Πρώτο ιδεώδες
Συντονιστής: Demetres
Πρώτο ιδεώδες
Χαίρετε.
Για να δείξουμε ότι το ιδεώδες είναι πρώτο ιδεώδες του πρέπει να δείξουμε ότι το είναι ακέραια περιοχή, σωστά;
Πώς μπορούμε να το δείξουμε αυτό;
Για να δείξουμε ότι το ιδεώδες είναι πρώτο ιδεώδες του πρέπει να δείξουμε ότι το είναι ακέραια περιοχή, σωστά;
Πώς μπορούμε να το δείξουμε αυτό;
Re: Πρώτο ιδεώδες
Μπορείς να το δεις με 2 τρόπους.
1. Το πολυώνυμο είναι ανάγωγο στον δακτύλιο .
Αν θες απόδειξη για αυτό, τότε υπάρχει η ακόλουθη (που αποδεικνύει και το 1 και αυτό που ρωτάς)
2.
Ορίζουμε απεικόνιση η οποία είναι επιμορφισμός αλγεβρών.
Προφανώς, αν , τότε , άρα .
Αντίστροφα, έστω . Τότε, . Aν στο πολυώνυμο
δεν υπάρχουν μονώνυμα του , τότε .
Αν υπάρχουν μονώνυμα του , τότε η σχέση μας λέει ότι αυτά "σκοτώνονται" , άρα πάλι
.
Εν τέλει, και από πρώτο θεώρημα Ισομορφισμών δακτυλίων έχουμε ότι
και ο τελευταίος δακτύλιος είναι ακέραια περιοχή.
1. Το πολυώνυμο είναι ανάγωγο στον δακτύλιο .
Αν θες απόδειξη για αυτό, τότε υπάρχει η ακόλουθη (που αποδεικνύει και το 1 και αυτό που ρωτάς)
2.
Ορίζουμε απεικόνιση η οποία είναι επιμορφισμός αλγεβρών.
Προφανώς, αν , τότε , άρα .
Αντίστροφα, έστω . Τότε, . Aν στο πολυώνυμο
δεν υπάρχουν μονώνυμα του , τότε .
Αν υπάρχουν μονώνυμα του , τότε η σχέση μας λέει ότι αυτά "σκοτώνονται" , άρα πάλι
.
Εν τέλει, και από πρώτο θεώρημα Ισομορφισμών δακτυλίων έχουμε ότι
και ο τελευταίος δακτύλιος είναι ακέραια περιοχή.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Re: Πρώτο ιδεώδες
BAGGP93 έγραψε:Ορίζουμε απεικόνιση η οποία είναι επιμορφισμός αλγεβρών.
Για να δείξουμε ότι είναι ομομορφισμός, πρέπει:
Έχουμε ότι . Πώς υπολογίζουμε το ;
Επίσης είναι επί επειδή για κάθε υπάρχει ένα στοιχείο έτσι ώστε , σωστά;
Re: Πρώτο ιδεώδες
Γεια σου και πάλι Ειρήνη.Ειρήνη 33 έγραψε:BAGGP93 έγραψε:Ορίζουμε απεικόνιση η οποία είναι επιμορφισμός αλγεβρών.
Για να δείξουμε ότι είναι ομομορφισμός, πρέπει:
Έχουμε ότι . Πώς υπολογίζουμε το ;
Επίσης είναι επί επειδή για κάθε υπάρχει ένα στοιχείο έτσι ώστε , σωστά;
Είναι προφανές ότι η διατηρεί την πρόσθεση και το βαθμωτό γινόμενο με στοιχεία του .
Πρόσεχε στο επί : Όχι για κάθε . Παίρνεις τυχαίο .
Τότε, και
.
Απομένει η διατήρηση του πολλαπλασιασμού :
Λόγω του ότι η διατηρεί την πρόσθεση και τα βαθμωτά γινόμενα με στοιχεία από το ,
αρκεί να δείξεις ότι καθώς το
τυχόν είναι της μορφής .
Πράγματι, έχουμε
Ας το δούμε και για συγκεκριμμένα πολυώνυμα :
και απ΄την άλλη
.
H όπου βλέπει , το "σκοτώνει" .
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 2 επισκέπτες