Να δείξετε-1-

#1

$\alpha\nu \,\,\ a,b,c>0,\kappa\alpha\iota\,\,\ a+b+c=1,\,\,\,$ να δείξετε ότι : $\displaystyle{\frac{a^2+b^2}{c}+\frac{b^2+c^2}{a}+\frac{c^2+a^2}{b}\geq 2}$

Eukleidis · #2

$\displaystyle{\eqalign{ & \frac{{{a^2} + {b^2}}}{c} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{a} + \frac{{{c^2} + {a^2}}}{b} \geqslant 2 \Leftrightarrow \cr & \frac{{{a^2}}}{c} + \frac{{{b^2}}} {c} + \frac{{{b^2}}}{a} + \frac{{{c^2}}}{a} + \frac{{{c^2}}}{b} + \frac{{{a^2}}} {b} \geqslant \frac{{{{\left[ {2\left( {a + b + c} \right)} \right]}^2}}}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = 2 \cr} }$ από την ανισότητα Andreescu

Η ισοτητα εξασφαλίζεται για α=β=c=1/3

lefteris mastoris · #3

Ωραια.μια ισως πιο βαρια λυση μπορει να γινει με χρηση της $a^2+b^2\geq 2ab$ για τους αριθμητες και μετα χρηση της Muirhead αφου η (1,1,-1) μεγιστοποιει την (1,0,0) .Επισης,αν θελουμε να την κανουμε "φοιτητικη"

μπορουμε να χρησιμοποιησουμε τους πολλαπλασιαστες Lagrange!!

Λευτερης

p_gianno · #4

Μια διαπραγμάτευση

$\displaystyle{\begin{array}{l} \frac{{{a^2} + {b^2}}}{c} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{a} + \frac{{{c^2} + {a^2}}}{b} \ge \frac{{2ab}}{c} + \frac{{2bc}}{a} + \frac{{2ca}}{b} = \frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} + \frac{{ab}}{c} + \frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} = \\ \\ \left( {\frac{{ab}}{c} + \frac{{ca}}{b}} \right) + \left( {\frac{{bc}}{a} + \frac{{ab}}{c}} \right) + \left( {\frac{{ca}}{b} + \frac{{bc}}{a}} \right) = a\left( {\frac{b}{c} + \frac{c}{b}} \right) + b\left( {\frac{c}{a} + \frac{a}{c}} \right) + c\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right) \ge 2a + 2b + 2c = \\ \\ 2(a + b + c) = 2 \\ \end{array}}$

Π.Γ

Dimitris X · #5

Λίγο διαφορετική:

$\sum\frac{a^2+b^2}{c} \ge \sum\frac{2ab}{c}.$

Επομένως αρκεί:

$\sum\frac{ab}{c}\ge 1 \Longleftrightarrow (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 \ge abc \Longleftrightarrow (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 \ge abc(a+b+c) \Longleftrightarrow \frac{1}{2}[(ab-bc)^2+(bc-ca)^2+(ca-ab)^2] \ge 0$

#6

τι όμορφα που είναι να έχεις πολλές απαντήσεις...(σας ευχαριστώ!!)

$\displaystyle{\frac{a^2+b^2}{c}+\frac{b^2+c^2}{a}+\frac{c^2+a^2}{b}=\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{b}=\frac{a^3+c^3}{ac}+\frac{b^3+c^3}{bc}+\frac{a^3+b^3}{ab}}\geq$

$\displaystyle{\frac{ac(a+c)}{ac}+\frac{bc(b+c)}{bc}+\frac{ca(c+a)}{ca}=(a+c)+(b+c)+(a+b)=2}$

Να δείξετε-1-

Να δείξετε-1-

Re: Να δείξετε-1-

Re: Να δείξετε-1-

Re: Να δείξετε-1-

Re: Να δείξετε-1-

Re: Να δείξετε-1-

Μέλη σε σύνδεση