Η αποδεικτική μέθοδος του "Αρκεί"

[Α.Αποστόλου]

Στο πνεύμα της διερεύνησης, διότι δεν έχω μελετήσει την εργασία που αναφέρεστε,
βλέπω όμως το δεύτερο παράδειγμα της παραγράφου 2.3 πως είναι λυμένο παράδειγμα της Άλγεβρας Α'.
Αντιλαμβάνομαι σωστά πως αν αντικατασταθούν οι ισοδυναμίες με την λέξη "αρκεί", τότε αλλάζει η "μέθοδος" που ακολουθήσαμε;

(βλέπω παρακάτω ότι υπάρχει ένσταση ως προς την λύση του βιβλίου οπότε πρέπει να επανέλθω)

[Σίλης]

Κύριε Σίλη δεν έχετε καταλάβει για τι ακριβώς ενίσταμαι ή θέλετε να πάτε
τα πράγματα εκεί που επιθυμείτε.
Στέκομαι απλά στην εμφανίσή σας τώρα όπως και τον Ιούνη με
τη χρήση της διακρίνουσας.
Απαραίτητη προϋπόθεση για να σας απαντήσω θα είναι να γνωρίζω
με ποιόν συνομιλώ. Έχω αυτό το δικαίωμα όπως κι εσείς φυσικά να γράφετε ανώνυμα.
Ως τότε, καλημέρα σας.

Κανένα πρόβλημα!

Ωστε για τον Κυριακόπουλο πρόκειται πάλι. Δεύτερη φορά που πέφτω σ' αυτήν την παγίδα σ' αυτό το σάιτ -κάποτε θα μάθω ίσως να τ' αποφεύγω. Δέν ήθελα να προσβάλω πάντως, ελπίζω αυτό να είναι σαφές. Να καταλάβω το πνεύμα ήθελα. Η μόνη μου ατζέντα στο φόρουμ αυτό, με την ελάχιστή μου παρουσία βέβαια, αφορά τα μαθηματικά στα ελληνικά (και κυρίως τη λογική, αφού απ' αυτήν σκαμπάζω κάπως), ούτε τρολάρισμα ούτε αποκαθηλώσεις προσώπων ούτε κάτι άλλο.

Ντισκλέιμερ τέλος.

Για την ερώτηση καθαυτή την αρχική, πολύ στενά παρμένη, μπορούμε να κοιτάξουμε και τη σελίδα 60 του Λογική - Θεωρία και πρακτική (Αναπολιτάνος κ.ά. έντιτ: εδώ το πιντιέφ), οπου δέν γίνεται βέβαια λόγος για "μέθοδο", ούτε και υπάρχει ανάλυση φροντιστηριακού επιπέδου αλα Κυριακόπουλος· αλλα αναφέρεται η γλωσσική διατύπωση της συνεπαγωγής με τη λέξη αρκεί, ωστε η πρακτική αποδείξεων, διατυπωμένη μ' αυτόν τον τρόπο, θεωρητικά να καλύπτεται πλήρως.

Προσωπικά να πώ οτι βρίσκω το χαρακτηρισμό "μέθοδος" παραπλανητικά βαρύγδουπο. Απο την άλλη, μια τέτοια θεματοποίηση δέν είναι βέβαια κενή νοήματος· το απο πού θα πιάσεις μιά αλυσίδα συνεπαγωγών θέλοντας να δείξεις κάτι, είναι ένα θέμα που, προκειμένου για διδασκαλία, σαφώς και επιδέχεται ανάλυση, κατηγοριοποίηση και πάει λέγοντας. Επίσης, τέτοιες αναζητήσεις οδηγούν αναπόφευκτα στη λογική, φυσικά, και πλέον μπορεί πολλά να πεί κανείς, τα οποία δέν ξέρω αν θα έστεκαν να βρίσκονται σ' ένα βιβλίο του μαθητή -αλλα του δασκάλου, σαφέστατα, λέω. Δεσμεύομαι να επανέλθω επαυτού. Ανώνυμα, αλλα δεσμεύομαι. :-)

[Jason98]

Μια σκέψη:

Ελπίζω αυτό να μην αποτελεί μια ακόμη αφορμή για "αφαίρεση μονάδων" από διορθωτές στις Πανελλήνιες επειδή απλά και μόνο χρησιμοποίησαν την λογική των Μαθηματικών. Μάλλον πρέπει να τελειώνουμε πια με αυτόν τον λατρευτικό χαρακτήρα του σχολικού βιβλίου ωσάν να είναι θεός. Το σχολικό βιβλίο ΔΕΝ πρέπει να είναι θεός. Κακώς έχει γίνει και αποδεχόμαστε τυφλά ό,τι μα ό,τι και να λέει το σχολικό (ακόμη και αν είναι λάθος: π.χ. δείτε το σχολικό φυσικής κατεύθυνσης γ λυκείου, έχει άπειρα λάθη!!) ενώ απορρίπτουμε οτιδήποτε δεν αναφέρεται στο σχολικό.

Τέλος πάντων, την καληνύχτα μου!

[S.E.Louridas]

Όσο με αφορά θα ήθελα να κλείσω λέγοντας και λίγο πριν τις καθοριστικές εξετάσεις, ότι οι βαθμολογητές συνάδελφοι δεν είναι χειριστές λαιμητόμου και καλό θα είναι να μην χάσουμε την μεταξύ μας εμπιστοσύνη και την εμπιστοσύνη σε αυτούς (προσωπικά τους εμπιστεύομαι). Κανείς δεν διορθώνει χωρίς να λάβει υπόψη ότι διορθώνει μαθητές στην εφηβεία και άρα η κακή υπέρ τυπικότητα εκεί δεν έχει και δεν θα πρέπει να έχει θέση. Θα ήταν λυπηρό για κάποιον διορθωτή να δει από ένα μαθητή μία σκέψη που παραπέμπει σε ταλέντο ή μαθητή που έχει κατανοήσει την αντίστοιχη μαθηματική έννοια και να του κόψει πόντο επειδή εφάρμοσε μία σωστή λογική διαδικασία που δεν αναφέρεται ρητά στο βιβλίο. Αυτά ανήκουν μόνο στη φαντασία. Ένας τέτοιος κατά την άποψή μου διορθωτής (που θεωρώ ότι μάλλον στις μέρες μας δεν υπάρχει) είναι μάλλον φοβισμένος και το πρόβλημα είναι καθαρά δικό του. Θα ήθελα εδώ να καταθέσω και την προσωπική μου άποψη για ένα θέμα ηθικής τάξης. Θεωρώ πως μπορούμε να αναφερόμαστε σε απόψεις προσώπων όταν τα ίδια αυτά πρόσωπα τις έχουν εκθέσει ήδη δημόσια, αυτό ναι είναι θεμιτό. Δεν είναι όμως έντιμο και πρέπον να κρίνουμε συγκεκριμένα πρόσωπα δημοσίως, χωρίς την δυνατότητα απάντησης από αυτά, αφού τότε δίνουμε την εντύπωση της εμπάθειας έστω και αν αυτή δεν υφίσταται. Οι απόψεις μας θα πρέπει να κατατίθενται (λιτά και κατανοητά) σε κοινό που του έχουμε εμπιστοσύνη και αυτό ας μας κρίνει. Ας μη ξεχνάμε ότι οι Θεοί κατοικούν ψηλά και εκτός Γης και όλοι οι άλλοι είμαστε κάτοικοι επί της Γης (που είναι ένα απειροστό σημείο στο άπειρο σύμπαν) με ότι αυτό συνεπάγεται.

[chris_gatos]

Όσο με αφορά θα ήθελα να κλείσω λέγοντας και λίγο πριν τις καθοριστικές εξετάσεις, ότι οι βαθμολογητές συνάδελφοι δεν είναι χειριστές λαιμητόμου και καλό θα είναι να μην χάσουμε την μεταξύ μας εμπιστοσύνη και την εμπιστοσύνη σε αυτούς (προσωπικά τους εμπιστεύομαι). Κανείς δεν διορθώνει χωρίς να λάβει υπόψη ότι διορθώνει μαθητές στην εφηβεία και άρα η κακή υπέρ τυπικότητα εκεί δεν έχει και δεν θα πρέπει να έχει θέση. Θα ήταν λυπηρό για κάποιον διορθωτή να δει από ένα μαθητή μία σκέψη που παραπέμπει σε ταλέντο ή μαθητή που έχει κατανοήσει την αντίστοιχη μαθηματική έννοια και να του κόψει πόντο επειδή εφάρμοσε μία σωστή λογική διαδικασία που δεν αναφέρεται ρητά στο βιβλίο.

Σωτήρη φυσικά και συμφωνώ μαζί σου, δεν έχω κανένα λόγο να μην το πράξω.

Αυτά ανήκουν μόνο στη φαντασία. Ένας τέτοιος κατά την άποψή μου διορθωτής (που θεωρώ ότι μάλλον στις μέρες μας δεν υπάρχει) είναι μάλλον φοβισμένος και το πρόβλημα είναι καθαρά δικό του.

Εδώ θα διαφωνήσω. Υπάρχουν παραδείγματα που μπορώ να σου φέρω με τελευταίο αυτό του Ιούνη.

Θα ήθελα εδώ να καταθέσω και την προσωπική μου άποψη για ένα θέμα ηθικής τάξης. Θεωρώ πως μπορούμε να αναφερόμαστε σε απόψεις προσώπων όταν τα ίδια αυτά πρόσωπα τις έχουν εκθέσει ήδη δημόσια, αυτό ναι είναι θεμιτό.

Συμφωνώ απολύτως κι εγώ αυτό θα πράξω σε λίγο. Κάποιες απόψεις που είναι κατατεθειμένες, θα τις παρουσιάσω και θα δείξω τη λογική αντίφαση αυτών που τις έχουν εκφράσει. Αλλοίμονο αν δε μπορώ να το κάνω σε μια δημοκρατική κοινωνία. Και επαναλαμβάνω πως έτσι θα δείξω το κακό που κάνουμε στα μαθηματικά όταν πέρα από το καλό τους βάζουμε τον προσωπικό μας εγωϊσμό.
Το mathematica.gr είναι το μόνο φόρουμ που εγγυάται τη δημοκρατική έκφραση και λειτουργεί με κανόνες.
Τώρα αν κάποιοι εκαβάλησαν την κάλαμον ή καταπάτησαν τους κανόνες δε φταίει το φόρουμ ή οι άνθρωποι που το απαρτίζουν.

Δεν είναι όμως έντιμο και πρέπον να κρίνουμε συγκεκριμένα πρόσωπα δημοσίως, χωρίς την δυνατότητα απάντησης από αυτά, αφού τότε δίνουμε την εντύπωση της εμπάθειας έστω και αν αυτή δεν υφίσταται. Οι απόψεις μας θα πρέπει να κατατίθενται (λιτά και κατανοητά) σε κοινό που του έχουμε εμπιστοσύνη και αυτό ας μας κρίνει. Ας μη ξεχνάμε ότι οι Θεοί κατοικούν ψηλά και εκτός Γης και όλοι οι άλλοι είμαστε κάτοικοι επί της Γης (που είναι ένα απειροστό σημείο στο άπειρο σύμπαν) με ότι αυτό συνεπάγεται.

Σωτήρη αυτό δε με αγγίζει καθόλου γιατί πολύ απλά δεν υφίσταται για εμένα. Μου αρέσει να υπάρχει ένας κόσμος δίκαιος που θα επιβραβεύει αυτούς που κοπιάζουν. Δε μπορώ να δω που με αγγίζει και που το έπραξα ειλικρινά.
Αν εσύ γράφεις για αυτό, εγώ τι να γράψω για αυτό που κυκλοφόρησε χτες στα μέσα κοινωνικής δικτύωσης που επιτίθεται σε εμένα χωρίς να έχω διαπράξει τίποτα από όσα μου καταλογίζονται; Ποιός είναι άραγε ο εμπαθής;

Κάντε υπομονή, σε λίγο όλα λιτά και κατανοητά.
Να είστε καλά.

Υ.Γ: Ο καθένας μπορεί να απαντήσει Σωτήρη ακόμη κι αν έχει αποκλειστεί. Υπάρχουν μύριοι τρόποι να γίνει αυτό. Αρκεί να πει ουσιώδη πράγματα ακόμη και να παραδεχθεί τυχόντα λάθη του. Θέληση να υπάρχει. Μπορεί πχ να μου σταλεί μια απάντηση με μέϊλ. ΕΓώ δεσμεύομαι
να την παραθέσω σε δημόσια θέα εδώ στο φόρουμ μας.

[S.E.Louridas]

Απλά Χρήστο δεν αναφέρθηκα σε σένα προσωπικά και το λέω γιατί απάντησες με αναφορά σε φράσεις μου. Κατά τα άλλα ο καθένας μπορεί να κάνει ότι νομίζει. Για τα περί καλάμων θέλω να επαναλάβω ότι:

Ας μη ξεχνάμε ότι οι Θεοί κατοικούν ψηλά και εκτός Γης και όλοι οι άλλοι είμαστε κάτοικοι επί της Γης (που είναι ένα απειροστό σημείο στο άπειρο σύμπαν) με ότι αυτό συνεπάγεται.

...Προχωράμε...γνωρίζοντες καλά ότι Δημοκρατία και ισορροπία τρόμου είναι μεγέθη ασυμβίβαστα.

[chris_gatos]

Ξεκινάω λοιπόν πηγαίνοντας λίγο πίσω, στο τελείωμα του Μαϊου του 2015 όταν έγινε μεγάλο θέμα
η χρήση ή η μη χρήση της διακρίνουσας ώστε να προκριθεί μια διαδικασία εύρεσης μια συνάρτησης.
(Το θέμα λίγο πολύ γνωστό, θα ήταν κουραστικό να σταθώ περισσότερο). Έγιναν συζητήσεις επί συζητήσεων
εκφράστηκαν απόψεις επιφανών μαθηματικών, δόθηκαν πάρα πολλά παραδείγματα που ενδυνάμωναν την ισχύ
της μεθόδου, έγιναν εργασίες οι οποίες εγκρίθηκαν από την επιστημονική επιτροπή της Ε.Μ.Ε παρουσιάστηκαν
στο συνέδριο της Καστοριάς.
Θα περίμενε κανένας ότι διαφωτίστηκε το τοπίο και πως η μαθηματική κοινότητα πείστηκε για την ισχύ και αυτής της μεθόδου.
Επαναλαμβάνω για την πρόκριση της διαδικασίας εύρεσης και όχι για τη λύση, όπως τεχνικά πήγαν κάποιοι να οδηγήσουν τα πράγματα.
Με μεγάλη μου έκπληξη κατανόησα πως και πάλι υπήρχε θέμα. Αποκορύφωμα όλων αυτών ήταν η έλευση στο σπίτι του τεύχους 98 του
Ευκλείδη Β, περιοδικό το οποίο δυστυχώς (θα ήθελα να βάλω κεφαλαία) διαβάζουν και παιδιά.
Σε άρθρο του λοιπόν στη σελίδα 79 ο κ.Αντώνης Κυριακόπουλος αφού ξεκίνησε ένθερμος υποστηρικτής του λανθασμένου της μεθόδου και στη συνέχεια σταμάτησε να υποστηρίζει τόσο ένθερμα το λάθος, γράφει τα εξής:
(Βάζω έντονο κόκκινο σε σημεία που θα σταθώ)

" Στα σχολικά βιβλία οι τύποι μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουν αποδειχθεί και επομένως μπορούν να εφαρμοστούν από τους μαθητές, μόνο για συντελεστές που είναι πραγματικοί αριθμοί και όχι συναρτήσεις του αγνώστου x Στην πε΄ριπτωση που στη θέση των συντελεστών είναι συναρτήσεις του αγνώστου x , με ορισμένες προϋποθέσεις μπορούμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου και να φτάσουμε στους τύπους αυτούς, χωρίς αυτό να σημαίνει πως οι τύποι αυτοί μας δίνουν τη λύση της εξίσωσης, παρά μόνο μια άλλη μορφή της που μας ενδιαφέρει. Αυτό βέβαια θα μπορούσε να γίνει με οποιαδήποτε άλλη διαδικασία παραγοντοποίησης. Κανένας δεν έχει αντίρρηση σε αυτό. Αλλά το ότι οι μαθητέςμπορούν αν εφαρμόζουν τους τύπους της δευτεροβάθμιας εξίσωσης στην περίπτωση που στη θέση των συντελεστών είναι συναρτήσεις του x, δεν αναφέρεται σε κανένα σχολικό βιβλίο.
Οι μαθητές ξέρουν (πολύ σωστά) ότι ένας αριθμός δεν εξαρτάται από κανέναν άγνωστο x.
Επομένως, σύμφωνα με τις οδηγίες για να χρησιμοποιήσουν τους τύπους αυτούς στις πανελλήνιες εξετάσεις, θα πρέπει προηγουμένως να τους αποδείξουν.
Διαφορετικά, με την ίδια λογική, θα μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν, για παράδειγμα το θεώρημα Darboux που δεν υπάρχει στα σχολικά βιβλία."
Λέει κι άλλα και τελειώνει:

"Στις πανελλήνιες εξετάσεις οι μαθητές δεν πρέπει να χρησιμοποιούν χωρίς απόδειξη θεωρήματα ή τύπους, που δεν υπάρχουν στα σχολικά βιβλία. Διοτι, ο βαθμολογητής έχει το δικαίωμα (υποχρεούνται θα έλεγα σύμφωνα με τις οδηγίες) να μην τους δεχθεί, οπότε θα χάσουν μονάδες.

Αυτά τα λόγια του κ.Αντώνη Κυριακόπουλου μου έφεραν στο μυαλό τη συγκεκριμένη δημοσίευση, εξηγούμαι:

Εδώ ----> "Μέθοδοι απόδειξης και εύρεσης"(εργασία του κ.Αντώνη Κυριακόπουλου ) στη σελίδα , παρουσιάζεται πολύ όμορφα και τεκμηριωμένα η "Μέθοδος του αρκεί".
Μια κομψή αποδεικτική μέθοδος, στολίδι των μαθηματικών.
Κι όμως δεν αναφέρεται πουθενά ρητά σε σχολικό βιβλίο αυτή η εξαιρετική αποδεικτική μέθοδος. Και τώρα; Τι θα γίνει;
Ένας μαθητής πρέπει να αποδείξει τη συγκεκριμένη μέθοδο και να τη χρησιμοποιήσει;
Σύμφωνα με τα παραπάνω λεχθέντα ναι!
Ποιός δε θα χαίρονταν έναν μαθητή που θα έλυνε μια άσκηση έτσι; Υπάρχει κάποιος;
Υπάρχει κάποιος που θα αναρωτιόνταν " βρε τον μπαγάσα που το έμαθε αυτό;"
Κάποιος που θα του έκοβε μόρια;
Πάλι σύμφωνα με τα παραπάνω θα ήταν υποχρεωμένος να κόψει μονάδες!!

Και σα να μην έφταναν όλα αυτά ο κ.Αντώνης Κυριακόπουλος στο τεύχος 99 του Ευκλείδη Β' λύνει υποδειγματικά μια άσκηση με τη μέθοδο του αρκεί. Δηλαδή αυτοαναιρείται, κατά την άποψή μου και σύμφωνα πάντα με τις δικές του εκφρασμένες απόψεις.
Χρησιμοποιεί για να αποδείξει κάτι που δεν αναφέρεται ρητά στα σχολικά βιβλία, όπως αυτός προϋποθέτει.
Να πω πως κι εγώ πως καθημερινά προσπαθώ να εμφυσήσω στους μαθητές μου αυτήν την αποδεικτική μέθοδο και λύνω και εγώ ασκήσεις με τη χρήση της.
Τώρα αν δεν αποτελεί μέθοδο όπως είπαν κάποιοι εγώ τους παρακάμπτω και τους παραπέμπω στον κ.Κυριακόπουλο που την ονομάζει
φανερά "Μέθοδο" και εμβαθύνει σε αυτήν και τη χρήση της στην εργασία που παράθεσα.
Διαφωνώ (και αυτό ελπίζω να είναι σαφές) με όσα γράφτηκαν στο τεύχος 98 του Ευκλείδη Β και παράθεσα παραπάνω.
Είναι επιτακτική η ανάγκη νομίζω να κάτσουμε να σκεφτούμε πως η μαθηματική Παιδεία θα πάρει πάλι τα πάνω της και όχι
στο όνομα κάθε προσωπικής κόντρας ή εγωϊσμού να την οδηγούμε σκαλιά κάτω.
Καλό θα είναι να παραδεχόμαστε τα λάθη μας δημοσίως κιόλας, δεν είναι κακό.
Φανταστείτε λοιπόν έναν ικανό μαθητή να έχει διαβάσει όλα αυτά και να θέλει να "γονατίσει" μια άσκηση με τη μέθοδο του αρκεί. Δεν είναι κρίμα να βάλει στο μυαλό του την παράμετρο "Μα δεν την έμαθα πουθενά, μπορώ να τη χρησιμοποιήσω". Μη διστάσετε να του πείτε ΝΑΙ!

Τελειώνοντας θα ήθελα να ζητήσω από τους συνδαιτημόνες εδώ στο φόρουμ να απαντήσουν με απαντήσεις που να είναι μέσα στο πνεύμα
αυτών που είπα και όχι να διαστρεβλώσουν τα λεγόμενά μου.

[S.E.Louridas]

Τελειώνοντας θα ήθελα να ζητήσω από τους συνδαιτημόνες εδώ στο φόρουμ να απαντήσουν με απαντήσεις που να είναι μέσα στο πνεύμα αυτών που είπα και όχι να διαστρεβλώσουν τα λεγόμενά μου.

Προσωπικά και έχοντας συνείδηση ότι βρίσκομαι στο mathematica που υπηρετώ με αγάπη και υποχρέωση επειδή ... και όχι σε "Θέμιδας Μέλαθρον" και προς το οποίο δεν είναι δυνατό να ωθεί το mathematica, επαναλαμβάνω την απάντηση μου που πιθανόν να μη προσέχτηκε:

Όσο με αφορά θα ήθελα να κλείσω λέγοντας και λίγο πριν τις καθοριστικές εξετάσεις, ότι οι βαθμολογητές συνάδελφοι δεν είναι χειριστές λαιμητόμου και καλό θα είναι να μην χάσουμε την μεταξύ μας εμπιστοσύνη και την εμπιστοσύνη σε αυτούς (προσωπικά τους εμπιστεύομαι). Κανείς δεν διορθώνει χωρίς να λάβει υπόψη ότι διορθώνει μαθητές στην εφηβεία και άρα η κακή υπέρ τυπικότητα εκεί δεν έχει και δεν θα πρέπει να έχει θέση. Θα ήταν λυπηρό για κάποιον διορθωτή να δει από ένα μαθητή μία σκέψη που παραπέμπει σε ταλέντο ή μαθητή που έχει κατανοήσει την αντίστοιχη μαθηματική έννοια και να του κόψει πόντο επειδή εφάρμοσε μία σωστή λογική διαδικασία που δεν αναφέρεται ρητά στο βιβλίο. Αυτά ανήκουν μόνο στη φαντασία. Ένας τέτοιος κατά την άποψή μου διορθωτής (που θεωρώ ότι μάλλον στις μέρες μας δεν υπάρχει) είναι μάλλον φοβισμένος και το πρόβλημα είναι καθαρά δικό του.

Δική μου Παρατήρηση:
Τόσο το περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β’ (που για μένα καλώς το διαβάζουν τα παιδιά), όσο και τα επίσημα συνέδρια είναι διαχειριζόμενα από τον ίδιο επιστημονικό φορέα και συγκεκριμένα την ΕΜΕ. Επί τη ευκαιρία μέθοδο κάτω από τον τίτλο "Μέθοδος του Αρκεί" (Αντίστοιχα της Μεθόδου της απαγωγής σε άτοπο κτλ) δεν έχω συναντήσει στο ημέτερο μαθηματικό οδοιπορικό. Απλά χρησιμοποιώ το "Άγιο" ρήμα "Αρκεί" όπως παραπάνω έχω αναφέρει.

[chris_gatos]

Σωτήρη ανασκευάζω το "δυστυχώς" πήγαινε πως διαβάζοντας τα παιδιά όλα αυτά, όντας σκεπτόμενα, τα μπερδεύουμε.
Φυσικά και καλώς το διαβάζουν, ότι διαβάζουν είναι καλό.

Στην ίδια δημοσίευση να πω τα εξής:
Προσφέρομαι να λάβω απαντητικό μέϊλ για όποιον επιθυμεί να απαντήσει και δε μπορεί για διάφορους λόγους
και να το δημοσιεύσω αυτούσιο, με την προϋπόθεση της κοσμιότητας και της ευγένειας.


Y.Γ (20:01) Σωτήρη λόγω κούρασης μόλις είδα για αυτό που γράφεις σχετικά με τη μέθοδο του αρκεί.

Επί τη ευκαιρία μέθοδο κάτω από τον τίτλο "Μέθοδος του Αρκεί" (Αντίστοιχα της Μεθόδου της απαγωγής σε άτοπο κτλ) δεν έχω συναντήσει στο ημέτερο μαθηματικό οδοιπορικό. Απλά χρησιμοποιώ το "Άγιο" ρήμα "Αρκεί" όπως παραπάνω έχω αναφέρει.

Επαναλαμβάνω πως δεν έχεις παρά να διαβάσεις την εργασία του κ.Αντώνη Κυριακόπουλου όπου ΠΕΝΤΑΚΑΘΑΡΑ λέει στη σελίδα : " Η μέθοδος του αρκεί".

[S.E.Louridas]

Ας επανέλθουμε στο καθαρά Μαθηματικό μέρος της συζήτησης. Συζητάμε για την αποδεικτική μέθοδος της Ανάλυσης δηλαδή της διαδικασίας: Για να ισχύει η αρκεί να ισχύει η που αν είναι αληθής έχει καλώς ενώ αν δεν είναι τότε λέμε για να ισχύει η αρκεί να ισχύει η κτλ έως ότου καταλήξουμε σε μία πρόταση που είναι αληθής με την αλήθεια της όμως να μην είναι εξαρτώμενη από τις ενδιάμεσες μέχρι εκεί ικανές προτάσεις ή την αρχική πρόταση . Τότε απαντάμε ότι ισχύει η αλήθεια της . Δημιουργία λοιπόν ικανών συνθηκών; Απάντηση ΝΑΙ. Αν δημιουργούσα αλυσίδα ισοδυναμιών; Η απάντηση είναι και πάλι ΝΑΙ. Εδώ διεγείρεται ένα ΒΑΣΙΚΌ μαθητικό ή φοιτητικό και όχι μόνο ερώτημα: Πώς θα επιλέγω τις ικανές συνθήκες (πώς θα μου «κόψει»; ή πως σου έκοψε κύριε Καθηγητά;) ώστε να εξασφαλίζεται η «επιστροφή»; Βέβαια κάποιοι παλιοί διδάσκοντες απαντούσαν «παράξενα» χωρίς να το αιτιολογούσαν. Ποιο ήταν το αποτέλεσμα; .... Απομάκρυνση μετά από μερικά τέτοια κάποιων μαθητών από το άθλημα (όπου φύγει φύγει που λένε). Επιτρέψτε μου να έχω την άποψη ότι στην περίπτωση της δημιουργίας ισοδυναμιών το ΒΑΣΙΚΌ ερώτημα και λόγω της αλληλοεξάρτησης απαντάται πιο εύκολα από όσο στην παραγωγή ικανών συνθηκών.

[Μπάμπης Στεργίου]

Σε μερικές περιπτώσεις και κυρίως για λόγους απλοποίησης ορισμένοι συγγραφείς , ακόμα και από τους πιο κλασικούς , δεν εξαντλούν την λογική αυστηρότητα στην περιγραφή των αποδεικτικών μεθόδων που χρησιμοποιούν .

Διαβάζω στο βιβλίο του Lemaire : Η γεωμετρική επίλυση του γεωμετρικού προβλήματος(σελίδα 7,XVI) , ότι στην αναλυτική μέθοδο ακολουθούμε μια αλυσίδα από ικανές και αναγκαίες συνθήκες, ξεκινώντας από το τέλος.

Από πρώτη άποψη λοιπόν, η πορεία του ''αρκεί '' είναι μερικές φορές πιο εξειδικευμένη από την αναλυτική μέθοδο και όπως έγραψε ο Σωτήρης δείχνει να είναι αυθαίρετη και ουρανοκατέβατη. Πιο φιλική δείχνει να είναι η μέθοδος των ισοδύναμων μετασχηματισμών (αναλυτική μέθοδος) κι ας περιέχει από τη σκοπιά της τυπικής λογικής ένα παραπάνω σκέλος, το οποίο όμως είναι στην ουσία αυτό που ανοίγει το δρόμο για την εύρεσης της ικανής συνθήκης που αναζητούμε .

Ας μην χαθούμε όμως σε συζητήσεις που αφορούν πράγματα που έχουν ορισθεί με διαφορετικό τρόπο από βιβλίο σε βιβλίο, διότι σε τέτοιες συζητήσεις όλοι έχουν δίκαιο, αφού ο καθένας ξεκινάει σε διαφορετική βάση.Όλοι ξέρουμε το σωστό και ο καθένας μπορεί να κάνει τις επιλογές του, ανάλογα με τον αποδέκτη και το διδακτικό σκοπό που έχει υιοθετήσει στην κάθε περίπτωση.

Τέλος πάντων, όπως έχω ξαναγράψει, κανένας μας δεν πρέπει να είναι απόλυτα προσκολημένος με τις υποτιθέμενες ή μη ''δικές του '' αποδεικτικές μεθόδους ''

και να καταφέρεται με οργή ή περιφρόνηση σε διατυπώσεις ή λύσεις άλλων που μπορεί να περιέχουν και ''κάτι παραπάνω '' από τα αναγκαία στοιχεία που αποτελούν την λύση.

Οι μαθητές πρέπει περισσότερο από τους όλους τους άλλους να έχουν την κατανόηση των δασκάλων τους όταν ολισθαίνουν σε λογικά λάθη , πλεονασμούς ή ασάφειες. Από την μεριά μας, όταν είναι σκόπιμο ή δόκιμο, καλό είναι να ακολουθούμε λύσεις ή διατυπώσεις που συνάδουν με τους νόμους της μαθηματικής λογικής, αφού η μαθηματική λογική είναι μαζί με τη θεωρία συνόλων ένα από τα πιο πρόσφατα στολίδια των μαθηματικών και της φιλοσοφίας.

Όσον αφορά τη χρήση και τα όρια του σχολικού βιβλίου, τα έχουμε ξαναπεί : Το σχολικό βιβλίο είναι ο οδηγός στη διδασκαλία, δεν υποκαθιστά τον δάσκαλο , δεν απογορεύει το δάσκαλο να διδάξει περισσότερα από όσα περιέχονται σε αυτό, πάντα όμως μέ μέτρο , όπως δεν απαγορεύει και το μαθητή να κάνει τις δικές του απόπειρες ή υπερβάσεις όταν δίνεται ευκαιρία και κυρίως στις εξετάσεις ή στα διαγωνίσματα.

Μπ

[S.E.Louridas]

Επανέρχομαι με μία ερώτηση που η απάντηση της με απασχολεί:
Αν ένας μαθητής συνδυάζει να έχει επιπλέον γνώσεις, πέραν των σχολικών και ταυτόχρονα τις έχει εμπεδώσει και αυτό αποδεικνύεται από το ότι μπορεί και τις χρησιμοποιεί όταν και όποτε χρειάζεται σωστά και με μαθηματική ακρίβεια και επί της ουσίας, έχει θέση στην θετική τριτοβάθμια εκπαίδευση ή πρέπει να αποκλείεται για αυτό; Υπάρχουν πολλοί τέτοιοι μαθητές; Ας μη ξεχνάμε ότι και σε κάποιες άλλες εποχές, όπως τότε που έδινα εγώ εξετάσεις, εξεταζόμασταν επί της διδακτέας ύλης και όχι επί της διδαχθείσας. Προσωπικά αν ήμουν εξεταστής για ένα τέτοιο σπάνιο μαθητή δεν θα είχα κύρια μέσα μου την επιστημονική και ηθική δυνατότητα να του «κόψω» τον δρόμο, επειδή μπόρεσε, προφανώς λόγω ταλέντου, να διαβεί την διδαχθείσα ύλη με μεγαλύτερες ταχύτητες και να πάει παραπάνω και θα έκανα υπέρβαση (επαναλαμβάνω μεθ΄ επιτάσεως όταν ο μαθητής αυτός δεν ξέρει απλά κάποια θεωρήματα ή άλλα πράγματα και τα αραδιάζει, αλλά κύρια αποδεικνύει ότι τα έχει κατανοήσει σε βάθος αφού έχει τα μαθηματικά αντανακλαστικά να τα εφαρμόζει όταν και όποτε πρέπει).

[orestisgotsis]

Περιττό

[S.E.Louridas]

Έστω και μου ζητάνε το πεδίο ορισμού.
Τι θα γράψω πρέπει ή αρκεί ;
Αιτιολόγηση.

Προφανώς γράφω: Πρέπει και Αρκεί να είναι:

[Α.Αποστόλου]

Να θέσω και εγώ εις διπλότυπο την ερώτηση-αποστροφή που έχω.

Υποθετικό σενάριο: Κάποιος μαθητής θέλει να κάνει DeL'Hospital -έστω ότι το γνωρίζει- σε ένα όριο στα θέματα γενικής.
Με ποιό δικαίωμα αξιώνουμε να αποδειχθεί αυτό που χρησιμοποιεί;
Δεν το χωράει ο νους μου ότι συζητάμε την χρήση θεωρήματος
για το οποίο δεν παρατίθεται καν η απόδειξη (και καλώς στο επίπεδο αυτό). Αποτελεί κάποια κατεύθυνση κλειστή κλίκα ικανών και ευνοημένων;
Τι παραλογισμός είναι αυτός;
Προβάλουμε το πρόβλημα του θεματοδότη στον λύτη και όλα καλά.

Υποθετικό σενάριο 2 : Ας φανταστούμε όλοι μαζί ένα αντίστοιχο forum, το philologia.gr, στο οποίο φιλόλογοι να εγείρουν ερωτήματα
για το αν ένα παιδί διατυπώσει μέσα στο κείμενο της έκθεσης του την φράση "alea jacta est"
και αν θα πρέπει να διορθωθεί ως λανθασμένο, αφού μόνο οι μαθητές της Θεωρητικής κατεύθυνσης διδάσκονται λατινικά.

Δεν θα τα έγραφα αυτά, καθότι ήθελα να πιστεύω ότι οι διορθωτές δεν εξαντλούν την αυστηρότητα τους σε "ανοικτά" ή "αμφιλεγόμενα" ζητήματα.
Μάλλον με προσγειώσανε οι πληροφορίες. (προσθέτω: με λύπη)

[S.E.Louridas]

Προσωπικά πάντως αν ο Μαθητής μου έγραφε:
Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο αφού για κάθε πραγματικό έχουμε καθότι για τη διακρίνουσα του έχουμε και επειδή ο συντελεστής του είναι θετικός, θα του έδινα πλήρη βαθμολογία και ας μην απαντούσε σε στυλ ... για να ... πρέπει και αρκεί... .

[Α.Αποστόλου]

Εντάξει ας κάνουμε εννοιολογική ανάλυση σε απρόσωπα ρήματα.

Το πρέπει, δηλώνει την υποχρέωση.
Το αρκεί, δηλώνει την προϋπόθεση δηλαδή την απαραίτητη συνθήκη.

Μπορούμε τώρα να κάτσουμε να βασανιστούμε -σε τι; - αν η υποχρέωση με την προϋπόθεση διαφέρουν.

Για να το διατυπώσω λίγο διαφορετικά.
Με το που γράψω το σύμβολο αυτό είναι πραγματικός αριθμός (εκτός και αν δεν εννοούμε αυτό και να το κάνουμε ακόμα πιο άσχημο).
Υποχρεωτικά λοιπόν αυτό που γράφω έχει νόημα.
(το έχει αναφέρει το βιβλίο)
η συνθήκη δημιουργείται ταυτόχρονα με την αναγραφή των συμβόλων και όχι σε μετεγενέστερο χρόνο. (το γράφω γιατί όπως έχω αναφέρει, έχω και άλλες ενστάσεις στο αρχικό ζήτημα)

Χωρίς να έχει διαφορά και νόημα στην πράξη

Έστω και μου ζητάνε το πεδίο ορισμού.

η ορθή διατύπωση είναι ισχύει ότι και λύνουμε την ανίσωση με λύση

Δεν κάνουμε εμείς κάποια υπόθεση, το δεδομένο χρησιμοποιούμε.

Εννοείται ότι τα ως άνω αναγραφόμενα μου, επί του πρακτέου δεν χρειάζονται σε καμία περίπτωση.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Δημοσίευσηαπό S.E.Louridas » Πέμ. Απρ. 14, 2016 9:08 am
Επανέρχομαι με μία ερώτηση που η απάντηση της με απασχολεί:
Αν ένας μαθητής συνδυάζει να έχει επιπλέον γνώσεις, πέραν των σχολικών και ταυτόχρονα τις έχει εμπεδώσει και αυτό αποδεικνύεται από το ότι μπορεί και τις χρησιμοποιεί όταν και όποτε χρειάζεται σωστά και με μαθηματική ακρίβεια και επί της ουσίας, έχει θέση στην θετική τριτοβάθμια εκπαίδευση ή πρέπει να αποκλείεται για αυτό;

Νομίζω ότι η απάντηση είναι προφανής.Φυσικά και έχει θέση στην τριτοβάθμια εκπαίδευση.
Το πρόβλημα είναι ποίος θα κρίνει ότι έχει τα χαρακτηριστικά που περιγράφει παραπάνω ο Σωτήρης.
Το συνηθισμένο στην Ελλάδα είναι να γίνονται λάθος κρίσεις.
Κατά την γνώμη μου τέτοιοι μαθητές ξεπερνάνε τα προβλήματα μόνοι τους και επιτυγχάνουν αυτό που
θέλουν.Το σύστημα απλώς τους καθυστερεί .
Προσωπικά γνωρίζω τέτοιους ανθρώπους.

Υπάρχουν πολλοί τέτοιοι μαθητές;

Δεν ξέρω αν υπάρχουν πολλοί αλλά σίγουρα υπάρχουν.
Το πρόβλημα είναι ότι μερικούς από αυτούς δύσκολα μπορεί κάποιος να τους διακρίνει.
Γνωρίζω περίπτωση φοιτητή που ενώ για 8 χρόνια δεν είχε περάσει κανένα μάθημα, σε 5 εξεταστικές
τα πέρασε όλα με καλούς βαθμούς.(Μαθηματικό Αθηνών)

[STOPJOHN]

Kαλημέρα ,
Πιστεύω ότι όλοι θέλουμε μαθητές με τα χαρακτηριστικά που περιγράφονται δηλαδή να έχει Μαθηματική σκέψη και να έχει οργανωμένο-μεθοδικό μυαλό με γνώσεις πέραν του σχολικού βιβλίου. Το θέμα είναι τι κάνει ο βαθμολογητής στις Πανελλαδικές εξετάσεις όταν χρησιμοποιηθεί μια πρόταση η μέθοδος που δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο ,κατα την ταπεινή μου γνώμη ,πρέπει να δοθούν όλες οι μονάδες . Ενα θέμα που θεωρώ αρκετά σοβαρό ,σύμφωνα με τα γραφόμενα του Χρήστου ,είναι πως κρίνουν οι επιτροπές της Ε.Μ.Ε θέματα όταν παρουσιάζονται κείμενα που δεν στέκουν δηλαδή ,έχουν αποδειχθεί κάποια πράγματα (συντομεύω για να μην κουράσω...) και στο κείμενο του ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΎ ΕΥΚΛΕΙΔΗ γράφονται σκέψεις που ΔΕΝ είναι σωστές και το σοβαρότερο μπερδεύουν και τους μαθητές που έχουν να δώσουν Πανελλαδικές εξετάσεις. Η γνώμη μου είναι να μάθει ο μαθητής να σκέφτεται και ΟΧΙ πως βαφτήσαμε τη μέθοδο και αν υπάρχει η δεν υπάρχει στο σχολικό βοβλίο.

Γιάννης

[S.E.Louridas]

Επειδή σε πολλές περιπτώσεις ξεφεύγουμε από το σκοπό μίας συζήτησης για λόγους που ο καθένας ξέρει για τον εαυτό του και καλά κάνει (άβυσσος η ψυχή του ανθρώπου) θα ήθελα να επισημάνω ότι όταν καταγγέλλουμε κάτι θα πρέπει να συνοδεύεται από δύο πράγματα α) Από αιτιολόγηση και β) από πρόταση που όμως θα πρέπει είναι στηριγμένη επιστημονικά και μόνο δηλαδή με αναφορές κτλ. Για παράδειγμα στην τράπεζα θεμάτων επισημάνθηκε δυναμικά αλλά ευγενικά ότι ένα από τα θέματα (το 7) είχε λάθος στην εκφώνηση και εμείς η επιτροπή το αποκαταστήσαμε με «τσαντήλα» μεν καταρχήν για μάς αλλά τελικά με χαρά γιατί γράφηκε πιο σωστά για να την έχουν έτσι οι Μαθητές και οι διδάσκοντες. Υπενθυμίζω:

"S.E.Louridas" έγραψε: Φίλοι του mathematica, απλά αισθάνομαι την ανάγκη να σας πληροφορήσω ότι η επιτροπή της τράπεζας θεμάτων της ΕΜΕ, και στα πλαίσια της συνεχούς συμπλήρωσης, έστειλε ήδη για ανάρτηση τα νέα θέματα για την Γ' Λυκείου 2016 που προτείνει. Είναι πλέον θέμα ελάχιστου χρόνου να αναρτηθούν στην ιστοσελίδα της ΕΜΕ. Κάθε εποικοδομητική παρατήρηση σας είναι ζητούμενο.

.
Α) Ειπώθηκε ότι στον Ευκλείδη Β’ γράφονται λάθος σκέψεις. Αυτό επείγει να αιτιολογηθεί ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ για να στέκει. Εκτός των άλλων ώστε αφού αποδειχθεί ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ για αντικατασταθεί από το σωστό και βέβαια για να μην εκτεθεί ο όποιος καταγγέλλων, αν τα πράγματα δεν είναι έτσι και επειδή προηγήθηκε από την ουσία ο χαρακτηρισμός.

Β) Επί σειρά ετών υπήρξα προπονητής και θεματολόγος Μεγάλων Μαθηματικών ταλέντων που πολύ εξ αυτών είναι κορυφαίοι Πανεπιστημιακοί στα Μεγαλύτερα Πανεπιστήμια του κόσμου με ερευνητικές παρεμβάσεις και που τώρα που είναι φτασμένοι μακράν πια αναγνωρίζουν στην ΠΡΑΞΗ τους Καθηγητές εκείνους που Πραγματικά τους βόηθησαν επί του ΓΝΩΣΤΙΚΟΥ και όχι επί του καλού και αγαθού της υπόθεσης. Αυτά λοιπόν τα παιδιά που με κάποιους «τυχερούς» ή τυχερούς καθηγητές-προπονητές τους συγχρωτίστηκαν είχαν της επιτυχίες που είχαν επιλύοντας δύσκολα πρωτότυπα προβλήματα σε ευρύ φάσμα του ΓΝΩΣΤΙΚΟΥ αντικειμένου χωρίς να τα απασχολεί (Δεν είχαν ακούσει καν τον όρο Αυστηρή Μαθηματική λογική και κανόνες της) αν για την εύρεση ενός πεδίου ορισμού χρειάζεται το αρκεί, το πρέπει, αν η μέθοδος απόδειξης είναι εκείνη της παραγωγής ισοδύναμων σχέσεων (Δηλαδή η μέθοδος επί το λαϊκότερον του «πήγαινε έλα» όπως έλεγε και ένας επώνυμως δάσκαλος) λέγεται έτσι ή αλλιώς κτλ. Αν κανείς αναφέρει αυτά τα ΓΕΓΟΝΟΤΑ για τα παιδιά αυτά η απάντηση είναι: Μα αυτά έχουν την Μαθηματική λογική βαθειά μέσα τους οπότε δεν χρειάζεται να ... Απίθανα πραγματικά πράγματα. Κατά τα άλλα είναι Τάνκ να λυθεί μία άσκηση με βάση το π.χ. Υπάρχει που κοντά στο να έχουμε με άρα , που δεν το καλύπτει το βιβλίο και δεν είναι Τανκ να είναι αναγκασμένοι οι Καθηγητές να κάνουν την γνωστή ολόκληρη διαδικασία να δημιουργηθεί το αντίστροφο κτλ. και τόσα άλλα. Η προσωπική μου τελικά άποψη είναι: Ελεύθερη αλά σαφής γνώση = καλή και παραγωγική γνώση που αναδεικνύει. Επιβαλλόμενη και επίσης σαφής γνώση = κακή γνώση που ποδηγετεί.