Διαγώνισμα - ψηφιακά βοηθήματα

alekos100 · #1

http://www.study4exams.gr/math_k/course/view.php?id=78

Διαγώνισμα – 5 - θέμα Δ
Στην αντίστροφη δεν πρέπει να βρούμε το σύνολο τιμών της

** $f^{3}(x)+f(x)=2x$ (1)
Έστω $\beta \in R$ θα αποδείξουμε ότι υπάρχει $\alpha \in R$ με $f(\alpha )=\beta$
θεώρουμε $\alpha =\frac{\beta ^{3}+\beta }{2}$

Αν $g(x)=\frac{x^{3}+x}{2}$ τότε $g{}'(x)=\frac{3x^{2}+1}{2}>0,\forall x\in R$ άρα 1-1

$f(\alpha )=\beta \Leftrightarrow g(f(\alpha ))=g(\beta )\Leftrightarrow \frac{f^{3}(\alpha )+f(\alpha )}{2}=\frac{\beta ^{3}+\beta }{2}\Leftrightarrow \alpha =\frac{\beta ^{3}+\beta }{2}$

αφού απο (1) $\Rightarrow f^{3}(\alpha )+f(\alpha )=2\alpha$
Αλλά η σχέση $\alpha =\frac{\beta ^{3}+\beta }{2}$ ισχύει , οπότε $f(\alpha )=\beta$ άρα f(R)=R

#2

Δεν κατάλαβα ποια ακριβώς είναι η ερώτηση, αλλά ας είναι.

Αυτά που γράφεις ουσιαστικά υπάρχουν στην προτεινόμενη λύση. Η μόνη διαφορά είναι
ότι αναγράφονται (προφανώς σκοπίμως για χάρη της οικονομίας) πολύ συνοπτικά.

Όπως και να είναι, υπάρχει και απλούστερος τρόπος να δείξουμε ότι το σύνολο τιμών της

(ισοδύναμα,
το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$ ) είναι όλο το $\mathbb R$ : Αρκεί από το Θ.Μ.Τ. να δείξουμε ότι η

δεν είναι
ούτε άνω ούτε κάτω φραγμένη.

Προς τούτο, έστω ότι ήταν άνω φραγμένη με $f(x) \le M, \, \forall x$ . Τότε θα ίσχυε $2x = f(x) + f^3(x) \le M +M^3, \forall x$ . Άρα $\displaystyle{ x \le \frac {1}{2} (M+M^3), \, \forall x}$ , άτοπο. 'Ομοια για το κάτω φράγμα.

Διαγώνισμα - ψηφιακά βοηθήματα

Διαγώνισμα - ψηφιακά βοηθήματα

Re: Διαγώνισμα - ψηφιακά βοηθήματα

Μέλη σε σύνδεση