Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2016

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 457
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2016

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Σάβ Απρ 09, 2016 8:55 pm

Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους \displaystyle{\nu}, έτσι ώστε οι αριθμοί \displaystyle{\nu+181} και \displaystyle{\nu-288} να είναι κύβοι ακεραίων.

Πρόβλημα 2

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{ABC}\; \left(\angle{A}=90^\circ\right)} και \displaystyle{AD} το ύψος του, με το σημείο \displaystyle{D} να βρίσκεται πάνω στην \displaystyle{BC}.

(α) Να αποδείξετε ότι: \displaystyle{AB\cdot AC=BC\cdot AD}

(β) Αν για τις πλευρές \displaystyle{a, b, c} του τριγώνου \displaystyle{\vartriangle{ABC}} ισχύει ότι \displaystyle{a=2\sqrt{bc}}, να υπολογίσετε τις οξείες γωνίες του τριγώνου.

Πρόβλημα 3

Αν για τα μήκη \displaystyle{a, b, c} των πλευρών ενός τριγώνου \displaystyle{\vartriangle{ABC}} ισχύει η σχέση \displaystyle{a\sqrt{8}+b\sqrt{6}+c\sqrt{2}\geqslant 4\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Πρόβλημα 4

Τρεις κατεργάρηδες διέσχιζαν το δάσος και βρήκαν ένα κασόνι γεμάτο καρύδια. Επειδή ήταν βράδυ, αποφάσισαν να κοιμηθούν και να μοιράσουν τα καρύδια το πρωί. Ο ένας από τους τρεις έμεινε ξύπνιος, έριξε \displaystyle{3} καρύδια στους σκίουρους, έκρυψε το \displaystyle{\dfrac{1}{4}} των υπολοίπων και κοιμήθηκε. Ακολούθως, ξύπνησε ένας άλλος, έριξε \displaystyle{3} καρύδια στους σκίουρους, έκρυψε το \displaystyle{\dfrac{1}{4}} των υπολοίπων και κοιμήθηκε. Το πρωί ξύπνησε πρώτος ο τρίτος της παρέας, έριξε \displaystyle{3} καρύδια στους σκίουρους, έκρυψε το \displaystyle{\dfrac{1}{4}} των υπολοίπων και χώρισε όσα έμειναν στα ίσα σε τρία σακουλάκια. Όταν ξύπνησαν οι άλλοι, τους είπε ότι αυτά απέμειναν από τους σκίουρους και φρόντισε να τα μοιράσει στα ίσα. Να βρείτε πόσα το πολύ καρύδια είχαν βρει στην αρχή, αν τα τρία σακουλάκια είχαν τελικά λιγότερα από \displaystyle{40} καρύδια το καθένα.


Σωτήρης Λοϊζιάς
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1322
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Απρ 09, 2016 11:47 pm

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους \displaystyle{\nu}, έτσι ώστε οι αριθμοί \displaystyle{\nu+181} και \displaystyle{\nu-288} να είναι κύβοι ακεραίων.
Έστω n+181=a^3 και n-288=b^3. Αφαιρώντας τις σχέσεις κατά μέλη βρίσκουμε

a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) = 181+288=469=7 \cdot 67

Επειδή a^2+ab+b^2 = \dfrac{1}{2}a^2 + \dfrac{1}{2}b^2+\dfrac{1}{2}(a+b)^2 > 0 θα είναι και a-b > 0

Άρα οι δυνατές περιπτώσεις είναι a-b=7 ή a-b = 67 ή a-b=1 ή a-b=469. Αν a-b=7 θα έχουμε

67= a^2+ab+b^2 = (a-b)^2+3ab = 7^2+3ab \Rightarrow 3ab = 18 \Rightarrow ab=9

Το σύστημα αυτό όμως, όπως εύκολα μπορεί να δειχθεί, είναι αδύνατο στους ακέραιους. Ομοίως οδηγούμαστε σε αδύνατο σύστημα, αν έχω κάνει σωστά τις πράξεις, στην περίπτωση που a-b=67 , a-b=1 , a-b=469. Επομένως δεν υπάρχει n που ινακοποιεί τις δοθείσες συνθήκες.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10181
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Απρ 10, 2016 1:02 am

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 2

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle{ABC}\; \left(\angle{A}=90^\circ\right)} και \displaystyle{AD} το ύψος του, με το σημείο \displaystyle{D} να βρίσκεται πάνω στην \displaystyle{BC}.

(α) Να αποδείξετε ότι: \displaystyle{AB\cdot AC=BC\cdot AD}

(β) Αν για τις πλευρές \displaystyle{a, b, c} του τριγώνου \displaystyle{\vartriangle{ABC}} ισχύει ότι \displaystyle{a=2\sqrt{bc}}, να υπολογίσετε τις οξείες γωνίες του τριγώνου.

α) Τα τρίγωνα ABD, ABC είναι όμοια: \displaystyle{\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AC}} \Leftrightarrow } \boxed{AB \cdot AC = AD \cdot BC}
Γ' Παγκύπριος  2016.png
Γ' Παγκύπριος 2016.png (8.13 KiB) Προβλήθηκε 1164 φορές
β) Έστω M το μέσο της BC. Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε:

\displaystyle{bc = aAD \Leftrightarrow 2\sqrt {bc}  = 2\sqrt {aAD}  \Leftrightarrow a = 2\sqrt {aAD}  \Leftrightarrow {a^2} = 4aAD \Leftrightarrow AD = \frac{a}{4} = \frac{{AM}}{2}} \displaystyle{ \Leftrightarrow D\widehat MA = {30^0}}

Άρα \boxed{\widehat B = {15^0},\widehat C = {75^0}}, ή αντίστροφα.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13159
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Απρ 10, 2016 2:27 am

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 3

Αν για τα μήκη \displaystyle{a, b, c} των πλευρών ενός τριγώνου \displaystyle{\vartriangle{ABC}} ισχύει η σχέση \displaystyle{a\sqrt{8}+b\sqrt{6}+c\sqrt{2}\geqslant 4\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
Από C-S είναι \displaystyle{a\sqrt{8}+b\sqrt{6}+c\sqrt{2}\leqslant \sqrt{a^2+b^2+c^2}  \sqrt{8+6+2} = 4  \sqrt{a^2+b^2+c^2}  }, που είναι η ανάποδη της δοθείσας ανισότητας. Άρα έχουμε ισότητα, που σημαίνει a=k\sqrt 8, \, b=k\sqrt 6, \, c=k\sqrt 2 για κάποιο k.

Παρατηρούμε τώρα ότι a^2=8k^2= 6k^2+2k^2=b^2+c^2, και λοιπά.


nikkru
Δημοσιεύσεις: 339
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Κυρ Απρ 10, 2016 7:56 am

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 4

Τρεις κατεργάρηδες διέσχιζαν το δάσος και βρήκαν ένα κασόνι γεμάτο καρύδια. Επειδή ήταν βράδυ, αποφάσισαν να κοιμηθούν και να μοιράσουν τα καρύδια το πρωί. Ο ένας από τους τρεις έμεινε ξύπνιος, έριξε \displaystyle{3} καρύδια στους σκίουρους, έκρυψε το \displaystyle{\dfrac{1}{4}} των υπολοίπων και κοιμήθηκε. Ακολούθως, ξύπνησε ένας άλλος, έριξε \displaystyle{3} καρύδια στους σκίουρους, έκρυψε το \displaystyle{\dfrac{1}{4}} των υπολοίπων και κοιμήθηκε. Το πρωί ξύπνησε πρώτος ο τρίτος της παρέας, έριξε \displaystyle{3} καρύδια στους σκίουρους, έκρυψε το \displaystyle{\dfrac{1}{4}} των υπολοίπων και χώρισε όσα έμειναν στα ίσα σε τρία σακουλάκια. Όταν ξύπνησαν οι άλλοι, τους είπε ότι αυτά απέμειναν από τους σκίουρους και φρόντισε να τα μοιράσει στα ίσα. Να βρείτε πόσα το πολύ καρύδια είχαν βρει στην αρχή, αν τα τρία σακουλάκια είχαν τελικά λιγότερα από \displaystyle{40} καρύδια το καθένα.
9 \cdot n = 64 \cdot k+111 με n , k φυσικούς και k\leq 39 , άρα n=247.


DatsKalali
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Δευ Απρ 11, 2016 7:27 pm

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από DatsKalali » Δευ Απρ 11, 2016 8:05 pm

Προβλημα 3
Απο Cauchy-Schwartz 16 (\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2)= ( \sqrt {8}^2+\sqrt{6}^2+\sqrt{2}^2)(\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2) \geq (\alpha \sqrt{8}+\beta \sqrt{6}+\gamma \sqrt{2})^2
και \alpha \sqrt{8}+\beta \sqrt{6}+\gamma \sqrt{2}\ge 4\sqrt{\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2}.
Τοτε εχουμε ισοτητα.
Ισχυει¨8\alpha^2=6\beta^2=2\gamma^2
Αρα, \alpha^2= \beta^2+\gamma^2


DatsKalali
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Δευ Απρ 11, 2016 7:27 pm

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από DatsKalali » Δευ Απρ 11, 2016 8:06 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους \displaystyle{\nu}, έτσι ώστε οι αριθμοί \displaystyle{\nu+181} και \displaystyle{\nu-288} να είναι κύβοι ακεραίων.
Έστω n+181=a^3 και n-288=b^3. Αφαιρώντας τις σχέσεις κατά μέλη βρίσκουμε

a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) = 181+288=469=7 \cdot 67

Επειδή a^2+ab+b^2 = \dfrac{1}{2}a^2 + \dfrac{1}{2}b^2+\dfrac{1}{2}(a+b)^2 > 0 θα είναι και a-b > 0

Άρα οι δυνατές περιπτώσεις είναι a-b=7 ή a-b = 67 ή a-b=1 ή a-b=469. Αν a-b=7 θα έχουμε

67= a^2+ab+b^2 = (a-b)^2+3ab = 7^2+3ab \Rightarrow 3ab = 18 \Rightarrow ab=9

Το σύστημα αυτό όμως, όπως εύκολα μπορεί να δειχθεί, είναι αδύνατο στους ακέραιους. Ομοίως οδηγούμαστε σε αδύνατο σύστημα, αν έχω κάνει σωστά τις πράξεις, στην περίπτωση που a-b=67 , a-b=1 , a-b=469. Επομένως δεν υπάρχει n που ινακοποιεί τις δοθείσες συνθήκες.
Εχουμε ν=2016


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Δευ Απρ 11, 2016 9:27 pm

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους \displaystyle{\nu}, έτσι ώστε οι αριθμοί \displaystyle{\nu+181} και \displaystyle{\nu-288} να είναι κύβοι ακεραίων.
Έστω n+181=a^3 και n-288=b^3, προφανώς a>0 (αφού n>0 ) και a>b

Αφαιρώντας τις σχέσεις κατά μέλη βρίσκουμε
a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) = 181+288=469=1\cdot 7 \cdot 67
οπότε οι προς έλεγχο περιπτώσεις είναι:
i) (a-b)=1,  (a^2+ab+b^2) =469
ii) (a-b)=7, (a^2+ab+b^2) =67
iii) (a-b)=67 ,  (a^2+ab+b^2) =7
iv) (a-b)=469,  (a^2+ab+b^2) =1

Είναι όμως a^2+ab+b^2= a^2+ab+b^2-2ab+2ab=(a-b)^2+3ab οπότε:
i) a-b=1\ (1)\  \wedge (a-b)^2+3ab=469\Rightarrow 1^2+3ab=469\Rightarrow 3ab=468\ (2) και
από (1) και (2) παίρνουμε δεκτή λύση a=13 \ \wedge\ b=12 και άρα \boxed{n=13^3-181=2016}

ii) (a-b)=7\ (3)\  \wedge \ (a-b)^2+3ab=469\Rightarrow 67^2+3ab=469 \Rightarrow 3ab=-4020 \ (4) που δεν μας δίνουν δεκτή λύση.

iii) (a-b)=67\ (5)\  \wedge\  (a-b)^2+3ab =7\Rightarrow 67^2+3ab=7\ (6), που δεν μας δίνουν δεκτή λύση.

iv) (a-b)=469\ (1)\  \wedge \ (a-b)^2+3ab =1\Rightarrow 469^2+3ab=1\ (8), που επίσης δεν μας δίνουν δεκτή λύση.

Άρα μοναδική λύση \boxed{n=2016} (όπως τηλεγραφικά έγραψε ο DatsKalali παραπάνω)


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13159
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Απρ 11, 2016 10:49 pm

DatsKalali έγραψε:Προβλημα 3
Απο Cauchy-Schwartz 16 (\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2)= ( \sqrt {8}^2+\sqrt{6}^2+\sqrt{2}^2)(\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2) \geq (\alpha \sqrt{8}+\beta \sqrt{6}+\gamma \sqrt{2})^2
και \alpha \sqrt{8}+\beta \sqrt{6}+\gamma \sqrt{2}\ge 4\sqrt{\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2}.
Τοτε εχουμε ισοτητα.
Ισχυει¨8\alpha^2=6\beta^2=2\gamma^2
Αρα, \alpha^2= \beta^2+\gamma^2
DatsKalali, επειδή ίσως χάνω κάτι, μπορείς να μας εξηγήσεις ποια είναι η διαφορά μεταξύ της λύση σου και αυτής που έβαλα 17,5 ώρες νωρίτερα;
Mihalis_Lambrou έγραψε: Από C-S είναι \displaystyle{a\sqrt{8}+b\sqrt{6}+c\sqrt{2}\leqslant \sqrt{a^2+b^2+c^2}  \sqrt{8+6+2} = 4  \sqrt{a^2+b^2+c^2}  }, που είναι η ανάποδη της δοθείσας ανισότητας. Άρα έχουμε ισότητα, που σημαίνει a=k\sqrt 8, \, b=k\sqrt 6, \, c=k\sqrt 2 για κάποιο k.
Παρατηρούμε τώρα ότι a^2=8k^2= 6k^2+2k^2=b^2+c^2, και λοιπά.
Εννοώ ουσιαστική διαφορά, όχι του τύπου "άλλαξε ο Μανωλιός και έβαλε τα ρούχα του αλλιώς".

(Θα θεωρήσω το 8\alpha^2=6\beta^2=2\gamma^2 που γράφεις ως τυπογραφικό σου σφάλμα αντί του
ορθού 8/\alpha^2=6/\beta^2=2/\gamma^2 , που είναι και η μόνη διαφορά στις δύο λύσεις)


μιχαλης ορφανιδης
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2014 10:30 pm

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από μιχαλης ορφανιδης » Τρί Απρ 12, 2016 11:42 am

Το τέταρτο πρόβλημα γιατί δεν το έλυσε κάποιος ;;


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Απρ 12, 2016 12:22 pm

μιχαλης ορφανιδης έγραψε:Το τέταρτο πρόβλημα γιατί δεν το έλυσε κάποιος ;;
Μάλλον επειδή δόθηκε η απάντηση. Αυτό συνήθως αποθαρρύνει άλλα άτομα από το να γράψουν ολοκληρωμένη λύση. [Αν και αρκετοί κατά καιρούς δίνουμε είτε μόνο απαντήσεις είτε λύσεις από τις οποίες λείπουν κάποια βήματα, να θυμίσω ότι βάσει του κανονισμού οφείλουμε να στέλνουμε ολοκληρωμένες και όχι ελλιπείς λύσεις.]

Ας μας γράψει λοιπόν κάποιος μια πλήρη λύση για να την έχουμε. (Η απάντηση του nikkru φαίνεται σωστή.)


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13159
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Απρ 12, 2016 12:22 pm

μιχαλης ορφανιδης έγραψε:Το τέταρτο πρόβλημα γιατί δεν το έλυσε κάποιος ;;
Το τέταρτο πρόβλημα είναι αρκετά προσιτό, σίγουρα ευκολότερο από τα τρία προηγούμενα, και θα σου πρότεινα να το δοκίμαζες μόνος σου.

Παραπάνω στο ποστ του nikkru υπάρχει η τελική εξίσωση στην οποία φτάνεις.

Περιμένουμε την λύση σου.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1322
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Απρ 12, 2016 1:51 pm

DatsKalali έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε: Ομοίως οδηγούμαστε σε αδύνατο σύστημα, αν έχω κάνει σωστά τις πράξεις, στην περίπτωση που a-b=67 , a-b=1 , a-b=469. Επομένως δεν υπάρχει n που ινακοποιεί τις δοθείσες συνθήκες.
Εχουμε ν=2016
Σωστά, ευχαριστώ για την επισήμανση από ότι φαίνεται έκανα λάθος στις πράξεις. Ο κ. Αλεξίου παραπάνω τις έχει κάνει σωστά και με απάλλαξε από τον κόπο :D .


nikkru
Δημοσιεύσεις: 339
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Τρί Απρ 12, 2016 3:28 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
μιχαλης ορφανιδης έγραψε:Το τέταρτο πρόβλημα γιατί δεν το έλυσε κάποιος ;;
Το τέταρτο πρόβλημα είναι αρκετά προσιτό, σίγουρα ευκολότερο από τα τρία προηγούμενα, και θα σου πρότεινα να το δοκίμαζες μόνος σου.
Πράγματι είναι αρκετά προσιτό, χρειάζεται μόνο ευχέρεια σε πράξεις. Έδωσα μόνο μια μικρή υπόδειξη και το αποτέλεσμα, ώστε αν κανείς το έλυνε να μπορούσε να ελέγξει την ορθότητα του αποτελέσματος. Δίνω παρακάτω την λύση.

Αν n ο αριθμός των καρυδιών που περιείχε το κασόνι, τότε ο πρώτος αφού έριξε τρία καρύδια στους σκίουρους και κράτησε το ένα τέταρτο από τα υπόλοιπα καρύδια, άφησε τα τρία τέταρτα τους, δηλαδή άφησε: \frac{3}{4}\left( n-3\right) καρύδια. Το ίδιο έκανε και ο δεύτερος αφήνοντας \frac{3}{4} \left[ \frac{3}{4}\left( n-3\right) -3 \right] το ίδιο και ο τρίτος αφήνοντας τελικά \frac{3}{4}   \left\{  \frac{3}{4} \left[ \frac{3}{4}\left( n-3\right) -3 \right]  -3 \right\} .
Κάθε σακουλάκι περιείχε το \frac{1}{3} από αυτά, δηλαδή κάθε σακουλάκι περιείχε \frac{1}{3} \cdot\frac{3}{4}   \left\{  \frac{3}{4} \left[ \frac{3}{4}\left( n-3\right) -3 \right]  -3 \right\}=\frac{1}{4} \left[ \frac{3}{4} \left( \frac{3n}{4}-\frac{21}{4}\right) -3\right] =\frac{1}{4} \left( \frac{9n}{16}-\frac{111}{16} \right)=\frac{9n}{64}-\frac{111}{64}. Αυτό πρέπει να είναι φυσικός k μικρότερος του 40, άρα 9n-111=64k. Το αριστερό μέλος διαιρείται με το 3 άρα και το δεξιό, οπότε k=39,36,...,0. Τα k=39, k=36 απορρίπτονται γιατί ο n που προκύπτει δεν είναι ακέραιος, το k=33 δίνει n=247 που είναι και ο μεγαλύτερος αριθμός που ικανοποιεί τα δεδομένα, αφού για αυτή την τιμή ο πρώτος κρύβει 61 και αφήνει 183 καρύδια, ο δεύτερος κρύβει 45 και αφήνει 135 καρύδια και ο τρίτος κρύβει 33 και αφήνει 99 καρύδια, δηλαδή από 33 σε κάθε σακουλάκι.
Άρα είχαν βρει το πολύ 247 καρύδια.


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Κυρ Απρ 23, 2017 4:16 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:Επομένως δεν υπάρχει n που ινακοποιεί τις δοθείσες συνθήκες.
Αν a=13, b=12, δεν υπάρχει το \boxed{n=2016};


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες