Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2016

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 447
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2016

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Σάβ Απρ 09, 2016 8:39 pm

Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων \displaystyle{\left(x, y, z\right)}, οι οποίες ικανοποιούν την εξίσωση: \displaystyle{2^x+3^y=6^z-1}

Πρόβλημα 2

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις \displaystyle{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, τέτοιες ώστε:

(α) \displaystyle{f\left(-x\right)=-f\left(x\right)}, για όλους τους πραγματικούς αριθμούς \displaystyle{x}

(β) \displaystyle{f\left(x+1\right)=f\left(x\right)+1}, για όλους τους πραγματικούς αριθμούς \displaystyle{x}

(γ) \displaystyle{f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{f\left(x\right)}{x^2}}, για \displaystyle{x\in\mathbb{R}, x\neq 0}

Πρόβλημα 3

Να βρείτε τον μικρότερο περιττό ακέραιο \displaystyle{\nu}, έτσι ώστε κάποιο \displaystyle{\nu-}γωνο (όχι απαραίτητα κυρτό) να μπορεί να χωριστεί σε παραλληλόγραμμα, των οποίων τα εσωτερικά τους μέρη να μην αλληλοκαλύπτονται.

Πρόβλημα 4

Τετράπλευρο \displaystyle{ABCD} είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο \displaystyle{\left(\omega\right)} με κέντρο \displaystyle{O}, \displaystyle{\angle{B}=\angle{D}=90^\circ} και \displaystyle{AB=AD<BC}. Έστω \displaystyle{X} σημείο του \displaystyle{BD}. Η ευθεία \displaystyle{AX} τέμνει ξανά τον κύκλο \displaystyle{\left(\omega\right)} στο σημείο \displaystyle{S}, διαφορετικό από το \displaystyle{A}. Από το σημείο \displaystyle{X} φέρουμε κάθετη στην \displaystyle{AS}, η οποία τέμνει το τόξο \displaystyle{\overset{\frown}{ADC}} στο σημείο \displaystyle{T}. Αν \displaystyle{M, Z} τα μέσα των τμημάτων \displaystyle{ST, AO}, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι \displaystyle{BZ=ZM}.


Σωτήρης Λοϊζιάς
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6167
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2016

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Απρ 09, 2016 9:08 pm

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων \displaystyle{\left(x, y, z\right)}, οι οποίες ικανοποιούν την εξίσωση: \displaystyle{2^x+3^y=6^z-1}

Πρόβλημα 2

Αν \displaystyle{x\geq 3\wedge z\geq 3} δουλεύοντας \displaystyle{\mod 8} βρίσκουμε \displaystyle{3^y\equiv-1\mod 8,} άτοπο, αφού \displaystyle{3^y\equiv 1,3\mod 8}

Άρα \displaystyle{x=1\vee x=2\vee z=1\vee z=2.}

Αν \displaystyle{x=1} έχουμε \displaystyle{6^z-3^y=3,} άρα \displaystyle{z=y=1,} αφού το αριστερό μέλος μπορεί να διαιρεθεί μόνο με το \displaystyle{3}, αλλά όχι με δύναμη με μεγαλύτερο εκθέτη.

Αν \displaystyle{x=2} έχουμε \displaystyle{6^z-3^y=9,} που είναι αδύνατη για λόγο όμοιο με την προηγούμενη περίπτωση.

Αν \displaystyle{z=1} έχουμε \displaystyle{2^x+3^y=5,} άρα \displaystyle{x=y=1.}

Αν \displaystyle{z=2} έχουμε \displaystyle{2^x+3^y=35,} άρα προφανώς \displaystyle{x=y=3.} (προσθήκη) Παρέλειψα τη λύση \displaystyle{x=5, y=1.}
τελευταία επεξεργασία από matha σε Κυρ Απρ 10, 2016 4:17 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Προσθήκη.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 951
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2016

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Απρ 10, 2016 12:35 am

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1


Πρόβλημα 4

Τετράπλευρο \displaystyle{ABCD} είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο \displaystyle{\left(\omega\right)} με κέντρο \displaystyle{O}, \displaystyle{\angle{B}=\angle{D}=90^\circ} και \displaystyle{AB=AD<BC}. Έστω \displaystyle{X} σημείο του \displaystyle{BD}. Η ευθεία \displaystyle{AX} τέμνει ξανά τον κύκλο \displaystyle{\left(\omega\right)} στο σημείο \displaystyle{S}, διαφορετικό από το \displaystyle{A}. Από το σημείο \displaystyle{X} φέρουμε κάθετη στην \displaystyle{AS}, η οποία τέμνει το τόξο \displaystyle{\overset{\frown}{ADC}} στο σημείο \displaystyle{T}. Αν \displaystyle{M, Z} τα μέσα των τμημάτων \displaystyle{ST, AO}, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι \displaystyle{BZ=ZM}.
Νομίζω ότι είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα εδώ viewtopic.php?f=110&t=52028&p=248699#p248465


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2016

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Απρ 10, 2016 1:01 am

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 2

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις \displaystyle{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, τέτοιες ώστε:

(α) \displaystyle{f\left(-x\right)=-f\left(x\right)}, για όλους τους πραγματικούς αριθμούς \displaystyle{x}

(β) \displaystyle{f\left(x+1\right)=f\left(x\right)+1}, για όλους τους πραγματικούς αριθμούς \displaystyle{x}

(γ) \displaystyle{f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{f\left(x\right)}{x^2}}, για \displaystyle{x\in\mathbb{R}, x\neq 0}

viewtopic.php?f=111&t=30125


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2016

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Απρ 10, 2016 1:30 am

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων \displaystyle{\left(x, y, z\right)}, οι οποίες ικανοποιούν την εξίσωση: \displaystyle{2^x+3^y=6^z-1}
viewtopic.php?p=215250#p215250


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8181
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2016

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Απρ 10, 2016 7:17 pm

Soteris έγραψε: Να βρείτε τον μικρότερο περιττό ακέραιο \displaystyle{\nu}, έτσι ώστε κάποιο \displaystyle{\nu-}γωνο (όχι απαραίτητα κυρτό) να μπορεί να χωριστεί σε παραλληλόγραμμα, των οποίων τα εσωτερικά τους μέρη να μην αλληλοκαλύπτονται.
Έστω ότι έχουμε ένα διαμερισμό κάποιου πολυγώνου, και έστω AB μια από τις πλευρές του πολυγώνου. Ένα από τα παραλληλόγραμμα θα πρέπει να εφάπτεται στην AB. Από όλες τις πλευρές των παραλληλογράμμων που είναι παράλληλες στην AB (υπάρχουν τουλάχιστον δύο) θεωρούμε αυτήν που βρίσκεται στην μεγαλύτερη απόσταση από την AB. Ας την ονομάσουμε \ell. Αν η \ell βρίσκεται εσωτερικά του πολυγώνου, κάποιο άλλο παραλληλόγραμμο θα εφάπτεται στην \ell και θα έχει πλευρά παράλληλη προς την AB, αλλά σε μεγαλύτερη απόσταση, άτοπο. Άρα η \ell εφάπτεται σε πλευρά του πολυγώνου.

Έχουμε λοιπόν δείξει ότι για κάθε πλευρά του πολυγώνου υπάρχει τουλάχιστον μια άλλη πλευρά η οποία είναι παράλληλή της.

Για n=3 το πιο πάνω είναι αδύνατο. Για n=5 είναι δυνατό αν επιτρέπουμε σε ένα πολύγωνο να έχει γωνίες 180 μοιρών. Π.χ. αν πάρουμε το «πεντάγωνο» AEBCD όπου το ABCD είναι ένα τετράγωνο και το E είναι εσωτερικό σημείο της AB τότε αυτό διαμερίζεται σε ένα παραλληλόγραμμο. Αν απαγορεύονται οι γωνίες 180 μοιρών τότε είναι αδύνατο και για n=5. Πράγματι οι πλευρές του πολυγώνου θα μπορούν να χωριστούν σε δύο πλευρές που είναι παράλληλες μεταξύ τους και άλλες τρεις που είναι και αυτές παράλληλες μεταξύ τους. Σε αυτήν την τριάδα παράλληλων πλευρών όμως δύο πρέπει να έχουν κοινή κορυφή. Αυτές σχηματίζουν γωνία 180 μοιρών, άτοπο.

Για n=7 γίνεται όπως δείχνει το πιο κάτω σχήμα.

\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] 
\clip(-1.9418243631020016,0.6455611217584468) rectangle (0.8379315778710912,3.82066012989216); 
\draw [line width=1.2pt] (-1.5,3.598076211353316)-- (-0.5,3.5980762113533165); 
\draw [line width=1.2pt] (-1.5,3.598076211353316)-- (-1.,2.7320508075688776); 
\draw [line width=1.2pt] (-1.,2.7320508075688776)-- (-1.5,1.8660254037844395); 
\draw [line width=1.2pt] (-1.5,1.8660254037844395)-- (-1.,1.); 
\draw [line width=1.2pt] (-1.,1.)-- (0.,1.); 
\draw [line width=1.2pt] (0.,1.)-- (0.5,1.8660254037844388); 
\draw [line width=1.2pt] (0.5,1.8660254037844388)-- (-0.5,3.5980762113533165); 
\draw [line width=1.2pt,dash pattern=on 2pt off 2pt] (-1.,2.7320508075688776)-- (0.,2.7320508075688776); 
\draw [line width=1.2pt,dash pattern=on 2pt off 2pt] (0.,2.7320508075688776)-- (-0.5,1.8660254037844393); 
\draw [line width=1.2pt,dash pattern=on 2pt off 2pt] (-0.5,1.8660254037844393)-- (-1.5,1.8660254037844395); 
\draw [line width=1.2pt,dash pattern=on 2pt off 2pt] (-0.5,1.8660254037844393)-- (0.,1.); 
\end{tikzpicture}


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 951
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για IMO, 2016

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Απρ 10, 2016 7:38 pm

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 3

Να βρείτε τον μικρότερο περιττό ακέραιο \displaystyle{\nu}, έτσι ώστε κάποιο \displaystyle{\nu-}γωνο (όχι απαραίτητα κυρτό) να μπορεί να χωριστεί σε παραλληλόγραμμα, των οποίων τα εσωτερικά τους μέρη να μην αλληλοκαλύπτονται.
Το πρόβλημα αυτό είχε τεθεί και στην προτελευταία φάση της πανρωσικής ολυμπιάδας του 2000 για την 8η τάξη.

Στην περίπτωση κυρτού \displaystyle{\nu-}γωνου μπορεί να δειχθεί ότι οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες:
1) Το \displaystyle{\nu-}γωνο έχει κέντρο συμμετρίας.
2) Το \displaystyle{\nu-}γωνο μπορεί να διαμεριστεί σε παραλληλόγραμμα.

(Άσκηση πρώτη στο υποκεφάλαιο με τις διαμερίσεις σε παραλληλόγραμμα στο βιβλίο επιπεδομετρία του Πρασάλοβ)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης