Όριο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4312
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Αύγ 25, 2015 9:46 pm

Να υπολογιστεί το όριο: \displaystyle{\lim_{n \to +\infty} \; \frac{2^{-n}}{2^{2^{-n}}-1}}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τρί Αύγ 25, 2015 10:34 pm

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2^{-n}}{2^{2^{-n}} - 1 } = \lim_{n\to  0 } \frac{n}{2^{n} - 1 }=\lim_{n\to 0}\frac{1}{\frac{2^{n} - 2^{0}}{n - 0}} = \frac{1}{\left(2^{n}\right)'\bigg|_{n\to 0 }} =

\displaystyle\frac{1}{\ln(2) 2^{0}}= \frac{1}{\ln(2)}


What's wrong with a Greek in Hamburg?
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Απρ 03, 2016 10:17 am

Δεν ξέρω τι να γράψω.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12234
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Απρ 03, 2016 12:29 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δεν ξέρω τι να γράψω.
Επειδή μας διαβάζουν μαθητές και φοιτητές ας ερμηνεύσω που είναι τα προβλήματα.
Ωmega Man έγραψε:\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2^{-n}}{2^{2^{-n}} - 1 } = \lim_{n\to  0 } \frac{n}{2^{n} - 1 }
Εδώ έγινε αλλαγή μεταβλητής, οπότε μπορούμε να θέσουμε m= 2^{-n} και να παρατηρήσουμε ότι τώρα η ακολουθία μας ικανοποιεί m\to 0. Στο παραπάνω το m ξαναονομάστηκε n (το όνομα της αρχικής μεταβλητής). Αυτό από μόνο του δεν είναι σφάλμα αλλά είναι κακή πρακτική. Όμως αυτό του είναι σοβαρό σφάλμα είναι ότι στην δεξιά παράσταση το n (που έπρεπε να είναι m) ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ η ακολουθία 1, 2, 3, ... οπότε η γραφή \displaystyle \lim_{n\to 0} δεν έχει νόημα.
Ωmega Man έγραψε:\displaystyle \lim_{n\to 0}\frac{1}{\frac{2^{n} - 2^{0}}{n - 0}} = \frac{1}{\left(2^{n}\right)'\bigg|_{n\to 0 }}
Πρώτα από όλα το n\to 0 πρέπει να αντικατασταθεί με n=0, δηλαδή να μιλάμε για παράγωγο στο n=0. Ας το θεωρήσουμε αυτό τυπογραφικό σφάλμα. Όμως αυτό που είναι ΣΟΒΑΡΟ σφάλμα είναι ότι παραγωγίζουμε ως προς διακριτή μεταβλητή. Τέτοια παραγώγιση δεν έχει νόημα: Η παράγωγος είναι τοπική έννοια, και χρειάζεται να εξεταστεί η συνάρτηση σε ένα διάστημα γύρω από το σημείο παραγώγισης.
Ωmega Man έγραψε: \displaystyle\frac{1}{\ln(2) 2^{0}}}
Ορθότερα \displaystyle\frac{1}{(\ln 2) 2^{0}}}

Αμέσως από κάτω γράφω την σωστή λύση.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Κυρ Απρ 03, 2016 5:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12234
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Απρ 03, 2016 12:38 pm

Tolaso J Kos έγραψε:Να υπολογιστεί το όριο: \displaystyle{\lim_{n \to +\infty} \; \frac{2^{-n}}{2^{2^{-n}}-1}}.
Αρκεί να βρούμε το όριο \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \; \frac{2^{-x}}{2^{2^{-x}}-1}}, δηλαδή όριο ως προς συνεχή μεταβλητή στην θέση του ορίου ακολουθίας.

Θέτουμε y=2^{-x}, οπότε y\to 0. Άρα

\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2^{-x}}{2^{2^{-x}} - 1 } = \lim_{y\to 0 } \frac{y}{2^{y} - 1 }=\lim_{y\to 0}\frac{1}{\frac{2^{y} - 2^{0}}{y - 0}} = \frac{1}{\left(2^{y}\right)'\bigg|_{y= 0 }}

\displaystyle = \frac{1}{(\ln 2) 2^{0}}= \frac{1}{\ln 2}


Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Όριο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Κυρ Απρ 03, 2016 5:29 pm

Λέω να πάω για τρίτη εξεταστική, τώρα έχω το "μεροκάματο" να σκεφτώ....


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες