ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

Αλέξανδρος.Θ · #1

Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακεραίους

για τους οποίους οι ακέραιοι 837+n

και

είναι και οι δύο κύβοι θετικών ακεραίων.

#2

Έστω ότι $\displaystyle{837 + n = {x^3}}$ και $\displaystyle{837 - n = {y^3},}$ όπου οι x, y, n

είναι θετικοί ακέραιοι. Είναι:

$\displaystyle{y \ge 1 \Rightarrow 837 - n \ge 1 \Rightarrow 1 \le n \le 836,}$

οπότε

$\displaystyle{{9^3} = 729 < 838 \le 837 + n = {x^3} \le 1673 < 1728 = {12^3}}$

και άρα $\displaystyle{x \in \left\{ {10,11} \right\}}.$

Αν $\displaystyle{x = 10,}$ τότε $\displaystyle{n = 163}$ και άρα $\displaystyle{{y^3} = 674,}$ που είναι άτοπο.

Αν $\displaystyle{x = 11,}$ τότε $\displaystyle{n = 494}$ και άρα $\displaystyle{{y^3} = 343 = {7^3} \Rightarrow y = 7.}$

Ώστε, ο ζητούμενος αριθμός είναι ο $\displaystyle{n = 494.}$

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

Re: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

Μέλη σε σύνδεση