και όμοια
Φιλικά,
Μιχάλης
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5222
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Ανιστρέψιμοι πίνακες
Ευχαριστώ για τις λύσεις. Να σημειώσω πως υπάρχει λύση και με ιδιοτιμές.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ανιστρέψιμοι πίνακες
Την συγκεκριμένη άσκηση (Θεώρημα) την γνωρίζω από τα φοιτητικά μου χρόνια.
Η λύση του Μιχάλη δίνει το αποτέλεσμα και σε δακτύλιο.
Είναι δε η άσκηση 4 σελ 89 στο Basic Algebra v1 του Nathan Jacobson
Η λύση του Βαγγέλη ελαφρά τροποποιημένη δίνει σχέση μεταξύ των
χαρακτηριστικών πολυωνύμων των δύο πινάκων.
Ασκηση 18 σελ 54 στο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα τόμος Β
Δ.Βάρσος Δ.Δεριζιώτης κλπ(1 έκδοση)
Και οι δύο λύσεις έχουν την αξία τους για διαφορετικούς λόγους η κάθε μια.
Η λύση του Μιχάλη δίνει το αποτέλεσμα και σε δακτύλιο.
Είναι δε η άσκηση 4 σελ 89 στο Basic Algebra v1 του Nathan Jacobson
Η λύση του Βαγγέλη ελαφρά τροποποιημένη δίνει σχέση μεταξύ των
χαρακτηριστικών πολυωνύμων των δύο πινάκων.
Ασκηση 18 σελ 54 στο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα τόμος Β
Δ.Βάρσος Δ.Δεριζιώτης κλπ(1 έκδοση)
Και οι δύο λύσεις έχουν την αξία τους για διαφορετικούς λόγους η κάθε μια.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ανιστρέψιμοι πίνακες
Αξίζει να γράψω τον τρόπο σκέψης γιατί δεν βρήκα την ταυτότητα ... μαντεύοντας.Mihalis_Lambrou έγραψε: Ισχυρίζομαι ότι
Φορμαλιστικά, αγνοώντας προσωρινά προβλήματα σύγκλισης, είναι
και
(Γενικότερα . Η απόδειξη γίνεται όπως στους πραγματικούς για το άθροισμα γεωμετρικής προόδου, εδώ με "λόγο" . Συγκεκριμένα, αν το δεξί μέλος τότε εύκολα βλέπουμε πολλαπλασιάζοντας ότι .)
Παρατηρούμε ότι τα δεξιά μέλη των μοιάζουν πολύ. Πώς μπορούμε να το εκμεταλευτούμε αυτό;
Αν στο μακρυνάρι της βγάλουμε κοινό παράγοντα το από αριστερά και το από δεξιά, η γίνεται
Ούπς. Γνώρισα τον όρο που έγραψα με κόκκινο. Είναι το δεξί μέλος της .
Δηλαδή
.
Συνοψίζοντας, αναμένω ότι
που είναι αυτό που έγραψα. Τα υπόλοιπα δένουν μόνα τους.
Φιλικά,
Μιχάλης
Edit: Έκανα μικρή βελτίωση στο σχόλιο για το άθροισμα της "γεωμετρικής προόδου".
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες