Τριγωνομετρική εξίσωση με τόξο εφαπτομένης

#1

Ας λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle\arctan\Big(\frac{1-x}{1+x}\Big)=\frac{1}{2}\arctan x$ .

Η λύση που έχω δεν είναι στα πλαίσια της σχολικής ύλης γι΄αυτό και την τοποθέτησα εδώ.

Από Durrel και Robson "Advanced Trigonometry".

dement · #2

Εστω $u = \tan^{-1} x$ . Γραφουμε $\displaystyle \frac{1 - x}{1+x} = \frac{\tan \pi/4 - \tan u}{1 + \tan \pi/4 \ \tan u} = \tan (\pi / 4 - u)$ . Ετσι η εξισωση γινεται $\pi/4 - u = u/2 + n \pi$ για καποιο $n \in \mathbb{Z}$ οποτε $u = \pi / 6 + 2n \pi/3$ . Αφου ομως το

ειναι αντιστροφη εφαπτομενη, η μονη καταλληλη τιμη ειναι η $u = \pi / 6$ οποτε $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ . Επαληθευουμε και τελος.

Δημητρης Σκουτερης

#3

Δημήτρη είσαι ωραίος! ντρέπομαι να γράψω τη δική μου λύση. Θα τη γράψω μόνο και μόνο για να μην κρατάω χαρτιά...

Η εξίσωση ορίζεται για $x\neq-1$ .

Επίσης ισχύει ο τύπος $\displaystyle\tan(2\arctan x)=\frac{2x}{1-x^{2}}$ , για $|x|\neq1$ . (1)

$\displaystyle\arctan\Big(\frac{1-x}{1+x}\Big)=\frac{1}{2}\arctan x\stackrel{(1),(*)}{\Rightarrow}\frac{2\frac{1-x}{1+x}}{1-(\frac{1-x}{1+x})^{2}}=x\Rightarrow x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\displaystyle(*) : |\frac{1-x}{1+x}|=1\Leftrightarrow x=0$ , που δεν επαληθεύει την εξίσωση.

Για την επαλήθευση : Για $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ , είναι

$\displaystyle2\arctan(\frac{1+(-\frac{\sqrt{3}}{3})}{1-(1\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{3}))})=\arctan\frac{\sqrt{3}}{3}\stackrel{(**)}{\Leftrightarrow}2\arctan1+2\arctan-\frac{\sqrt{3}}{3}=\arctan\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow\cdots$
που ισχύει.

Παρομοίως βλέπουμε ότι η τιμή $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ δεν την επαλυθεύει.

(**)

βλέπε τύπο $\displaystyle\arctan a+\arctan b=\begin{cases}\displaystyle\arctan\frac{a+b}{1-ab} & ab<1\\ \displaystyle\arctan\frac{a+b}{1-ab}+\pi & ab>1\wedge a>0\\ \displaystyle\arctan\frac{a+b}{1-ab}-\pi & ab>1\wedge a<0\end{cases}$ .

Τριγωνομετρική εξίσωση με τόξο εφαπτομένης

Τριγωνομετρική εξίσωση με τόξο εφαπτομένης

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση με τόξο εφαπτομένης

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση με τόξο εφαπτομένης

Μέλη σε σύνδεση